隐函数求导公式

隐函数求导公式

英文字帖-玻尔兹曼方程

随堂章节

1

第5节：隐函数的求导公式

教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。

教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。

教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。

教学方法：讲授为主，互动为辅

教学课时：2

教学内容：

一、一个方程的情形

在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程

),(yxf=0(1)

求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导

出隐函数的导数公式.

隐函数存在定理1设函数),(yxF在点

),(

00

yxP的某一邻域内具有连续的偏导数，

且0),(

00

yxF，,

0),(

00

yxF

y

，则方程),(yxF=0在点),(

00

yx的某一邻域内恒能唯

一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy，它满足条件

)(

00

xfy，并有

y

x

F

F

dx

dy

（2）

公式（2）就是隐函数的求导公式

这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。

将方程(1)所确定的函数)(xfy代入，得恒等式

0))(,(xfxF,

其左端可以看作是

x

的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍

然恒等，即得

,0











dx

dy

y

F

x

F

由于

y

F

连续，且

0),(

00

yxF

y

，所以存在(x

0

,y

0

)的一个邻域，在这个邻域内

0

y

F

，于

随堂章节

2

是得

.

y

x

F

F

dx

dy



如果),(yxF的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作

x

的复合函数而再

一次求导，即得

dx

dy

F

F

yF

F

x

dx

yd

y

x

y

x

















































2

2

.

2

3

22

22

y

xyyyxxyyxx

y

x

y

xyyyxy

y

xyzyxx

F

FFFFFFF

F

F

F

FFFF

F

FFFF































例1验证方程

0122yx在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导

数、当

x

=0时，1y的隐函数)(xfy，并求这函数的一阶和二阶导数在

x

=0的值。

解设),(yxF122yx，则

yFxF

yx

2,2

,

02)1,0(,0)1,0(

y

FF

.因此

由定理1可知，方程

0122yx在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导

数、当

x

=0时，1y的隐函数)(xfy。

下面求这函数的一阶和二阶导数

y

x

F

F

dx

dy

=

y

x

，0

0



x

dx

dy

;

2

2

dx

yd

=,

1

)(

33

22

22yy

xy

y

y

x

xy

y

yxy

















1

0

2

2



x

dx

yd

。

隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函

数，那末一个三元方程

随堂章节

3

F(zyx,,)=0(3)

就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1一样，我们同样可以由三元函数F(zyx,,)的性质来断定由方程F(zyx,,)=0

所确定的二元函数z=),(yx的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。

隐函数存在定理2设函数F(zyx,,)在点),,(

000

zyxP的某一邻域内具有连续的偏

导数，且0),,(

000

zyxF，0),,(

000

zyxF

z

，则方程F(zyx,,)=0在点),,(

000

zyx的

某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件

),(

000

yxfz，并有

x

z





=

z

x

F

F

,

y

z





=

z

y

F

F

.(4)

这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.

由于F(yx,,f),(yx)≡0,

将上式两端分别对

x

和y求导，应用复合函数求导法则得

x

F+

z

F

x

z





=0,

y

F

+

z

F

y

z





=0。

因为

z

F连续，且0),,(

000

zyxF

z

,所以存在点),,(

000

zyx的一个邻域，在这个邻域内

z

F

≠0，于是得

x

z





=

z

x

F

F

,

y

z





=

z

y

F

F

。

例2设

04222zzyx，求.

2

2

x

z





解设F(zyx,,)=

zzyx4222，则

x

F=2

x

,

z

F=42z.应用公式(4)，得

x

z





=

z

x

2

。

再一次

x

对求偏导数，得

随堂章节

4

2

2

x

z





2)2(

)2(

z

x

z

xz











.

)2(

)2(

)2(

2

)2(

3

22

2z

xz

z

z

x

xz



























二、方程组的情形

下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且

增加方程的个数，例如，考虑方程组











.0),,,(

,0),,,(

zuyxG

vuyxF

(5)

这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二

元函数。在这种情形下，我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二

元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。

隐函数存在定理3设函数),,,(vuyxF、),,,(vuyxG在点

),,,(

00000

vuyxP的某一邻

域内具有对各个变量的连续偏导数，又

0),,,(

0000

vuyxF，0),,,(

0000

vuyxG,且偏导

数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式):

J

),(

),(

vu

GF





=

v

G

u

G

v

F

u

F

















在点

),,,(

00000

vuyxP不等于零，则方程组0),,,(vuyxF，0),,,(vuyxG在点

),,,(

0000

vuyx的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数

),(),,(yxvvyxuu，它满足条件),(),,(

000000

uxvvyxuu，并有

x

u







),(

),(1

vx

GF

J





,

vu

vu

vx

vx

GG

FF

GG

FF

随堂章节

5

x

v







),(

),(1

xu

GF

J





,

vu

vu

xu

xu

GG

FF

GG

FF

(6)

y

u







),(

),(1

vy

GF

J





,

vv

vu

vy

vy

GG

FF

GG

FF

y

v







J

1

),(

),(

yu

GF







.

vu

vu

u

u

GG

FF

GG

FF

y

y

这个定理我们不证.与前两个定理类似，下面仅就公式(6)作如下推导。

由于F[yx,,

u),(yx,

v),(yx]≡0,

G[yx,,u),(yx,v),(yx]≡0,

将恒等式两边分别对

x

求导，应用复合函数求导法则得







































.0

,0

x

v

G

x

u

GG

x

v

F

x

u

FF

vux

vux

这是关于

x

u





,

x

v





的线性方程组，由假设可知在点

),,,(

00000

vuyxP的一个邻域内，系数行

列式

J

vu

vu

GG

FF

,0

从而可解出

x

u





,

x

v





，得

x

u







),(

),(1

vx

GF

J



,

x

v







),(

),(1

xu

GF

J



.

同理，可得

y

u







),(

),(1

vy

GF

J



,

y

v







J

1

),(

),(

yu

GF





.

随堂章节

6

例3设1,0xvyuyvxu，求

x

u





,

y

u





,

x

v





和

y

v





.

解此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后

一种方法来做。

将所给方程的两边对

x

求导并移项，得



































.

,

v

x

v

x

x

u

y

u

x

v

y

x

u

x

在022



yx

xy

yx

J的条件下，

.

,

22

22

yx

xvyu

xy

yx

vy

ux

x

v

yx

yvxu

xy

yx

xv

yu

x

u





































将所给方程的两边对y求导，用同样方法在022yxJ的条件下可得

,

22yx

yuxv

y

u











.

22yx

yvxu

y

v











例4设函数),(),,(vuyyvuxx在点(vu,)的某一邻域内连续且具有连续偏导数，

又

.0

),(

),(







vu

yx

(1)证明方程组











),(

),,(

vuy

vuxx

(7)

在点),,,(vuyx的某一邻域内唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的反函数

随堂章节

7

),(),,(yxvvyxuu。

(2)求反函数),(),,(yxvvyxuu对yx,的偏导数。

解(1)将方程组(7)改写成下面的形式











.0),(),,,(

,0),(),,,(

vuyyvuyxG

vuxxxuyxF

则按假设







),(

),(

vu

GF

J.0

),(

),(







vu

yx

由隐函数存在定理3，即得所要证的结论。

(2)将方程组(7)所确定的反函数),(),,(yxvvyxuu代入（7），即得











)].,(),,([

)],,(),,([

yxvyxuyy

yxvyxuxx

将上述恒等式两边分别对

x

求偏导数，得

























•





















•







.0

,1

x

v

v

y

x

u

u

y

x

v

v

x

x

u

u

x

由于J≠0，故可解得

,

1

v

y

Jx

u











.

1

u

y

Jx

v











同理，可得

,

1

v

x

Jy

u











.

1

u

x

Jy

v











小结：本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函数的

求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程或方程组确

定的隐函数的导数。

作业：

89

P习题9-51、4、10（2）（4）、11．