n阶行列式的计算方法

n阶行列式的计算方法

双联过滤器-工程质量保修书

2023年3月19日发(作者：渔家傲秋思原文)

.

.

...

关于行列式的一般定义和计算方法

n阶行列式的定义

n阶行列式

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa









21

22221

11211

=

n

n

n

jjj

njjj

jjjaaa





21

21

21

21

)()1(

2N阶行列式是N!项的代数和;

3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;

特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;

(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.

其一般项为:

(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.

它们都是偶排列;

三个负项的列标构成的排列为321,213,132,

它们都是奇排列.

§行列式的性质

性质1：行列式和它的转置行列式的值一样。

即

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa









21

22221

11211

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa









21

22212

12111

；

行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2互换行列式的两行〔列〕，行列式的值变号.

3223213

aaaaaaaaa

3222211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

D

〔1

.

.

...

如:D=

dc

ba

=ad-bc,

ba

dc

=bc-ad=-D

以r

i

表第i行，C

j

表第j列。交换i,j两行记为r

ji

r,交换i,j两列记作C

i

C

j

。

性质3：如果一个行列式的两行〔或两列〕完全一样，那么这个行列式的值

等于零。

性质4：把一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素同乘以某一个常数k

的结果等于用这个常数k乘这个行列式。〔第i行乘以k，记作r

i

k

〕

推论1：一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素的公因式可以提到行

列式符号的前面。

推论2：如果一个行列式的某一行〔或某一列〕的所有元素都为零，那么行

列式值等于零。

推论3：如果一个行列式的某二行〔或某二列〕的对应元素成比例，那么行列

式值等于零。

性质5：如果行列式D的某一行〔或某一列〕的所有元素都可以表成两项的和，那么

行列式D等于两个行列式D1和D2的和。

nnnnjnn

nj

nj

abaaa

abaaa

abaaa















21

2222221

1111211

=

nnnjnn

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa









21

222221

111211

+

nnnnn

n

n

abaa

abaa

abaa









21

222221

111211

性质6：把行列式的某一行〔或某一列〕的元素乘同一个数后，加到另一行〔或

另一列〕的对应元素上，行列式值不变。

推论如果行列式的某一行〔列〕的每个元素都是m个数之和(m>2)，那么此行

列式等于m个行列式之和。

一个n阶行列式，如果它的元素满足：njiaa

ijji

2,1,；试证：当n

.

.

...

为奇数时，此行列式为零。

每一行〔或列〕提出一个〔-1〕，再转置得D=〔-1〕nD

性质7行列式的某一行〔列〕的各元素与另一行〔列〕的对应元素的代数

余子式的乘积之和等于零。

按行：jiAaAaAa

jninjiji

0

2211



按列：jiAaAaAa

njnijiji

0

2211



将性质7与Laplace定理合并为以下结论：















ji

jiD

Aa

n

k

jk

k

i0

1

〔1〕

和















ji

jiD

Aa

n

k

kjki0

1

〔2〕

行列式的计算

1．利用行列式定义直接计算

例1计算行列式

解Dn中不为零的项用一般形式表示为

112211

!

nnnnn

aaaan



.

该项列标排列的逆序数t〔n－1n－2…1n〕等于

(1)(2)

2

nn

，故

2．利用行列式的性质计算

例2一个n阶行列式

nij

Da的元素满足

那么称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.

证明：由

ijji

aa知

iiii

aa

，即

故行列式Dn可表示为

由行列式的性质AA





.

.

...

当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.

3．化为三角形行列式

假设能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上

元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3计算n阶行列式

解：这个行列式的特点是每行〔列〕元素的和均相等，根据行列式的性质，把第

2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

4．降阶法

降阶法是按某一行〔或一列〕展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是

用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式

的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4计算n阶行列式

解将Dn按第1行展开

2nnaa.

5．逆推公式法

逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种

关系——称为逆推公式〔其中Dn,Dn－1,Dn－2等构造一样〕，再由递推公式求出Dn

的方法称为递推公式法。

例5证明

证明：将Dn按第1列展开得

由此得递推公式：

1nnn

DaxD



，利用此递推公式可得

6．利用范德蒙行列式

.

.

...

例6计算行列式

解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此

类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

7．加边法〔升阶法〕

加边法〔又称升阶法〕是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变

的方法。

例7计算n阶行列式

解：

1

1

0

0

n

n

n

aa

D

D



12

1

100

2,,1

100

100

n

i

aaa

x

in

x

x









第行减第1行

〔箭形行列式〕

8．数学归纳法

例8计算n阶行列式

解：用数学归纳法.当n=2时

假设n=k时，有

那么当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得

由此，对任意的正整数n，有

9．拆开法

把某一行〔或列〕的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列

式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

.

.

...

例9计算行列式

n

D

112

122

12

n

n

nn

aaa

aaa

aaa













解：

n

D

12

122

12

n

n

nn

aaa

aaa

aaa









12

22

0

00

n

n

nn

aa

aa

a













……

上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体

问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地

掌握行列式的计算。

(1)

yxz

xzy

zyx

ba

bzaybyaxbxaz

byaxbxazbzay

bxazbzaybyax

)(33







;

证明

yxz

xzy

zyx

ba)(33

关于行列式的消项〔其中C代表列··R代表行〕

(2)

111

22

22

bbaa

baba



(ab)3;

证明

abab

abaab

22

)1(

222

13





21

))((

aba

abab



(ab)3

(3)

4444

2222

1111

dcba

dcba

dcba

(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);

证明

.

.

...

)()()(0

)()()(0

0

1111

222222222addaccabb

addaccabb

adacab







〔c2,c3,c4减数字去第一列的

〕

=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)

(4)

1221

1000

0010

0001

axaaaa

x

x

x

nnn















xna1xn1an1xan

证明用数学归纳法证明

当n2时

21

2

12

2

1

axax

axa

x

D





命题成立

假设对于(n1)阶行列式命题成立即

Dn1xn1a1xn2an2xan1

那么Dn按第一列展开有

xDn1anxna1xn1an1xan

因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式Ddet(aij),把D

上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得

n

nnn

aa

aa

D

111

1

1









111

1

2

n

nnn

aa

aa

D











111

1

3aa

aa

D

n

nnn











证明

DDD

nn

2

)1(

21

)1(





D3D

证明因为Ddet(aij)所以

DD

nn

nn

2

)1(

)1()2(21)1()1(







同理可证

nnn

n

nn

aa

aa

D











)1(

1

111

2

)1(

2

DD

nn

T

nn

2

)1(

2

)1(

)1()1(







7计算以下各行列式(Dk为k阶行列式)

.

.

...

(1)

a

a

D

n

1

1









,其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0

解

a

a

a

a

a

D

n

0001

0000

0000

0000

1000















(按第n行展开)

n

nn

nna

a

a















)2)(2(

1)1()1(anan2an2(a21)

(2)

xaa

axa

aax

D

n









;

解将第一行乘(1)分别加到其余各行得

axxa

axxa

axxa

aaax

D

n













000

00

00



再将各列都加到第一列上得

ax

ax

ax

aaaanx

D

n













0000

000

000

)1(

[x(n1)a](xa)n1

(3)

111

1

)()1(

)()1(

111

1

























naaa

naaa

naaa

D

nnn

nnn

n

;

解根据第6题结果有

此行列式为范德蒙德行列式

例3

.

.

...

练习3：证明:

0

2cos2cos2cos

coscoscos

sinsinsin

222

222









D.

证明：

左边







2cos2cos2cos

coscoscos

sinsinsin

222

222



1cos21cos21cos2

coscoscos

111

222

222









从最后一行开场，每行减去上一行，得到：

123...n-1n

111...11-n

............

11-n1...11

然后做列变换，从各列中减去第一列，得到：

112...n-2n-1

100...0-n

............

1-n0...00

再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到：

(n+1)/212...n-2n-1

000...0-n

............

0-n0...00

最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}