绝对值不等式公式

绝对值不等式公式

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含绝对值的不等式

含绝对值的不等式

[学习要求]

（1）理解并掌握解含绝对值的不等式的基本思路是化去绝对值符号，转化为不含绝对

值符号的不等式（或不等式组）来解。

（2）弄懂去绝对值符号的理论依据，掌握去绝对值符号的主要方法，会解简单的含

有绝对值的不等式。

[重点难点]

1．实数绝对值的定义:

|a|=

这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。

2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。

若a>0时，则

|x|

|x|>axa。

注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)

到原点的距离。

3．常用的同解变形

|f(x)|

|f(x)|>g(x)f(x)g(x)；

|f(x)|<|g(x)|f2(x)

4．三角形不等式:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

例题选讲:

第一阶梯

例1：实数绝对值的涵义是什么？

探路：实数绝对值的定义是分类给出的。

解：正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。

即：

评注：绝对值的概念是分类定义的，因此，在解决这类问题时，必须要分类讨论。

例2：型如：|x|a，（其中a>0）不等式的解法。

探路：利用不等式的乘方法则或绝对值意义均可。

解：当a>0时，|x|

|x|>ax2>a2x>a或x<－a；其几何意义为

评注：

解：型如|x|0）和|x|>a，（a>0）的不等式，可以利用平方法化为关于x的二

次不等式来解；也可以利用定义法来解，均可求得它们的解集。今后，要熟记|x|0）

的解集为－a0）的解集为x>a或x<－a是十分重要的。

例3：由定理－“|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”导出定理：“|a|－|b|≤|a－b|≤

|a|+|b|”

探路：利用“代换法”

证明：由定理一可知，|a|－|－b|≤|a+(－b)|≤|a|+|－b|，即|a|－|b|≤|a－b|≤

|a|+|b|

评注：关于和、差、积、商的绝对值与绝对值的和、差、积、商，有下面性质。

（1）|a·b|=|a|·|b|；（2），（b≠0）；

（3）|a|－|b|≤|a+b|≤|a|+|b|；（4）|a|－|b|≤|a－b|≤|a|+|b|

例4：不等式||<1的解集是（）

（A）{x|5

（C）{x|7

探路：

根据不等式的性质|f(x)|0）求解。

解：

<1－1<－3<12<<44

即{x|6

评注：本题考查含绝对值不等式的解法。

例5：解不等式|3x+2|+|x-2|>4

探路：

含多个绝对值符号的不等式，利用零点、分区间、讨论法。

解：由3x+2=0，得x=；由x-2=0，得x=2，∴

原式或或

或或

x<－1或02

x0故原不等式的解集为{x|0}

评注：

①解含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，一般采用零点、分区间、讨论法；即先

求出使每个含绝对值符号的解析式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，

它们把序轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内解析式在每一个区间上的符号，去掉绝

对值符号，转化为不含绝对值的不等式去解。

②分类讨论思想、解关于x的不等式，若对x讨论，所求不等式的解集是各种情况所

得解集的并集。

第二阶梯

例1：解下列不等式

（1）|-2|≤3；（2）|x2-3x|>4

探路：当a>0时，有|f(x)|≤a－a≤f(x)≤a；|f(x)|>af(x)>a或f(x)<－a

解：

（1）原不等式－3≤－2≤3－1≤≤5，∵≥0，

∴0≤≤50≤3x-2≤252≤3x≤27≤x≤9

∴原不等式的解集为{x|≤x≤9}；

（2）原不等式x2-3x>4或x2-3x0或x2-3x+4<0

解x2-3x-4>0，得x4；解x2-3x+4<0，得x∈

∴原不等式的解集是{x|x4}。

评注：

依据a>0，x∈R时，有|x|ax>a或x<－a

可知，去掉绝对值符号的主要方法，为|f(x)|0）；|f(x)|>a

f(x)>a或f(x)0）

例2.解下列不等式

（i）|x2－9|≤x+3；

探路：根据实数绝对值的意义，即|a|=去掉绝对值符号，再行解之。

解：原不等式（I）或（II）

不等式组（I）x=－3或3≤x≤4；

不等式组（II）2≤x＜3；

∴原不等式的解集是{x|x=－3或2≤x≤4}。

探路（2）：根据不等式的性质|f(x)|≤g(x)－g(x)≤f(x)≤g(x)去掉绝对值符号，

再行解之。

解：原不等式－(x+3)≤x2－9≤x+3≤

x=－3或2≤x≤4。

∴原不等式的解集为{x|x=－3或2≤x≤4}。

评注：

解含绝对值符号不等式的基本方法是去掉绝对值符号，然后再解；去绝对值符号的常用

手段有三种，即根据实数绝对值的意义，去绝对值符号；根据不等式性质：去绝对值符号，在

这里不必考虑g(x)的符号问题；也可以根据|a|2=a2，（a∈R），将不等式两边平方，此时要注

意不等式两边平方的条件。

（ii）>2x；

探路：

|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)（请同学们直接使用，证明略）

解：原不等式>2x或<－2x；

由>2x，得x；

由<－2x，得

∴原不等式的解集为{x|x}

评注：熟练应用“|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)

只求会用，不必证明。

例3：解下列各不等式

(i)

探路：

利用，将原不等式化为关于|x|的含绝对值二次不等式，先求出|x|的取值范

围，再求x的取值范围。

解：∵x2=|x|2

∴原不等式的解集为

评注：对上面介绍的五种去掉绝对值符号的方法，不要盲目套用，要分析题目的结果特

征，选择解题的最佳途径是我们要培养的基础功。

(ii)

探路：∵不等式两边均为非负数，∴可以利用“平方法”

解：∵不等式两边都是非负数，∴不等式两边分别平方，得

，整理得

又∵此不等式两边都是非负数，∴两边分别平方，得

整理，得

∴原不等式的解集为；

评注：在利用“平方法”去绝对值符号时，必须注意不等式两边都非负的条件。

探路：可以利用零点、分段、讨论法（即零点区间法）

解4：求零点：令x+3=0，得x=-3；令x-3=0，得x=3。分段：两个零点将R分为

三段；

（i）当x≥3时，原不等式化为|x+3-x+3|>3，∵此不等式恒成立；∴x≥3

（ii）当x≤-3时，原不等式化为|-x-3+x-3|>3，∵此不等式恒成立，∴x≤-3

（iii）当-3

求(i)、(ii)、(iii)的并集，得原不等式的解集为

第三阶梯

例1：设集合，若AB，求实数a的取值范

围。

探路：分别解绝对值不等式，分式不等式，化简集合A，B，再将集合的包含关系转化为

与之等价的不等式组，求a的取值范围。注意此时应包括端点。

解：|x-a|<2-2∴A={x|a-2-2

∴B={x|-2

∵AB,于是0≤a≤1。

评注：

本题考查的方向是求满足条件实数a的取值范围；考查的知识点为：绝对值不等式，分

式不等式的解法以及集合的知识；考查数形结合的数学思想，必须指出的是集合的包含关系，

可直观地解释为数轴上区间的覆盖关系，从而将集合的包含关系转化为与之等价的不等式组，

求得a的取值范围。

例2：求证：

探路：

用综合法不易得手时，可从结论分析入手，逐步寻找使前一个不等式成立的充分条件或

充要条件。

成立，∴原不等式成立。

评注：

本题考查用分析法证明不等式，是对课本P27。例4，证明方法的挖潜，∵每一个不等式

都是前一个不等式成立的充分条件或充要条件，因而相邻两个不等式之间要用反向单箭头

“”（表示后一个不等式是前一个不等式成立的充分条件），或用双向箭头“”（表示

后一个不等式是前一个不等式成立的充要条件）连结。也可以用“需证”、“即证”等语句连

结。通过练习，落实数学思想和方法。

例3：已知|a|<1,|b|<1，试比较|a+b|+|a-b|与2的大小。

探路：

∵要比较大小的对象含有绝对值符号，∴可联想算术平方根，对其进行变形，再利用不

等式的性质进行放缩处理。

评注：

对于含有绝对值符号的比较大小问题，可视为绝对值不等式的证明，要结合绝对值不等

式的性质，利用放缩等方法解决问题。

探路：本题也可以按a+b与a-b的符号分类讨论，解答问题。

解：

(i)当a+b与a-b同号时，有

(ii)当a+b与a-b异号时，有

(iii)当a+b与a-b至少一者为零时，结论显然

综上所述：|a+b|+|a-b|<2

仅供参考，不必深究。

例4：设a>0，且a≠1，解关于x的不等式

探路：利用“同底法”。

解：

∴原不等式

(i)当0

不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为；

(ii)当a>1时

不等式组（Ⅲ），无解，∴原不等式的解集为

评注：

本题是含字母系数a的对数不等式，参数a的作用有两个：一是由01来决定

对数函数的单调性；在对数不等式变换为代数不等式时，决定不等号的方向是否改变；二是决

定所得代数不等式的解集，还需指出的是，对数函数的定义域为R+的制约作用也不可忽视。

第四阶梯

例1．解不等式|x2+4x-1|<4.............①

解:①-4

-5

即原不等式的解集是（-5，-3）∪（-1，1）。

例2．解不等式|x2-3|>2x...........①

解:①x2-32xx2+2x-30

-3

即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。

例3．解不等式||≤1...........①

解:①

(2)|2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0(2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0

(x+4)(3x+2)≤0,-4≤x≤-。

(3)x≠1。

∴原不等式的解集为[-4，-]。

例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........①

分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个

区间；（-∞，-1），[-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的

解集的并集即可。

解:将不等式①化为三个不等式组

（I）-2

（II）-1≤x≤2；

（III）2

∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。

例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。

解:∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴原不等式无解。

说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后

解这一类问题，应先判断。

例6．已知:|a|<1,|b|<1。求证:||<1.........①

证法1：欲证①，只需证<1,

只需证|a+b|<|1+ab|,只需证(a+b)2<(1+ab)2,只需证(a+b)2-(1+ab)2<0,

只需证(a2+b2-a2b2-1)<0,只需证-(a2-1)(b2-1)<0............②

∵|a|<1,|b|<1。∴a2<1,b2<1，即a2-1<0,b2-1<0。∴②式成立，

∴原不等式成立。

证法2：欲证①，只需证-1<<1,

只需证（+1）（-1）<0,

只需证·<0,

只需证<0,

只需证<0............③

∵|a|<1,|b|<1,∴a2<1,b2<1，即a2-1<0,b2-1<0,

又(1+ab)2>0,∴③式成立，

∴原不等式成立。

例7．求证:≤≤+。

证法1:

∵≤|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|)

|a+b|≤|a|+|b|。

∵上式显然成立，∴≤成立。

又=+≤+。

∴原命题成立。

证法2：这里只证明≤

分析:观察两式结构均为的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明

函数y=在[0，+∞）上单调递增即可。

证明:设0≤x1≤x2,则-=，

∵0≤x1≤x2,∴x2-x1≥0,1+x1>0,1+x2>0,∴≥0。

∴-≥0,即≥,

设x1=|a+b|,x2=|a|+|b|

∵|a+b|≤|a|+|b|,

∴≤。

参考练习:

1．解不等式|x2+3x-8|≤10。

2．解不等式|x+7|-|x-2|<3。

3．解不等式|-3|>1。

4．解不等式|log3x|+|log3(3-x)|≥1。

5．求y=的值域。

6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|<,|f(2)|<,|f(3)|<,

不可能同时成立。

7．已知|x|<,|y|<,|z|0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。

参考答案:

1.[-6,-2]∪[-1,3]；

2.(-∞,-1)；

3.[,2)∪(6,+∞)；

4.提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，

（2，3）解即可。解集（0，）∪[，3]。

5．提示:可用反解法解出sinx=，则解不等式||≤1得y∈[-4,-]。

6．提示:用反证法

略证:假设|1+a+b|<,|4+2a+b|<,及|9+3a+b|<同时成立。

由题设a,b∈Z,∴1+a+b∈Z,

∴1+a+b=0.........①

同理4+2a+b=0.......②9+3a+b=0.........③

由①，②解得a=-3,b=2。但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|不

能同时小于。

7．证明略。

测试

选择题

1．求不等式(1+|x|)(|2x+1|-4)>0的解集是()

A.x>B.x>或x<-C.x<-D.x<-1

2．不等式|x-2|+|x+2|<10的解是()

A.x>5B.x<2C.-5

3．解关于x的不等式x2-2ax≤-a2+1()

A.a-1≤x≤a+1B.a+1≤x≤a-1

C.a≤x≤a+1D.a-1≤x≤a

4．解不等式()

A.x>2B.x=-2或

C.D.x=-2

5．解不等式：()

A.B.

C.D.

答案与解析

答案：1、B2、C3、A4、B5、A

解析：

1.分析：首先观察不等式，不难发现(1+|x|)是非负的，所以(|2x+1|-4)必须大于0。解

(|2x+1|-4)>0就可以了。

2.分析：首先寻找零点，就是|x-2|=0和|x+2|=0，得到x=2和x=-2。然后分x<-2和-2≤x

≤2和2

注：也可取特殊值代入验证：0满足不等式，所以解集中应该有0，排除A、D；再代入-5

验证。

3.分析：原不等式等价于x2-2ax+a2≤1。

即(x-a)2≤1，-1≤x-a≤1。

∴原不等式的解集为a-1≤x≤a+1。

4.分析：原不等式

5.分析：原不等式

绝对值不等式内容归纳

1、含有绝对值的不等式的性质

(1)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

证明：∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,

∴-(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|),

|a+b|≤|a|+|b|........①

又a=a+b-b,|-b|=|b|

∴由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②

由①②得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

由以上定理很容易推得以下的结论：

(2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|

(3)|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|

2几个基本不等式的解集

(1)|x|0)

(2)|x|>ax>a或x0)

(3)|x-m|0)-a(4)|x-m|>a(a>0)x-m>a或x-mm+a或x

3．绝对值的定义：

|a|=

由定义可知：|ab|=|a||b|,.

4．绝对值不等式的解法

(1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。因此如何

去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划

分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化

为图像或曲线为解决。

(2)几种主要的类型

①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x)

②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)

③|f(x)|

④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对

值符号去求解。

⑤含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决

5．关于“绝对值”的四则运算规律

1)|ab|=|a|·|b|(2)(3)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(4)|a|-|b|≤|a-b|

≤|a|+|b|

在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某

些情况下，可以取等号。

6．不等式取等号的条件

(1)|a|-|b|≤|a+b|取等号a,b异号且|a|>|b|

(2)|a+b|≤|a|+|b|取等号a,b同号

(3)|a|-|b|≤|a-b|取等号a,b同号且|a|>|b|

(4)|a-b|≤|a|+|b|取等号a,b异号

7．拓展

(1)定理在形式上包含两部分：|a+b|≤|a|+|b|和|a|-|b|≤|a+b|，但|a|-|b|≤|a+b|

|a+b+(-b)|≤|a+b|+|(-b)|，这说明前者与后者在本质上是一致的，故可先证明前者，再由前者

推出后者。

(2)定理可改写为||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当a,b同号或至少有一个为0时右侧等号成

立，当a,b异号或至少有一为0时左侧等号成立。等号成立的条件常可用于求最值问题。

(3)推论1：|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|，可推广到多个数的情况：|a1+a2+……+an|≤

|a1|+|a2|+……+|an|，当且仅当a1,a2……an非异号时等号成立。它是不等式的证明中“放缩”的

依据，同时也使求函数的最值有了更简洁的途径。

(4)定理可与向量模的不等式：联系起来，因此也可称为

三角形不等式。

检测题

1、选择题

（1）若|x-a|

A、|x-y|2h

（2）实数x,y，满足xy>0，则有

A、|x+y|>|x-y|B、|x+y|>|x|+|y|C、|x-y|>|x|-|y|D、

|x|+|y|>|x+y|

（3）设全集为R，A={x|x2-5x-6>0}，B={x||x-5|

A、B、C、D、

（4）不等式的解集是（）

A、{x|x12}B、{x|4

C、{x|3≤x12}D、{x|3

（5）不等式1<|2-x|≤7的解集是（）

A、[3，9]B、[-5，9]C、D、

（6）不等式|x+1|+|x+2|<5的所有实数解的集合是（）

A、（-3，2）B、（-1，3）C、（-4，1）D、

（7）不等式的解集是（）

A、{x|-2≤x≤2}B、{x|-≤x<0或0

C、{x|-≤x<0或0

（8）不等式组的解集是（）

A、{x|0

C、{x|0

（9）若不等式|x-3|+|x-4|

A、a>1B、a≥1C、a>7D、1

（10）设a>1，方程的解是（）

A、B、x≥1C、x≥aD、0

2、填空题：

（1）不等式|x+1|<1的解集为；

（2）设，B={x||x-1|0}，当时，a的取值

范围是；

（3）不等式|x2-x-6|>2+x的解集为；

（4）不等式的解集为；

（5）不等式的解集为；

答案：

1、⑴、B⑵、A⑶、D⑷、C⑸、D⑹、C⑺、

B⑻、C⑼、A⑽、B

2、⑴、-2

⑸、