致远学院
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2023年2月18日发(作者：)《线性代数》课程大纲
一、课程简介
课程名称：线性代数学时/学分：96/5
先修课程：无
面向对象：致远学院本科生
教学目标：本课程是为致远学院（计算机与生物）开设的系列代数课程的第一部分,主
要包含线性代数的基本内容。通过本课程的教学，使学生掌握线性代数与多项式的基本理论、
思想与方法，使学生的计算能力和抽象思维能力得到系统的训练和提高，为将来进一步学习
其它专业课程奠定坚实的代数基础。在教学过程中既强调一定的抽象性，又特别注意结合具
体的应用例子来理解代数学的数学思想和思维方法，注意介绍本课程与其他学科的联系，以
及介绍最新的科研成果以开阔同学的视野。
主要内容：多项式理论；行列式的性质与计算技巧；矩阵的性质：等价标准型；解线性
方程组；矩阵的相似标准形与特征值、特征向量；二次型与矩阵的合同；Schmidt正交化；
线性空间；线性变换。
二、教学内容
第一章数环上的矩阵与Gauss消元法
主要内容：矩阵的运算与解线性方程组的高斯消元法。具体
重点与难点：矩阵的乘法；初等矩阵
第二章行列式
主要内容：行列式的定义、性质以及求行列式
重点与难点：降阶计算以及升阶计算
第三章矩阵的相似对角化
主要内容：特征值与特征向量；方阵可相似对角化的判定
重点与难点：特征多项式；特征值与特征子空间
第四章二次型
主要内容：实二次型与实对称矩阵的对应；化二次型为标准型；正定矩阵与正定二次
型
重点与难点：正定二次型
第五章多项式理论
主要内容：多项式
重点与难点：互素与整除之间的制约关系
第六章线性空间
主要内容：基与坐标；欧氏空间与Schimidt正交化过程；酉空间
重点与难点：欧氏空间与Schimidt正交化过程；酉空间
第七章线性变换
主要内容：线性变换与矩阵的对应；投影变换与正交变换；正交变换与正交矩阵；不
变子空间
重点与难点：以上均为重点。难点很多，不再一一论述
三、教学进度安排
第一章．数环上的矩阵与Gauss消元法(16课时)
1.1．数环与数域（定义及例子）；利用Gauss消元法解一般线性方程组（有解的
判断；求解。只介绍方法，不涉及秩的概念）（2学时）
1.2．矩阵：概念以及运算（加法、数乘、乘法、转置、*运算）；线性方程
组的矩阵表达以及对于矩阵的相应Gauss消元（即初等行变换）（4）
1.3．向量：矢量的简单介绍（鼓励同学自学有关内容）；矢量与向量；与矩阵的
关系；矩阵的行、列向量组；向量组的线性相（无）
关性与极大无关组（6）
1.4．向量组的秩与矩阵的秩（行秩等于列秩）（4）
第二章.行列式（10学时）
2.1．行列式的定义（利用关于行的三条性质给出定义）（2）
2.2．行列式的性质与行列式的计算（本部分内容与Gauss消元法有密切
联系）（4）
2.3．行列式的降阶计算与升阶计算（按行展开与Laplace定理；典型例子）（4）
法则介绍（1学时）
第三章．矩阵的相似对角化(16学时)
3.1相似于对角阵的矩阵的判定（1）
3.2特征值与特征向量：计算与性质；特征多项式与特征子空间；应用介绍
（4学时）
3.3Jordan标准型介绍（1）
3.4矩阵的化零多项式：Hamilton-Caylay定理与最小多项式（2）
3.5欧氏空间n：内积与Schmidt正交化；最小二乘法（4）
3.6伴随矩阵（*运算）；Schur引理；正规阵与酉相似；实对称矩阵正交相
似于实对角阵（4学时）
第四章.二次型（共6学时）
4.1二次型与双线性型（2）
4.2正定二次型（4）
第五章.多项式理论（共8学时）
5.1带余除法、整除（1）
5.2GCD与LCM:互素与整除（1）
5.3不可约多项式与素多项式；因式分解唯一性定理（2）
5.4复数域和实数域上的不可约多项式（2）
5.5有理数域上的不可约多项式：Eisenstein判别法（2）
5.6多元对称多项式（介绍或者自学）
第六章.线性空间（共14学时）
6.1定义及例子；基、维数与坐标：强调同一个实空间上{基全体}与{可逆矩
阵}的一一对应（4）
6.2子空间的交与和：维数公式；子空间的生成问题（3）
6.3抽象欧氏空间：强调同一个实空间上{内积}与{正定矩阵}之间的一一对
应（3）
6.4线性空间与欧氏空间的同构（2）
6.5U-空间：标准正交基与酉矩阵（正交矩阵）（2）
第七章.线性变换（共14学时）
7.1线性变换的定义、例子及性质；（2）
7.2线性变换与方阵的一一对应；可逆线性变换与可逆矩阵的一一对应（代
数同构）；实空间上的{投影变换}（projection）与{满足A^2=A的实对称矩阵A}
之间的一一对应（5）
7.3不变子空间：值域、核与根子空间；根子空间的直和分解（5）
7.4正交变换与正交矩阵：代数意义与几何意义（2）
四、课程考核及说明
20%为平时成绩
20%为大作业（小论文）
60%为考试成绩
总课时中含大约10-12学时习题课。
五、教材与参考书
教材：北大王萼芳石生明编《高等代数》(第三版)
参考书：（1）陆少华等编著《大学代数》，上海交通大学出版社,2001年4月第一版
（2）AlgebraanditsApplications.4ed2006.
（3）ArtinM.,Algebra,1991年第一版（PearsonEducation）;2004年3月(机
械工业出版社)