二次函数解析式

二次函数解析式

写夏天的诗句-分析的英文

2023年2月22日发(作者：山鸡养殖技术)

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二次函数解析式的几种求法

二次函数的解析式的求法是数学学习的重点与难点，基本思想方法是待定系数法，根据题目给

出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式

的二次函数解析式的求法归纳如下：

一、定义型：

此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a≠0；2、x的最高次数为2次．

例1、若y=(m2+m)xm2–2m－1是二次函数，则m=．

二、开放型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．

例2、经过点A（0，3）的抛物线的解析式是．

三、平移型：

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数

的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x–h上加上（减

去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、

负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以

a得值不变．

例3、二次函数2

15

3

22

yxx的图像是由2

1

2

yx的图像先向平移个

单位，再向平移个单位得到的．

注：这两类题目多出现在选择题或是填空题目中，找到思路容易解答.

四、三种形式

1、一般式

当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2yaxbxc，转化成一个三元一次方程组，

以求得a，b，c的值；

2、顶点式

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式khxay2．这顶点坐标为（h，k），

对称轴方程x=h，y极值为k来求出相应的系数.

3、两根式

已知图像与x轴交于不同的两点

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00xx，，，，设二次函数的解析式为

21

xxxxay，

根据题目条件求出a的值．

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例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：

（1）图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）；

（2）图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）；

（3）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=2.

四、翻折型（对称性）：

已知一个二次函数2yaxbxc，要求其图象关于

x

轴对称（也可以说沿

x

轴翻折），关于

y

轴

对称，或关于某条直线对称.

策略方法是：先把原函数的解析式化成y=a(x–)2+k的形式，再确定新函数的a，及标点（h，k）

即可.

例5已知二次函数243yxx，求满足下列条件的二次函数的解析式：

（1）图象关于

x

轴对称；（2）图象关于

y

轴对称；（3）图象关于直线

x

=-1对称．

五、旋转型

已知一个二次函数2yaxbxc，要求其图象关于原点，或是某一点旋转180°或90°.

策略方法是：先把原函数的解析式化成y=a(x–h)2+k的形式，再确定新函数的a，及标点（h，k）

即可.

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例6把抛物线2243yxx绕坐标原点旋转180°，得到的新图象，求所对应的函数解析式.

六、综合型

数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何

问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中

的待定系数，以达到目的．

例7已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时有最大值2，图象在x轴上截得的线段长为2，求这个

二次函数解析式，并画出函数图象.

例8设A，B为抛物线y=-3x2+2x＋k与x轴的两个相异交点，C为抛物线的顶点，△ABC为等腰直

角三角形，其中∠C为直角.

（1）求k的值.

（2）直线l是过顶点C，作AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M、N.

①当直线的比例系数为

3

3

k

时，求AM+BN的值；

②AM+BN能否取到最大值，若能，求出来；若不能，请说明理由.

备用图

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九、巩固练习

1、一条抛物线的顶点（1，-4），且形状和开口方向与y=-2x2都相同，则它的函数解析式为

______________.

2、抛物线经过点（4，-3），且当x=3时，y最大=4；则函数解析式为______________.

3、将抛物线y=2x2+4x+5向上平移2个单位，再向右平移4个单位后，所得新抛物线的解析式为

______________.

4、在同一平面内，把抛物线y=3+2x–x2绕它的顶点旋转180°，得到的新图象所对应的解析式为

______________.

5、求二次函数的解析式

（1）抛物线经过(2,0),(0,-2),(-2,3)三点；

（2）抛物线与x轴的交点横坐标分别是1和2，且经过点（4，3）；

（3）抛物线的顶点坐标是（6，-12），且与x轴的一个交点的横坐标是8.

6、二次函数

yaxbxca20

的图像经过点A（3，0），B（2，-3），并且以x1为对

称轴。

（1）求此函数的解析式；

（3）在对称轴x1上找一点M，使|MA-MB|的值最大，并求出最大值；

（2）在对称轴x1上是否存在一点P，使△PAB为等腰三角形，若存在，直接写出P点的坐标，

若不存在，说明理由。