矩阵的运算法则
十二原穴-面面垂直怎么证明
2023年2月22日发(作者：武鸣河)矩阵基本运算及应用
201700060牛晨晖
在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩
阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计
算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分
析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际
应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的
应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其
在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等
相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。
1矩阵的运算及其运算规则
1.1矩阵的加法与减法
1.1.1运算规则
设矩阵，，
则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！
注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），
加减法运算才有意义，即加减运算是可行的．
1.1.2运算性质
满足交换律和结合律
交换律；
结合律．
1.2矩阵与数的乘法
1.2.1运算规则
数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或
．
特别地，称称为的负矩阵．
1.2.2运算性质
满足结合律和分配律
结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A=λA+μA．
分配律：λ(A+B)=λA+λB．
1.2.3典型举例
已知两个矩阵
满足矩阵方程，求未知矩阵．
解由已知条件知
1.3矩阵与矩阵的乘法
1.3.1运算规则
设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵：
(1)行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即
．
(2)C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元
素对应相乘，再取乘积之和．
1.3.2典型例题
设矩阵
计算
解是的矩阵．设它为
可得结论1：只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘
法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数；结论2在矩阵
的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在与均有意义时，也未
必有=成立．可见矩阵乘法不满足交换律；结论3方阵A和
它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即．
1.3.3运算性质（假设运算都是可行的）
(1)结合律．
(2)分配律（左分配律）；
（右分配律）．
(3)．
1.3.4方阵的幂
定义：设A是方阵，是一个正整数，规定
，
显然，记号表示个A的连乘积．
1.4矩阵的转置
1.4.1定义
定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得
到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作或
．
例如，矩阵的转置矩阵为．
1.4.2运算性质（假设运算都是可行的）
(1)
(2)
(3)
(4)，是常数．
1.4.3典型例题
利用矩阵
验证运算性质：
解；
而
所以
．
定义：如果方阵满足，即，则
称A为对称矩阵．
对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．
1.5方阵的行列式
1.5.1定义
定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各
元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记
作或．
1.5.2运算性质
(1)（行列式的性质）
(2)，特别地：
(3)（是常数，A的阶数为n）
思考：设A为阶方阵，那么的行列式与A的行列式之
间的关系为什么不是，而是？
不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下和．
例如，则．
于是，而
2光伏逆变器的建模
光伏并网逆变器是将光伏组件输出的直流电转化为符合电网要
求的交流点再输入电网的关键设备，是光伏系统并网环节中能量转换
与控制的核心。光伏逆变器的性能不仅影响到光伏系统是否运行稳
定、安全可靠，也是影响整个系统使用寿命的主要因素。本节将分析
主流光伏逆变器的拓扑结构和建模方法。
2.1系统拓扑结构
光伏并网逆变器按照不同的分类方式可分为多种类型。如按照交
流侧接线数可分为单相逆变器和三相逆变器，如按照并网方式可分为
隔离型光伏逆变器和非隔离型光伏逆变器。在欧洲，相关标准要求光
伏逆变器可以采用非隔离型；而在美国，光伏逆变器必须采用隔离型
的；我国目前尚没有在此方面的明确要求。
按照能量变换级数来分，光伏并网系统主要包括单级变换、两级
变换和多级变换三种拓扑结构。为方面理解后续利用矩阵相关知识建
模，下面对这三种拓扑结构的特点做简要介绍。
1)单级变换拓扑结构
单级变换拓扑结构与前者相比，只有DC/AC逆变部分，该逆变器
一般采用单相半桥、全桥电压型逆变器或者三相全桥电压型逆变器。
这种类型的光伏逆变器具有结构简单、成本低廉等优点。由于该系统
只有一级功率转换电路，所有控制目标都要通过这一级功率转换单元
实现，因而增加了控制系统的复杂性。
图1为一典型的单极变换单相光伏逆变器的拓扑结构。这种光伏
逆变器一般会安装工频变压器。变压器可以有效降低输出侧电压，也
可以起到有效隔离绝缘的效果，具有可靠性高、维护量少、开关频率
低和电磁干扰小等特点。
逆变器
+
-
AC
工频
变压器
光伏组件
图1单级单相光伏逆变器拓扑图
2)两级变换拓扑结构
两级变换拓扑结构一般由DC/DC变换器和DC/AC逆变器两部分组
成。前者一般采用比较常见的BOOST电路、BUCK-BOOST电路或CUK电路
等，用来实现光伏阵列输出功率的最大功率跟踪的功能，DC/AC一般
采用单相或三相的并网逆变器实现并网、有功调节、无功补偿或者谐
波补偿等相关功能。
图2为一典型的两级变换单相光伏逆变器的拓扑结构。第一级是
DC/DC变换环节，其拓扑类型为boost电路，目的是把光伏组件输出的
不稳定直流低电压提升到可并网的稳定直流高电压。第二级是DC/AC
逆变环节，由单相全桥的可逆PWM整流器构成，这一级的功率开关可
以采用MOSFET或IGBT。
AC
升压变换器逆变器
+
-
光伏组件
图2两级变换单相光伏逆变器拓扑图
3)多级变换拓扑结构
采用高频变压器绝缘方式的多级变换拓扑结构通过采用带有整
流器的高频率变压器来提升输入电压，具有体积小、重量轻、成本低
等优点，常用于并网型太阳能发电设备之中。
图3为一典型的带高频变压器的多级变换单相光伏逆变器的拓
扑结构。这种拓扑结构由于需要经过三级能量变换，通常效率相对较
低，并且由于高频电磁干扰严重，必须采用滤波和屏蔽等相关措施。
逆变器
AC
+
-
逆变器整流器
高频
变压器
光伏组件
图3带高频变压器的多级式光伏逆变器拓扑图
2.2典型光伏逆变器的建模
与两级式光伏逆变器相比，单级式光伏逆变器只有一个能量变换
环节，结构紧凑、元器件少，能量转换效率更高。目前，单级式三相
光伏并网逆变器在大中型光伏电站的建设中得到了大规模的应用。本
节选取此类光伏逆变器作为典型进行建模分析。
如图4所示，三相光伏逆变器一般由防反冲二极管、直流母线稳
压电容、DC/AC逆变环节、逆变器输出滤波器组成。
e
a
e
b
e
c
光伏阵列
D
u
dc
R
1
R
2
R
3
L
1
L
2
L
3
P
N
o
i
pv
i
dc
i
a
i
b
i
c
光伏逆变器
图4三相光伏并网发电系统电路图
假定三相电感且其等效电感、电阻值分别为L1
=L2
=L3
=L和
R1
=R2
=R3
=R。三相全桥都是理想的开关管。光伏发电系统在三相静止
坐标系下的数学模型如下：
dcccc
c
dcbbb
b
dcaaa
a
uSeRi
dt
di
L
uSeRi
dt
di
L
uSeRi
dt
di
L
(2.1)
式中：
ia
、ib
、ic
——三相并网逆变器的输出电流；
ea
、eb
、ec
——三相电网电压；
Sa
、Sb
、Sc
——开关函数；
udc
——直流母线电压；
考虑直流母线中电流的稳压作用，则有
)(
bcbbaapv
dciSiSiSi
dt
du
C
(2.2)
式中：
C——直流母线稳压电容；
ipv
——光伏阵列输出电流。
将公式2.2进行同步矢量旋转变换，则得到dq坐标系下的三相
光伏并网发电系统的模型为：
C
iSiS
C
i
dt
du
L
uS
L
e
i
L
Ri
dt
di
L
uS
L
e
i
L
Ri
dt
di
qqddpv
dc
dcqq
d
dcdd
q
dd
2
)(3
(2.3)
式中：
id
、iq
——逆变器输出电流d、q轴（有功、无功）分量；
ed
、eq
——电网电压d、q轴分量；
Sd
、Sq
——触发三相逆变桥的开关信号d、q轴分量；
ω——电网电压的角频率，即dq坐标系的旋转速度。
公式2.3中两个电流方程写成矩阵形式为：
ddddcd
qqqdcq
iiSue
RL
d
L
iiSue
LR
dt
(2.4)
对公式2.4两边取拉式变换得
()()()()
()()()()
ddddcd
qqqdcq
IsIsSUsEs
RL
Ls
IsIsSUsEs
LR
(2.5)
令*()
d
Us=()
ddc
SUs，*()
q
Us=()
qdc
SUs，相应时域中有*
d
u=
ddc
Su，*
q
u
=
qdc
Su，则公式2.5可写为
*
*
()()()()
()()()
()
dddd
qqq
q
UsIsIsEs
RL
Ls
IsIsEs
LR
Us
(2.6)
公式2.6的时域表达式为：
*
*
dddd
qqq
q
uiie
RL
d
L
iie
LR
dt
u
(2.7)
3随机矩阵相关理论
3.1随机矩阵相关理论和要点
随机矩阵理论(randommatrixtheory，RMT)的研究起源于原子
核物理领域。Wigner在研究量子系统中得出结论，对于复杂的量子系
统，随机矩阵理论的预测代表了所有可能相互作用的一种平均。偏离
预测的那部分属性反映了系统中特殊非随机的性质，这为了解和研究
潜在的相互作用和关系提供了理论支撑。RMT以矩阵为单位，可以处
理独立同分布(independentidenticallydistributed，IID)的数据。
RMT并不对源数据的分布、特征等做出要求(如满足高斯分布，为
Hermitian矩阵等)，仅要求数据足够大(并非无限)。故该工具适合
处理大多数的工程问题，特别适合用于分析具有一定随机性的海量数
据系统。随机矩阵理论认为当系统中仅有白噪声、小扰动和测量误差
时，系统的数据将呈现出一种统计随机特性；而当系统中有信号源(事
件)时，在其作用下系统的运行机制和内部机理将会改变，其统计随
机特性将会被打破。单环定律(RingLaw)、Marchenko-Pastur定律
(M-PLaw)均是RMT体系的重大突破。在这些理论基础上，可进一步
研究随机矩阵的线性特征根统计量(lineareigenvaluestatistics,
LES)，而平均谱半径(meanspectralradius)则是LES所构造出的一
个具体对象。
3.2随机矩阵理论对电力系统的支撑
全球正在经历由信息技术时代(IT时代)向数据技术时代(DT时
代)的过渡，数据正逐步成为电力系统等大型民生系统的战略资源。
数据的价值在于其所蕴含的信息而并非数据本身，信息提取
(informationextraction)相关技术是数据增值业务的核心。智能电
网的最终目标是建设成为覆盖电力系统整个生产过程，包括发电、输
电、变电、配电、用电及调度等多个环节的全景实时系统。而支撑智
能电网安全、自愈、绿色、坚强及可靠运行的基础是电网全景实时数
据的采集、传输和存储，以及对累积的海量多源数据的快速分析。
数据化是智能电网建设的重要目标，也是未来电网的基本特征。
智能电网是继小型孤立电网、分布式互联大电网之后的第三代电网，
其网络结构错综复杂。同时，用户侧的开放致使新能源、柔性负荷、
电能产消者(如EV)大规模介入电网，这也极大地加剧了电网运行机理
和控制模型的复杂性。传统的通过对个体元器件建模、参数辨识及在
此机理模型上进行仿真的手段不足以认知日益复杂的电网；而另一方
面，随着智能电网建设进程的不断深入，尤其是高级测量体系
(advancedmeteringinfrastructure，AMI)和信息通信技术
(informationcommunicationtechnology，ICT)的发展，数据将越来
越容易获取，电网运行和设备监测产生的数据量将呈指数级增长。然
而，各电力部门普遍存在如下问题：
1）从如此之多的数据中，能得到些什么？2）不同部门的数据为
什么且如何混合在一起？3）坏(异常、缺失、时间不同步)数据如何
处理？上述的典型问题也是现阶段信息化建设所呈
现的“重系统轻数据”模式的结果。该模式忽略了最重要的(也
是理论要求最深的)数据资源利用环节，即将收集来的“数据原料”
转换成驱动力，以数据驱动(data-driven/model-free)为主要方式及
时、准确地认知系统，故难以满足系统决策制定(decision-making)
的需求。
从数据的角度出发，海量(volume)、多样(variety)、实时
(velocity)、真实(veracity)的4Vs数据是未来电网数据的发展趋
势，而4Vs数据的复杂性所引起的维数灾难(curseofimensionality)
等问题将不可避免地产生且日益严峻。
而随机矩阵是元素为随机变量(randomvariable)的一类矩阵，
随机矩阵理论(randommatrixtheory，RMT)主要研究随机矩阵的特
征根和特征向量的一些统计分析性质，其核心为线性特征根统计量
(lineareigenvaluestatistic，LES)。随机矩阵知识与电力系统的
广泛结合将有的放矢的缓解这一问题。
4结论与展望
本文第二部分简要介绍了矩阵基本知识在新能源领域建模的应
用情况。由此可见，矩阵基本知识已经广泛应用与电力系统的各个领
域多年。但近年来，随着新能源装机容量日益增长与新能源远距离传
输消纳问题的日益凸显。包括随机矩阵在内的新兴相关知识与电力系
统人工智能网络的结合日渐紧密。随机矩阵理论和基于此的随机矩阵
建模给电力系统认知提供了一种全新的视角，该部分知识将有效地利
用系统中的大数据资源，同时避开经典模型方案极难回避的一些问题。
虽然当前基于随机矩阵理论的电网相关分析和应用才起步；但长远来
看，该部分知识将很有可能成为电网认知的主要驱动力。另一方面，
数据驱动方法可以和常规基于模型分析方法相结合。最终，将形成一
套统计指标联合经典指标的电力系统认知体系，以用于电网运行态势
的实时评估。更进一步，该指标体系中多种指标可作为媒介，即深度
学习的输入，为结合矩阵知识的人工智能在电网中的应用提供一种思
路。