绝对值的计算
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2023年2月21日发(作者：小米的商业模式).
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绝对值〔提高〕
撰稿：景艳审稿：炜
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比拟两个负有理数的大小；
4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进展解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
〔1〕绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0
的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
〔2〕绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距
离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
〔3〕一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比拟
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上
的位置如下图，那么a＜b．
2.法那么比拟法：
两个数比拟大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
(0)
||0(0)
(0)
aa
aa
aa
.
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两数异号正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比拟两个负数的大小的步骤：〔1〕分别计算两数的绝对值；〔2〕比拟绝对
值的大小：〔3〕判定两数的大小．
3.作差法：设a、b为任意数，假设a－b＞0，那么a＞b；假设a－b＝0，那么a＝b；假设a
－b＜0，a＜b；反之成立．
4.求商法：设a、b为任意正数，假设1
a
b
，那么
ab
；假设1
a
b
，那么
ab
；假设1
a
b
，
那么
ab
；反之也成立．假设a、b为任意负数，那么与上述结论相反．
5.倒数比拟法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．计算：〔1〕
1
4
5
〔2〕|－4|+|3|+|0|〔3〕－|+(－8)|
【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.
(1)
111
444
555
，
(2)|－4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，
(3)－|+(－8)|＝－[－(－8)]＝－8．
【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利
用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再
根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从
而求出该数的绝对值．
2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【思路点拨】6和－6的绝对值都等于6，4和－4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝－6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝－4；
由于x＜y，故x只能是－6，因此x＝－6，y＝±4．
.
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【总结升华】绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无
论哪种方法但要注意假设一个数的绝对值是正数，那么此数有两个，且互为相反数.此外，
此题x＝－6，y＝±4，就是x＝－6，y＝4或x＝－6，y＝－4.
举一反三：
【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，那么x、y的值各是多少?
【答案】x＝6，y＝±4
【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，那么点A表示的数为．
如果｜x－2｜＝1，那么x＝；
如果｜x｜＞3，那么x的围是．
【答案】6或－6；1或3；
x>3
或
x<-3
【变式3】|a|＝3，|b|＝4，假设a，b同号，那么|a+b|＝_________；假设a，b异号，
那么|a+b|＝________．据此讨论|a+b|与|a|+|b|的大小关系．
【答案】7，1；假设a，b同号或至少有一个为零，那么|a+b|=|a|+|b|；假设a，b异号，
那么|a+b|＜|a|+|b|，
由此可得：|a+b|≤|a|+|b|.
类型二、比大小
3．比拟以下每组数的大小：
(1)－(－5)与－|－5|；(2)－(+3)与0；(3)
4
5
与
3
4
；(4)
与
|3.14|
．
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两
个正数还是两个负数〞，然后比拟．
【答案与解析】(1)化简得：－(－5)＝5，－|－5|＝－5．
因为正数大于一切负数，所以－(－5)＞－|－5|．
(2)化简得：－(+3)＝－3．因为负数小于零，所以－(+3)＜0．
(3)化简得：
33
44
．这是两个负数比拟大小，因为
4416
5520
，
3315
4420
，
且
1615
2020
．所以
43
54
．
.
-
..-
(4)化简得：－|－3.14|＝－3.14，这是两个负数比拟大小，因为|－π|＝π，|－3.14|＝
3.14，而π＞3.14，所以－π＜－|－3.14|．
【总结升华】在比拟两个负数的大小时，可按以下步骤进展：先求两个负数的绝对值，再比
拟两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小〞做出正确的判断．
举一反三：
【高清课堂：绝对值比大小例〔简单举例〕】
【变式1】比大小：
（1）－0.3
3
1
〔2〕
9
1
10
1
．
【答案】＞；＞
【高清课堂：绝对值比大小典型例题2〔最后两个〕】
【变式2】比大小：〔1〕1.38______－1.384；〔2〕－π___－3.14．
【答案】＞；＜
【变式3】假设m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞〞把m，－m，n，－n连接起来．
【答案】解法一：∵m＞0，n＜0，
∴m为正数，－m为负数，n为负数，－n为正数．
又∵正数大于一切负数，且|m|＞|n|，
∴m＞－n＞n＞－m．
解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，
把m，n，－m，－n表示在数轴上，如下图．
∵数轴上的数右边的数总比左边的数大，
∴m＞－n＞n＞－m．
类型三、
含有字母的绝对值的化简
4.把以下各式去掉绝对值的符号．
(1)|a－4|(a≥4)；(2)|5－b|(b＞5)．
【答案与解析】
.
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(1)∵a≥4，∴a－4≥0，∴|a－4|＝a－4．
(2)∵b＞5，∴5－b＜0，∴|5－b|＝－(5－b)＝b－5．
【总结升华】由字母的取值围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对
值的符号.
举一反三：
【变式1】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如下图：
化简：【答案】由图所示，可得．
∴30ac，，，
∵
．
∴原式．
【变式2】求的最小值．
【答案】
法一：当2x时，那么
23(2)[(3)]23215xxxxxxx
当时，那么23(2)[(3)]235xxxxxx
当时，那么23(2)(3)23215xxxxxxx
综上：当时，取得最小值为：5.
法二：借助数轴分类讨论：①；②；③.
的几何意义为对应的点到－2对应点的距离与对应点到3对应
点的距离和．
.
-
..-
由图明显看出时取最小值．
所以，时，取最小值5
类型四、绝对值非负性的应用
5.a、b为有理数，且满足：
1
2
，那么a=_______，b=________．
【答案与解析】由，，，可得∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个
数都为0．几个非负数的和为0，那么每一个数均为0．
举一反三：
【变式1】，那么x的取值围是________．
【答案】；提示：将看成整体，即，那么，故，．
【变式2】b为正整数，且a、b满足，求的值．
【答案】由题意得∴所以，
2ba
类型五、绝对值的实际应用
6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，
用正数记超过规定质量的克数，用负数记缺乏规定质量的克数．检测结果(单位：克)：－25，
+10，－20，+30，+15，－40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案与解析】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜+30｜＜｜－40｜，所
以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
.
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【总结升华】绝对值越小，越接近标准.
举一反三：
【变式】一只得意的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正
数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，－3，+10，
－8，－6，+12，－10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一
共可以得到多少粒芝麻?
【答案】：小虫爬行的总路程为：
|+5|+|－3|+|+10|+|－8|+|－6|+|+12|+|－10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)
答：小虫一共可以得到108粒芝麻.