幂函数教案

幂函数教案

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2023年2月10日发(作者：甄嬛传人物分析)

3.3幂函数（1）

【教学目标】

【知识与技能】

1.理解幂函数的概念.

2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.

【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.

【情感、态度价值观】

1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.

2.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩

证唯物主义的观点.

【重点难点】

重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．

难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.

【突破方式】

教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函

数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.

【教学策略】

【教学顺序】

复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.

【教学方法与手段】

1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自

主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.

2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）

【教学过程】

创设情境

前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多

成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个

成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.

请大家看如下问题.

（板书：.,,,,,1

2

1

32xyxyxyxyxy）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够

发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x，幂指数是常数.也就是说，它们可以写成axy的形式，

这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数）

探究新知

幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(Rxy

的函数称为幂函数，其中是常数.

自变量x是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函

数，就是幂函数.

请同学们举出一个具体的幂函数.

从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数



可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函

数，对数函数一样，都是基本初等函数.

课堂练习1．指出下列函数中的幂函数.

.,,,,5xyxyxyxxy

x

y5

1

22

2



请将下列问题中的y表示成x的函数.

1.如果张红购买了每千克1元的水果x千克，那么她需要支付y=x元;

2.如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=x2;

3.如果立方体的边长为x，那么立方体的体积y=x3;

4.如果一个正方形场地的面积为x，那么这个正方形场地的边长y=2

1

x

;

5.如果某人以xm3/s的速度向蓄水池注入了体积为1m3的水，那么他注水的时间y=x-1s.

探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数.

.,,,,,21

2

1

32xyxyxyxyxyxy

请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数yx与

2yx的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四

组）

根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题：

1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线）

2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致；

3.讨论在画图象过程中出现的问题；

4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.

通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看.变化趋势.

首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.

（一边分析函数图象的特征，一边总结函数性质，填写表格.）

3yx2yx

yx

1

2yx1yx2xy

定义域RRR[0，+∞）|0xx|0xx

值域R[0，+∞）R[0，+∞）0|yy（0，+∞）

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数偶函数

单调性递增

（-∞，0）减

递增

[0，+∞）增

（-∞，0）减（-∞，0）增

（0，+∞）增（0，+∞）减（0，+∞）减

定点

（1，1）

从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学

们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？

定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.

为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这

是幂函数„„的图象„„）

总结性质

虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）

都有定义，图象都过点（1，1）.

注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当

0

时的函数图象，（演示几何画板，

隐藏

0

时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[上是增函数．

再来观察当

0

时的函数图象，（演示几何画板，显示

0

时图象，隐藏

0

时图象）幂函数在区间

),0(上是减函数．在第一象限内，当自变量x取值从右边趋于0时，图象在y轴右方无限地靠近y轴，但不

与y轴相交，当自变量

x

取值趋于时，图象在

x

轴上方无限地靠近

x

轴，但不与

x

轴相交．

演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并

且图象都过点（1，1）；当幂指数

0

时，幂函数都过原点，在),0[上是增函数；当幂指数

0

时，在),0(

上是减函数，在第一象限内，当

x

从右边趋向于0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当

x

趋于时，图

象在

x

轴上方无限地逼近

x

轴．

性质总结如下：

00

在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；

在),0[上是增函数在),0(上是减函数

图象过原点在第一象限内，当x从右边趋向于0时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，

当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

下面我们应用幂函数的性质来解决问题.

例题解析

例1比较下列两个代数式值的大小：

.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(3

2

3

2

25.15.1

2

3

2

3

4

3

4

3





aaa

分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性

质解决此类问题.

（1）解：考察幂函数4

3

xy，因为4

3

xy在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以4

3

4

3

4.23.2.

以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(3

2

3

2

25.15.1

2

3

2

3





aaa

例2讨论函数3

2

xy的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．

解：要使3

2

3

2

xxy有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．

∵f（－x）＝3

2

3

2

)(xx＝f（x），∴函数3

2

xy是偶函数；

x01234„

yx

011.592.082.52„

其图象如右图所示．幂函数3

2

xy在［0，＋）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．

思考与讨论

幂函数)(Rxy

，当,5,,3,1（正奇数）时，函数有哪些性质？

（演示画板）定义域为R，值域为R，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数.

当,6,,4,2（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论.

课堂练习

2．幂函数4

3

xy的单调递增区间是________.答案：,0

3．2

1

2

1

2

1

1.1,9.0,2.1



cba的大小关系是________.答案a>b>c

归纳小结

本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，

这也是我们研究函数的一般思想方法.

布置作业

作出函数2

3

xy的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.

通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给

大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂

函数形式来表示xe——泰勒公式.

)(

!!3!2

1

32

Rx

n

xxx

xe

n

x

《幂函数》教案说明

教材：普通高中课程标准试验教科书数学1（必修）B版人民教育出版社章节：3.3幂函数

一、教学目标定位

幂函数具有函数的一般性质，而又有别于前面学习过的指数、对数函数，对于幂函数的性质的研究，有助于

加深对函数性质的认识和理解，为后面的学习奠定了基础.

《课程标准》指出，像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌

握，灵活应用.

正是基于这样的要求，为了达到“通过对幂函数的研究，加深学生对函数概念的理解”的目的.我制定了如下

教学目标：

在知识与技能方面，理解幂函数的概念.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.

在过程与方法方面，通过对幂函数的学习，进一步渗透数形结合、分类讨论的思想，使学生熟练掌握研究函数

性质的一般方法.

在情感、态度价值观方面，通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化

的过程中渗透辩证唯物主义的观点.

二、学情分析

本节课授课的对象是高一年级的学生，他们对函数的概念及性质已经有了较为深刻的认识，基本上掌握了研究

函数性质的一般方法.这节课是学生在学习了指数函数、对数函数的基础上，研究的第三种函数.学生能够类比研究

指数函数和对数函数的过程，体会由特殊到一般的思想.

学生学习幂函数知识，既可以体验类比研究的过程，又能通过对幂函数的学习重温研究函数的一般思想方法，

从而掌握研究函数的一般方法，为以后研究其他函数，如三角函数奠定扎实的基础.

三、教学诊断分析

虽然学生刚刚学习过指数函数与对数函数，对于存在于函数解析式中的常数参数进行分类讨论的情况已经了解

和接受，但还仅仅限于模仿和套用阶段。幂函数中的常数参数的范围分类更加复杂，不同幂指数范围对函数性质的

影响各有不同，在学生已有的解题经验中，会明确要对幂指数的范围进行讨论，但即使在教师的引导下，学生也很

难讨论全面。

针对学生的学情分析，结合学生的最近发展区，根据我对教材的分析和对课程标准的理解，我将本节课的教学

重点难点设计如下：

重点：幂函数的概念和性质．

难点：画六个幂函数的图象并利用图象概括幂函数的一般性质.

为了突出重点，提高课堂效率，我预先下发了坐标纸，并在坐标纸中给出了函数2xyxy,的图象，这

样做的目的是便于学生作图时明确其他幂函数与这两个函数的位置关系，加强学生作图的准确性.

为了突破教学难点，我引导学生动手作图，通过小组讨论，互相对照图象，通过合作学习，学生们可以发现自

身的缺点，进行第一次修改；再由教师板演作图，纠正学生的错误，学生们进行第二次修改；然后观察6个幂函数

的图象，总结性质，再通过几何画板演示在同一直角坐标系中，画出6个幂函数图象，探究这些幂函数的共同性质，

深化学生对图象的直观认识，最后演示α>0,和α<0时，渐变的函数图象，归纳了所有幂函数的共性，加强学生对

幂函数性质的理解和记忆.

四、教法特点及预期效果分析

㈠精心设计课堂环节，共同实现师生互动

为了区别于以往的教学方式，体现新课程理念，最大限度的培养学生的能力，取得良好的教学效果，我共设计

了5项学生活动：

1.问题情境中，让学生从实例中，归纳函数解析式；

2.讲解定义后，利用一组辨析题，巩固学生对定义的理解；

3.探究函数的性质时，让学生动手画函数图象，规范作图过程；

4.列表总结函数的性质，通过小组讨论，合作学习，总结函数的性质；

5.应用函数性质，解决问题环节中，例题和练习的讲解，采用问答式，在教师的引导下，辅以多媒体演示，得

出结论.

㈡教师板演作图过程，纠正学生作图错误

板演作图过程是一名数学教师必备的教学技能，能画出准确美观的板图更是对教师自身能力的更高要求，同时

也能使学生获得最直接的经验，并且使学生信服。对于学生作图中出现的各种错误，教师很难在课堂上的有限时间

内一一发现，那么让学生感受函数图象的生成过程和对照板图改正自己的错误就显得尤为重要。

㈢多媒体环节精彩适当，渐变图象精彩形象

在当今的高科技时代，多媒体辅助课堂教学会使学生有直接的视觉体验。作为数学课堂的多媒体应用，早已突

破了单一作为“小黑板”使用的功能。

本节课的教学过程中，多媒体的应用主要是幻灯片及几何画板的应用。其中几何画板作为比较幂指数α>0和α<0

这两类幂函数的性质的直观演示，能在同一平面直角坐标系中准确呈现多个幂函数图象，并且能够根据要求体现出

每一类幂函数的共性，便于学生观察及归纳。在利用几何画板动态演示幂指数的连续变化过程中，函数图象及函数

性质的变化趋势尤其生动，对学生直观观察和抽象概括起到了很好的辅助作用.

㈣例题习题配备得当，讲练结合效果显著

本节课的例题配备在充分尊重教材的基础之上，进行了由易到难的设置。并对例题中的字母参数范围给予了充

分详尽的说明；在习题的配置上，紧扣课堂内容，合理拓展，充分应用，使学生体验应用新知的成就感。

㈤拓展介绍泰勒公式，激发兴趣开阔视野

正如《课程标准》指出的那样：“像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，

才能真正掌握，灵活应用.”鉴于幂函数在数学知识体系中的地位，介绍作为基本初等函数的幂函数在高等数学中

的直接应用的泰勒公式，从形式上认同，并使学生体会到数学是有用的。

通过反思，才能进步，我觉得课前预设与课堂生成相结合，才是符合新课程理念的对学生发展最为有利的教法.

非常感谢主办单位为我们年轻教师的成长提供了这样一个平台，感谢承办单位的工作人员们在幕后辛勤的付出.

我会在今后努力工作，使自己快速的成长起来，请各位专家批评、指导.