点斜式

点斜式

中国物理B-lose的名词

2023年2月22日发(作者：思想汇报部队)

1/51

直线的点斜式与两点式方程

要点一：直线的点斜式方程

方程)(

00

xxkyy由直线上一定点及其斜率决定，我们把)(

00

xxkyy叫做直线的点斜式

方程，简称点斜式.

要点诠释：

1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于

y轴的直线，即斜率不存在的直线；

2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为

1

yy；

3.当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:

1

xx.

4.0

0

yy

k

xx







表示直线去掉一个点),(

000

yxP；)(

00

xxkyy表示一条直线.

要点二：直线的斜截式方程

如果直线

l

的斜率为

k

，且与

y

轴的交点为),0(b，根据直线的点斜式方程可得)0(xkby，即

bkxy.我们把直线

l

与

y

轴的交点),0(b的纵坐标

b

叫做直线

l

在

y

轴上的截距，方程bkxy由直

线的斜率

k

与它在

y

轴上的截距

b

确定，所以方程bkxy叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.

要点诠释：

1.b为直线

l

在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；

2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；

3.当

0k

时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.

4.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.

5.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程bkxy中，

k

是直线的斜率，

b

是直线在

y

轴上的截距.

要点三：直线的两点式方程

经过两点),(),,(

222111

yxPyxP(其中

2121

,yyxx)的直线方程为

11

1212

2121

(,)

yyxx

xxyy

yyxx







，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式.

要点诠释：

1.这个方程由直线上两点确定；

2.当直线没有斜率(

21

xx)或斜率为)(0

21

yy时，不能用两点式求出它的方程.

3.直线方程的表示与),(),,(

222111

yxPyxP选择的顺序无关.

4．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式11

1212

2121

(,)

yyxx

xxyy

yyxx







通过穿插相乘转

2/52

化为整式形式

121211

()()()()yyxxyyxx，从而得到的方程中，包含了x1=x2或y1=y2的情况，但此

转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x1、x2和y1、y2是否相等引起的讨论．要防止讨论，

可直接假设两点式的整式形式．

要点四：直线的截距式方程

假设直线

l

与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中0,0ba，那么过AB两点的

直线方程为1

b

y

a

x

，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上

的截距.

要点诠释：

1.截距式的条件是0,0ba，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直

线.

2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距.

3．截距相等问题中，勿忽略a=b=0即直线过原点时的情况．

要点五：中点坐标公式

假设两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段

12

PP的中点坐标为(x，y)，那么x=12

2

xx

，y=12

2

yy

，那

么此公式为线段

12

PP的中点坐标公式．

要点六：直线方程几种表达方式的选取

在一般情况下，使用斜截式比拟方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变

数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，一点的坐标，求过这点的直线，通常

采用点斜式，再由其他条件确定斜率；直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；截

距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，假设求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，那么选

择截距式求解较方便，但不管选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．

【典型例题】

类型一：点斜式直线方程

例1．求满足以下条件的直线方程。

〔2〕过点A〔－1，4〕，倾斜角为135°；

〔3〕过点P〔3，－4〕，且与x轴平行；

【答案〔2〕x+y－3=0〔3〕y=－4

〔2〕∵倾斜角为135°，∴k=tan135°=－1，∴直线方程为y－4=－(x+1)，即x+y－3=0．

〔3〕与x轴平行的直线，其斜率k=0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)=0×(x－3)，即

y=－4。

【点评】点的坐标以及直线斜率或直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点

斜式，应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=x

0

．

举一反三：

【变式1】根据条件写出以下各题中的直线方程：

〔2〕经过点B〔―1，4〕，倾斜角为135°；

〔4〕经过点D〔―3，―2〕，且与x轴平行。

【答案】〔2〕y―4=―(x+1)；〔4〕y=―2

类型二：斜截式直线方程

3/53

例2．写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点〔1，1〕？

【答案】y=2x+mm=―1

【解析】由直线方程的斜截式，得直线方程为y=2x+m。

∵直线过点〔1，1〕，将x=1，y=1代入方程y=2x+m得1=2×1+m，∴m=―1即为所求。

【点评】〔1〕选用斜截式表示直线方程的依据是知道〔或可以求出〕直线的斜率k和直线在y轴上

的截距b。

〔2〕直线的斜截式方程的好处在于它比点斜式方程少一个参数，即斜截式方程只要两个参数k、b即

可确定直线的方程，而点斜式方程那么需要三个参数k、x

0

、y

0

才能确定，而且它的形式简洁明了，这样当

我们仅知道直线满足一个条件时，由参数选用斜截式方程具有化繁为简的作用。如仅知道直线的斜率为k=2，

那么我们可设直线方程为y=2x+b，再根据其他条件来求b的值。这种以“退〞为进的思想方法是我们数学

中常用的思想方法。类似地，假设知道直线在y轴上的截距为2，那么可设直线方程为y=kx+2〔直线斜率

存在的情况下〕。

〔3〕假设直线过某一点，那么这一点坐标一定满足直线方程，这一隐含条件应充分利用。

举一反三：

【变式1】直线y=kx+b〔k+b=0，k≠0〕的图象是〔〕

【答案】B

【解析】因为k+b=0，所以直线一定过点〔1，0〕，故C、D不满足题意舍去，又因为k=-b，所以直线

的斜率和直线的截距互为相反数，应选B。

类型三：两点式直线方程

例3．三角形的顶点坐标分别为A〔―5，0〕，B〔3，―3〕，C〔0，2〕，求这个三角形三边所在直线的

方程。

【答案】3x+8y+15=0，5x+3y―6=0，2x―5y+10=0

【解析】∵直线AB过点A〔―5，0〕，B〔3，―3〕，∴由两点式得

0(5)

303(5)

yx





。

化简整理得3x+8y+15=0，这就是直线AB的方程。

同理可得直线BC的方程为5x+3y―6=0，直线AC的方程为2x―5y+10=0。

【点评】不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，

再用点斜式求其方程。

举一反三：

【变式1】〔1〕假设直线

l

经过点A〔2，5〕，B〔2，7〕，那么直线

l

的方程为________；

【答案】〔1〕x=2

【解析】〔1〕因为两点的横坐标相等都是2，所以直线方程是x=2。

类型四：截距式直线方程

例4．直线

l

过点〔―3，4〕，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线

l

的方程．

【答案】x+3y－9=0或4x－y+16=0

【解析】由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线

l

在两坐标轴上的截距都存在且不为零，

故可设为截距式直线方程．

4/54

设直线l的方程为1

xy

ab

，那么a+b=12．①

又直线l过点〔－3，4〕，∴

34

1

ab



．②

由①②解得

9

3

a

b











或

4

16

a

b











。

故所求的直线方程为1

93

xy

或1

416

xy





，

即x+3y－9=0或4x－y+16=0．

【点评】〔1〕如果问题中涉及直线与坐标轴相交，那么可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确

定其系数即可．

〔2〕选用截距式直线方程时。必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．

〔3〕要注意截距式直线方程的逆向运用，如由方程

1

32

xy





可知该直线在x轴和y轴上的截距分别

为3和－2．

例5．求过定点P〔2，3〕且在两坐标轴上截距相等的直线方程．

【答案】x+y－5=0或3x－2y=0

【解析】[错解]设直线的两截距皆为a，那么有

1

xy

aa

，①

即x+y=a，将点P〔2，3〕代入，得a=5．

∴所求的直线方程为x+y=5．

[错因]这种解法是有问题的，问题在于所设直线方程①不包括两截距都是零的情况．

[正解]应增补两截距为零的情况．

当直线两截距都是零时，设直线方程为y=kx，

将P〔2，3〕代入得

3

2

k．

∴所求直线方程为

3

2

yx，即3x－2y=0．

综上所述，所求直线方程为x+y－5=0或3x－2y=0．

【点评】本例解法是一些学生解此题常出现的问题，究其根源，就是审题时，没能把题中“非零截距

相等〞和“零截距相等〞的分类因素挖掘出来进展分类讨论，把“零截距〞的情况丢掉了．由此可见，如

果题目中出现“直线在两坐标轴上的截距相等〞“截距互为相反数〞“在一坐标轴上截距是在另一坐标轴

上截距的m〔m＞0〕倍〞等条件，采用截距式求直线方程时，要注意考虑“零截距〞的情况．

一般地，在非零截距的情况下，可设

1

xy

ab

．在零截距的情况下，由直线过原点可设y=kx．

类型五：中点坐标公式

【点评】〔1〕中点坐标公式是一个重要的公式，要注意灵活地运用它来解决问题，如本例中，设A

点坐标为〔x

1

，y

1

〕，而P〔3，0〕为AB的中点，从而得到B点坐标为〔6－x

1

，－y

1

〕．

〔2〕在运用中点坐标公式时，要注意与“中点〞等价的有关概念的运用，如本例中，AB被P点平分，

通过画图分析，它事实上等价于AB的中点为P．

〔3〕在具体解题时，还应注意创设条件运用中点坐标公式，如由平面几何知识可知，平行四边形的对

角线相交于一点且互相平分，也就是对角线上两顶点的中点重合等．

〔4〕本例中，在求直线方程时，不是先设直线方程，而是先设A点坐标〔横、纵坐标均为参数〕，再

5/55

利用A、B分别在两直线上，从而得到两个方程组成的方程组，解之便得到A点坐标，再利用两点式便可

求出所求直线方程。这是以“退〞为进的思想方法的灵活运用，也是解决解析几何问题的根本思想方法，

应深刻领悟，熟练掌握它．

举一反三：

【例六】三角形的顶点是A〔－5，0〕，B〔3，－3〕，C〔0，2〕，求AC边上中线所在直线的方程．

【答案】8x+11y+9=0

【解析】线段

AC

的中点坐标为

5

,1

2









，所以AC边上中线所在直线的方程为：

33

5

13

3

2

yx







，整理

得：8x+11y+9=0

类型六：直线方程的综合应用

高清：直线方程的点斜式与两点式381492例1

例7．△ABC的三个顶点坐标分别是A〔－5，0〕，B〔3，－3〕，C〔0，2〕，分别求BC边上的高和中

线所在的直线方程．

【答案】x+13y+5=0

【解析】BC边上的高与边BC垂直，由此求得BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利

用中点坐标公式得BC的中点坐标，由两点式得BC边上的中线所在的直线方程．

设BC边上的高为AD，那么BC⊥AD，

∴1

BCAD

kk，∴

23

1

03AD

k







，解得

3

5AD

k，

∴BC边上的高所在的直线方程是

3

0(5)

5

yx，即3x－5y+15=0．

设BC的中点是M，那么

31

,

22

M









，

∴BC边上的中线所在直线方程是

05

13

05

22

yx





，即x+13y+5=0．

∴BC边上的高所在的直线方程是3x－5y+15=0，BC边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．

【点评】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．此题根据求BC边上的高所在的直线方程

时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC边上的中线所在的直线方程时，依

据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．