函数连续的条件
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2023年2月22日发(作者：士壹)2017年12月
第17卷第4期
廊坊师范学院学报(自然科学版）
JournalofLangfangTeachersUniversity(NaturalScienceEdition)
Dec.2017
Vol.17No.4
函数连续的一个充要条件
彭康青S马振明2
(1.陇南师范高等专科学校，甘肃成县742500;2.西北师范大学，甘肃兰州730070)
【摘要】导函数/W有界是函数/W在区间/上/^c/^连续的充分条件,文章证明了它同时也是必要条件。
【关键词】连讀;有界;充要条件
ASufficientandNecessaryConditionfortheContinuityof
FunctionLipschitz
PENGKang—qin^jMAZhen—ming1
(nTeachersCollege，Chengxian742500,China;
2,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,China)
【Abstract】Derivativefiinction,’(x)isbounded»whichisthesufficientconditiontoassuretheZ中sc/i^2continuityoffunction
paperweprovetheconditionisalsonecessary.
【Keywords】continuity;boundedness;sufficientandnecessarycondition
〔中图分类号〕017〔文献标识码〕A〔文章编号〕1674-3229(2017)04-0009-02
在分析学科，特别在微分方程中，常要求函数
Li/wc/iitz连续[1]。于是，关于函数iipsc/iito连续的判
定就显得十分重要。对于区间/上的可导函数/M,
我们已经知道，其导函数尸«有界是其在/上
cA&z连续的一个充分条件。本文证明这一条件也
是必要条件。
定义称函数/〇0在区间/上i扣Ctoz连续是
指/M在区间/上满足条件:即存在i>0,
使对任何a；i，a：2e/，有|/(x1)-/(x2)|矣-x2|。
设函数/(4在区间/上可导，又设集合
A={|/’W||xe/}，
B=|
定理1设函数/〇0在区间/上可导,则集合A
和B有相同的上界。
证明设M是集合B的上界,即对任何尤和
f(x)-f(x0)
x-x0矣Mo
由函数/W在点Ae/可导，即得|/h)|=
limnx)~Ax〇)矣M,即M也是集合A的上界。
x—x〇X-X〇
另一方面，设G是集合A的上界,BPXt任何*e/，
丨/，(x)|矣G,则对任何私，处e/，据微分中值定理，存在介
于心和之间的6使得l/(A)-/(')矣
G|'-x2丨，当心^而时，就有
/⑷_/⑷
x1-x2矣Go
即C也是集合S的上界，因此，合4和B有相同的
上界。
推论supA=supB〇
证由supB是集合B的上界，即得supB也是
集合A的上界，于是就有supA矣supB。
由supA是集合A的上界，即得supA也是集合B
[收稿日期]2017-06-20
[基金项目]甘肃省陇南市科技计划项目（2016-21)
[作者简介]彭康青（1968-)，女，陇南师范高等专科学校数信学院副教授，研究方向：数学分析。
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廊坊师范学院学报（自然科学版)
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的上界，因此，又有supA>supB〇于是得supA=supB〇
定理2设函数/〇〇在区间/上可导，若/(x)
在区间/上连续，则导函数尸〇〇在/上
有界。
证明由于函数/(X)在区间/上LipscMz连
续，即存在[>0,对任何A，化E/，有|/〇〇-/(文2)|矣
,当％1#尤2时，八^1)~KX2^L，根据定理
x1-x2
1,就有|/w|矣[，即导函数/W在'上有界。
综上，可以得出以下结论：
定理3设函数/W在区间/上可导，则/W在
区间/上i如ctoz连续的充分且必要条件是导函数
/乜)在/上有界。
例1考察函数
/w=|Psi4,“0
0，x=0
在区间[0,1]上的连续性。
解该函数在区间[0,1]上可导。由定理3,考察
其化连续性可归结为考察其导函数在区间
[0,1]上的有界性，于是有
r.1110
.xsm—--cos^-,x^O
JW= 0,x=0 易见rw在[〇,i]上无界。由定理3知，该函数 在区间[0,1]上不是L如c/iito连续的。 例2设/W=_cosxa，确定a的取值范围，使 函数/W在区间(0，+°°)内连续。 解该函数在区间(0，+〇〇)内可导。由定理3,这 里的问题是确定a的取值范围，使函数roo在区 间(0,+〇〇)内有界。 /'〇)=axa_1sinxa，易见a>l或a<0时，/’W 在(0，+〇〇)内无界。 当0 limaxa~lsinxa=a•limxa~l-xa=alimx2a~l= x-^0+x->0+ 0，丄 2 ^a,a=—H〇 2 〇〇，0<〇:<丄时 、2 同时，当0 于是可得■矣a 当0 易见a=0或a=l时,/切在(0，+«)内有界。 综上，仅当a=0或+矣(^1时,/f(x)在(0，+«) 内有界。 因此，当且仅当a=0或+矣1时，函数/00 在区间(0，+°°)内Lipsc/iifcr连续。 [参考文献] [1]东北师范大学微分方程教研室.常微分方程(第二版)[M]. 北京：高等教育出版社,2005:78. [2]马振民.数学分析的方法与技巧选讲[M].兰州：兰州大学 出版社，1999:51. [3]王娇挢，李军.局部Lipschitz连续函数差的刻画[J].四 川理工学院学报（自然科学版）,2014,27(1):94-97. [4]刘亚军，范胜君.用Lipschitz函数序列一致逼近一致连续 函数[J].高等数学研究,2015,18(5):7-9. •10•