点到圆的距离公式

点到圆的距离公式

审计工作流程-丁远

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，

这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆0为例（设0P丄AB于P,则P0

是AB到圆心的距离）：AB与O0相离，P0>r;AB与O0相切，P0=r;AB与O0相交，P0

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫

外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

两圆的半径分别为R和r，且R>r，圆心距为P:外离P>R+r；外切P=R+r；相交R-r

r。

【圆的平面几何性质和定理】〖有关圆的基本性质与定理〗

圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中

心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的

弧。

〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所

对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角

形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。轨迹

说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。集合说：到定点的距离等于定

长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣

弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周

角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫

做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的

母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆一O半径一r

扇形弧长／圆锥母线一l〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点

>r；P在OO上,P0=r；

弧一c直径—d

周长—C面积一S

P与圆O的为例（设P是一点，则P0是点到圆心的距离），P在OO外，P0

P在O0内，P0

切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（经过圆心。（3）

圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2nr=nd2.

•••弧CmA弧CA

•••为半圆，

•••/CAB=90=弦CA所对的圆周角

B点应在A点左侧

（2）圆心O在/BAC的内部.

过A作直径AD交O0于D,

若在优弧m所对的劣弧上有一点

那么，连接EC、ED、EA

2）经过切点垂直于切线的直线必

圆的面积S=nr23.扇形弧长匸nnr/180

4.扇形面积S=nnr2/360=rl/25.圆锥侧面积S=nrl

弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另

图示

一边和圆相切的角叫做。

如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有/

角）。

PCA=ZPBC(/PCA为弦切

弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.（弦切角就是与弦所夹

的角）

弦切角定理证明:

证明一：设圆心为O,连接OCOB,连接BA并延长交直线T于点

•••/TCB=90-/OCB

•••/BOC=180-2/OCB

此图证明的是弦切角/TCB

•••,/B0C=2/TCA（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）

•••/B0C=2ZCAB（圆心角等于圆周角的两倍）

•••/TCA=ZCAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：AC是OO的弦,AB是OO的切线，A为切点，弧是弦切角/BAC所夹的弧.

求证：（弦切角定理）

证明：分三种情况:

（1）圆心O在/BAC的一边AC上

•/AC为直径，AB切OO于A,

则有：/CED=/CAD/DEA=/DAB

/CEA=ZCAB

（弦切角定理）

（3）圆心O在ZBAC的外部，

过A作直径AD交OO于D

那么/CDA+ZCAD=ZCAB+ZCAD=90

:丄CDA=ZCAB

二（弦切角定理）

BC长.

•：ZBAC=30

例1:如图，在中，ZC=90,以AB为弦的OO与AC相切于点A,ZCBA=60,AB=a求BC长.

解：连结0A,OB.

•••在中，ZC=90

:.ZBAC=30

•:BC=1/2a（RTA中30°角所对边等于斜边的一半）

例2:如图，AD是△ABC中ZBAC的平分线，经过点A的OO与BC切于点D,与AB,AC分别相

交于E,F.

求证：EFIBC.

证明：连DF.

AD是ZBAC的平分线ZBAD=ZDAC

ZEFD=ZBAD

ZEFD=ZDAC

OO切BC于DZFDC=ZDAC

ZEFD=ZFDC

EFIIBC

例3:如图，△ABC内接于OO,AB是OO直径，CD丄AB于D,MN切OO于C,

求证：AC平分ZMCDBC平分ZNCD.

证明：•••AB是OO直径

：.ZACB=90

弦切角推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

举例：例1:

如图，在中,C=90，以AB为弦的OO与AC相切于点A,ZCBA=60,AB=a求

解：连结OA,OB.

•••在中，ZC=90

：.BC=1/2a(RTA中30°角所对边等于斜边的一半）

•••CD丄AB

•••/ACD=ZB,

•/MN切OO于C

•••/MCA=/B,

:丄MCA=/ACD,

即AC平分/MCD

同理：BC平分/NCD.

切线长定理

从圆外一点引圆的两条，它们的相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

做点P到OO的切线长.引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能

度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平

分两条切线的夹角.

推广：连接BC，BC丄AO

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦

被这点所分成的两段的积相等）

相交弦说明

几何语言:若弦AB、CD交于点P

则PA-PB=PCPD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两

条线段的几何语言:若AB是直径，CD垂直AB于点P，

如图中，切线长AC=ABo

•••/ABO=/ACO=90

BO=CO半径

AO=AO公共边

•••RtAABO^RtAACO()

•••AB=AC

/AOB=/AOC

/OAB=/OAC

切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等

切线长的概念.

如图，P是OO外一点，PA，PB是OO的两条切线，我们把线段PA，PB叫

则PCA2=PAPB（相交弦定理推论）

如何证明

证明：连结AC，BD,由的推论，得/A=ZD，ZC=ZB。（推论2:同（等）弧所对圆周角

相等.)•••△PAC^^PDB,.・.PA：PD=PC：PB,PA-PB=PC-PD

切割线定理：从圆外一点引圆的和，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的。是的一种。

几何语言:

•••PT切OO于点T,PBA是OO的割线

•••PT的平方=PA-PB（切割线定理）推论:

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言:

•••PBA,PDC是OO的割线

•••PD・PC=PAPB（切割线定理推论）

由上可知：PT的平方=PA-PB=PCPD

证明

切割线定理证明

O的一条割线，PT是OO的一条切线，切点为T,贝yPT²=PAPB

PAT()

/P=ZP（公共角

•••△PBTsAPTA（两角对应相等，两三角形相似）

贝UPB:PT=PT:AP

即：PT²=PB-PA

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

相交弦说明

几何语言:

若弦AB、CD交于点P

则PA-PB=PCPD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的

注：其可作为证明圆的的方法.P点若选在圆内任意一点更具一般性。

设ABP是O

证明：连接AT,BT

几何语言:

若AB是直径，CD垂直AB于点P,

则PCA2=PAPB（相交弦定理推论）

如何证明

证明：连结AC,BD,由的推论，得/A=ZD,ZC=ZB。（推论2:同（等）弧所对圆周角

相等.）•••△PAC^^PDB,.・.PA：PD=PC：PB,PA-PB=PC-PD

注：其可作为证明圆的的方法从圆外一

点P引两条

ABP和CDP是自点P引的OO的两条割线，则PA・PB=PCPD

•••由，得/A=ZC

又•••/APD=ZCPB

•••AP:CP=DP:BP,也就是AP-BP=CPDP

101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103

圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于

定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，

是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并

且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

.P点若选在圆内任意一点更具一般性。

证明：如图直线

证明：连接AD、BC

•••/A和/C都对弧BD

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所

对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们

所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同

圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆

周角所

对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接

四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线L和O0相交d

③直线L和OO相离

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2经过切点且垂直于切线的直

线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,圆心和这

一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周

角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的

两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段

长的比例中项

②直线L和O0相切

d=r

122切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d>R+r②两圆外切

d=R+r

③两圆相交R-rr)

④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含dr)136定理相交两圆的连心线垂直

平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(n>3):

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正

138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正

n边形

n边形