余弦函数
精准教学-幼儿园教研记录
2023年2月22日发(作者：建行员工)正弦,余弦等函数
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函数名正弦余弦正切余切正割余割
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为
θ，设OP=r，P点的坐标为 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y <斜边为r，对边为y，邻边为x。） 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versinθ=1-cosθ 余矢函数coversθ=1-sinθ 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 [编辑本段]同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin²(α>+cos²(α>=1cos²(a>=(1+cos2a>/2 tan²(α>+1=sec²(α>sin²(a>=(1-cos2a>/2 cot²(α>+1=csc²(α> ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β>=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β>=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β>=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β>=(tanα+tanβ>/(1-tanα·tanβ> tan(α-β>=(tanα-tanβ>/(1+tanα·tanβ> ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ>=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα ·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγb5E2RGbCAP cos(α+β+γ>=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγp1EanqFDPw tan(α+β+γ>=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ>/(1- tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα>DXDiTa9E3d ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A²+B²>^(1/2>sin(α+t>，其中 sint=B/(A²+B²>^(1/2> cost=A/(A²+B²>^(1/2> tant=B/A Asinα+Bcosα=(A²+B²>^(1/2>cos(α-t>，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α>=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα> cos(2α>=cos²(α>-sin²(α>=2cos²(α>-1=1-2sin²(α> tan(2α>=2tanα/[1-tan²(α>] ·三倍角公式： sin(3α>=3sinα-4sin³(α> cos(3α>=4cos³(α>-3cosα ·半角公式： sin(α/2>=±√((1-cosα>/2> cos(α/2>=±√((1+cosα>/2> tan(α/2>=±√((1-cosα>/(1+cosα>>=sinα/(1+cosα>=(1- cosα>/sinαRTCrpUDGiT ·降幂公式 sin²(α>=(1-cos(2α>>/2=versin(2α>/2 cos²(α>=(1+cos(2α>>/2=covers(2α>/2 tan²(α>=(1-cos(2α>>/(1+cos(2α>> ·万能公式： sinα=2tan(α/2>/[1+tan²(α/2>] cosα=[1-tan²(α/2>]/[1+tan²(α/2>] tanα=2tan(α/2>/[1-tan²(α/2>] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2>[sin(α+β>+sin(α-β>] cosα·sinβ=(1/2>[sin(α+β>-sin(α-β>] cosα·cosβ=(1/2>[cos(α+β>+cos(α-β>] sinα·sinβ=-(1/2>[cos(α+β>-cos(α-β>] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β>/2]cos[(α-β>/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β>/2]sin[(α-β>/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β>/2]cos[(α-β>/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β>/2]sin[(α-β>/2] ·推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos²α 1-cos2α=2sin²α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2>² ·其他： sinα+sin(α+2π/n>+sin(α+2π*2/n>+sin(α+2π*3/n>+……+si n[α+2π*(n-1>/n]=05PCzVD7HxA cosα+cos(α+2π/n>+cos(α+2π*2/n>+cos(α+2π*3/n>+……+co s[α+2π*(n-1>/n]=0以及jLBHrnAILg sin²(α>+sin²(α-2π/3>+sin²(α+2π/3>=3/2 tanAtanBtan(A+B>+tanA+tanB-tan(A+B>=0 cosx+cos2x+...+cosnx=[sin(n+1>x+sinnx-sinx]/2sinx 证明： 左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx>/2sinx =[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin(n- 2>x+sin(n+1>x-sin(n-1>x]/2sinx<积化和差）xHAQX74J0X =[sin(n+1>x+sinnx-sinx]/2sinx=右边 等式得证 sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos(n+1>x+cosnx-cosx- 1]/2sinxLDAYtRyKfE 证明: 左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx> =[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2>x+cos(n+1>x- cos(n-1>x]/(-2sinx>Zzz6ZB2Ltk =-[cos(n+1>x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边 等式得证 [编辑本段]三角函数的诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin<2kπ＋α）＝sinα cos<2kπ＋α）＝cosα tan<2kπ＋α）＝tanα cot<2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的 关系： sin<π＋α）＝－sinα cos<π＋α）＝－cosα tan<π＋α）＝tanα cot<π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin<－α）＝－sinα cos<－α）＝cosα tan<－α）＝－tanα cot<－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关 系： sin<π－α）＝sinα cos<π－α）＝－cosα tan<π－α）＝－tanα cot<π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的 关系： sin<2π－α）＝－sinα cos<2π－α）＝cosα tan<2π－α）＝－tanα cot<2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin<π/2＋α）＝cosα cos<π/2＋α）＝－sinα tan<π/2＋α）＝－cotα cot<π/2＋α）＝－tanα sin<π/2－α）＝cosα cos<π/2－α）＝sinα tan<π/2－α）＝cotα cot<π/2－α）＝tanα sin<3π/2＋α）＝－cosα cos<3π/2＋α）＝sinα tan<3π/2＋α）＝－cotα cot<3π/2＋α）＝－tanα sin<3π/2－α）＝－cosα cos<3π/2－α）＝－sinα tan<3π/2－α）＝cotα cot<3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z> [编辑本段]正余弦定理 正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相 等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．dvzfvkwMI1 余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosArqyn14ZNXI 角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角 A的对边/斜边 斜边与邻边夹角a sin=y/r 无论y>x或y≤x 无论a多大多小可以任意大小 正弦的最大值为1最小值为- [编辑本段]部分高等内容 ·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得>： sinx=[e^(ix>-e^(-ix>]/(2i> cosx=[e^(ix>+e^(-ix>]/2 tanx=[e^(ix>-e^(-ix>]/[ie^(ix>+ie^(-ix>] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z>＝1＋z/1！＋z^2/2！＋ z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…EmxvxOtOco 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组y=-y''。y=y''''，有通解Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲 函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 SixE2yXPq5 特殊角的三角函数: 角度a0°30°45°60°90°120°180° 01/2√2/2√3/21√3/20 1√3/2√2/21/20-1/2-1 0√3/31√3无限大-√30 /√31√3/30-√3/3/ [编辑本段]三角函数的计算 幂级数 c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞> c0+c1(x-a>+c2(x-a>2+...+cn(x-a>n+...=∑cn(x-a>n (n=0..∞>6ewMyirQFL 它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,.....及a 都是常数,这种级数称为幂级数.kavU42VRUs 泰勒展开式(幂级数展开法>: f(x>=f(a>+f'(a>/1!*(x-a>+f''(a>/2!*(x- a>2+...f(n>(a>/n!*(x-a>n+...y6v3ALoS89 实用幂级数： ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+... ln(1+x>=x-x2/3+x3/3-...(-1>k-1*xk/k+...(|x| sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1>k-1*x2k-1/(2k-1>!+...(- ∞ cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1>k*x2k/(2k>!+...(- ∞ arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4>*x5/5+... (|x|eUts8ZQVRd arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4>*x5/5+...> (|x|sQsAEJkW5T arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1> sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1>k-1*x2k-1/(2k-1>!+...(- ∞ coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1>k*x2k/(2k>!+...(- ∞ arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4>*x5/5-... (|x|7EqZcWLZNX arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x| 在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中， 往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面 积等等。lzq7IGf02E --------------------------------------------------------- -----------------------zvpgeqJ1hk 傅立叶级数(三角级数> f(x>=a0/2+∑(n=0..∞>(ancosnx+bnsinnx> a0=1/π∫(π..-π>(f(x>>dx an=1/π∫(π..-π>(f(x>cosnx>dx bn=1/π∫(π..-π>(f(x>sinnx>dx 三角函数的数值符号 正弦第一，二象限为正，第三，四象限为负 余弦第一，四象限为正第二，三象限为负 正切第一，三象限为正第二，四象限为负 [编辑本段]三角函数定义域和值域 sin(x>,cos(x>的定义域为R,值域为〔-1,1〕 tan(x>的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R cot(x>的定义域为x不等于kπ,值域为R [编辑本段]初等三角函数导数 y=sinx---y'=cosx y=cosx---y'=-sinx y=tanx---y'=1/(cosx>²=(secx>² y=cotx---y'=-1/(sinx>²=-(cscx>² y=secx---y'=secxtanx y=cscx---y'=-cscxcotx y=arcsinx---y'=1/√1-x² y=arccosx---y'=-1/√1-x² y=arctanx---y'=1/(1+x²> y=arccotx---y'=-1/(1+x²> [编辑本段]反三角函数 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsinx，反余 弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccscx=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、 正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函 数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函 数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的 主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在- π/2 NrpoJac3v1 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量 对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其 概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三 角函数，而不是f-1(x>.1nowfTG4KI 反三角函数主要是三个： y=arcsin(x>，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线 条； y=arccos(x>，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条； y=arctan(x>，定义域(-∞,+∞>，值域(-π/2,π/2>，图象用绿 色线条； sinarcsin(x>=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】 证明方法如下：设arcsin(x>=y,则sin(y>=x,将这两个式子代如 上式即可得 其他几个用类似方法可得。 申明： 所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用 途。