勒让德函数
入职流程图-对数函数知识点
2023年2月20日发(作者：狼人杀话术)勒让德（legendre）多项式及其性质
一．勒让德多项式
勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德
方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：
2'''(1)2(1)0xyxynny
其中n为非负实数（）
它的幂级数解如下：
12
yyy
（）
其中：
224
120
0
(1)(2)(1)(3)
[1]
2!4!
k
k
k
nnnnnn
yaxaxx
（）
2135
2211
0
(1)(2)(1)(3)(2)(4)
[]
3!5!
k
k
k
nnnnnn
yaxaxxx
（）
由达朗贝尔判别法可知，当
0n
不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（）式和（）
式中，
0
a
与
1
a
可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内
1
y和
2
y都
是方程（）的解，所以（）是（）的通解。
上面（）和（）幂级数当
||1x
时级数收敛，此外级数是发散的。并且，我们发现，当n取
非负整数时，
1
y和
2
y中有一个便退化为n次多项式，它就是方程（）在闭区间[-1,1]上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数
n
a，所得的多项式称为n阶勒让德多项式或第一类勒
让德函数，记作
n
Px
，下面我们来推导勒让德多项式
n
Px的表达式。
①当n为正偶数时
1
y
退化为
n
次多项式。为求得
n
Px
的表达式，在
1
y
中我们通过
n
a
来表示其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
2
(2)(1)
()(1)kk
kk
aa
knkn
（）
在（）式中取
2kn
，得：
2
(1)
2(21)nn
nn
aa
n
（）
习惯上取
n
a
为2
(2)
2(!)n
n
n
a
n
（）
于是有：
2
(1)2(21)(22)!
2(21)2(1)!(1)(2!)n
n
nnnnn
a
nnnnnn
(22)!
2(1)!(2)!n
n
nn
（）
在（）式中取
4kn
，并利用
2n
a
之值得：
42
(2)(3)
4(23)nn
nn
aa
n
2
(2)(3)(22)!
(1)
4(23)2(1)!(2)!n
nnn
nnn
2
(24)!
(1)
2(2!)(2)!(4)!n
n
nn
（）
一般地，我们有
2
22!
1
2!()!(2)!
m
nm
n
nm
a
mnmnm
（
0,1,,
2
n
m
）（）
我们将这些系数带入（）中，并把此时的
1
y记作()
n
Px，可得：
2
2
0
(22)!
()(1)
2!()!(2)!
n
mnm
n
n
m
nm
pxx
mnmnm
（）
这就是当n为正偶数时勒让德多项式。
②当n为正奇数时
2
y
退化为
n
次多项式，我们把
2
y
记作
()
n
Px
，同理可得：
1
2
2
0
(22)!
()(1)
2!()!(2)!
n
mnm
n
n
m
nm
pxx
mnmnm
（）
把（）和（）写成统一的形式，得
[]
2
2
0
(22)!
()(1)
2!()!(2)!
n
mnm
n
n
m
nm
pxx
mnmnm
（）
其中
[]
2
n
表示
2
n
的整数部分
由上述讨论可知，当n为非负整数时，
1
y和
2
y中有一个是n阶勒让德多项式，而另一个是无穷
级数，记作
()
n
Qx
，称为第二类勒让德函数，此时方程（）通解为：
12
()()
nn
ycPxcQx
（）
特别当
0,1,2,3,4,5n
时，由（）和（）式得：
0
()1Px
1
()Pxx2
2
1
()(31)
2
Pxx
3
3
1
()(53)
2
Pxxx42
4
1
()(35303)
8
Pxxx53
5
1
()(637015)
8
Pxxxx
它们的图形如下：
二．勒让德多项式的性质
首先介绍一下勒让德多项式的母函数：
试将函数
1
2
2(,)(12)xzxzz
（）
展开成z的幂级数
0
(,)n
n
n
xzAz
（）
可以证明
(,)xz
级数展开式中nz的系数恰好是勒让德多项式，最终得到
1
2
2
0
(,)(12)()n
n
n
xzxzzPxz
（）
因此称
(,)xz
为勒让德多项式的母函数。
1．
()(1)()n
nn
PxPx
（）
将式（）中的x以x代入，z以z代入，立即得到此结果。此式说明()
n
Px的奇偶性由n
而定，当n为偶数时，()
n
Px为偶函数，当n为奇数时，()
n
Px为奇函数。
2．
(1)1,(1)(1)n
nn
PP
（）
将
1x
代入式（），得到
1
0
(1)(1)n
n
n
zPz
而
1
0
(1)n
n
zz
所以
(1)1
n
P
由上式和（）立即得到
(1)(1)(1)n
nn
PP
3．勒让德多项式的递推公式：
11
(1)()(21)()()0
nnn
nPxnxPxnPx
（）
'''
11
()()2()()
nnnn
PxPxxPxPx
（）
''
1
()()(1)()
nnn
PxxPxnPx
（）
''
1
()()()
nnn
xPxPxnPx
（）
''
11
()()(21)()
nnn
PxPxnPx
（）
现在我们来证明（）及其它的导数公式，将母函数
(,)xz
分别对,xz微分，得到
3
2
2
2
(12)
12
z
zxzz
xxzz
3
2
2
2
()(12)
12
xz
xzxzz
zxzz
得到下列两个恒等式
2(12)0xzzz
x
（）
2(12)()0xzzzx
z
（）
又从式（）和（）得到
()0zzx
zx
（）
将（）两端分别对,xz微分，得到
'
0
()n
n
n
Pxz
x
（）
1
1
()n
n
n
nPxz
z
（）
然后将它们带入（），得到
''
1
11
()[()()]nn
nnn
nn
xPxznPxPxz
于是得到()
n
Px与导数之间的关系式
''
1
()()()
nnn
xPxPxnPx
其它的导数公式这里不在一一证明。
将式（）和（）代入式（）中，得到
11
0
[(1)()(21)()()]0
nnn
n
nPxnxPxnPx
上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到
11
(1)()(21)()()0
nnn
nPxnxPxnPx
这就是递推公式，由
0
()Px，
1
()Px可以推出
2
()Px，由
1
()Px，
2
()Px可以推出
3
()Px，…..
4．勒让德多项式的正交性：
勒让德多项式在[-1,1]上正交，即
1
1
2
()()
21nm
PxPxdx
n
当nm时（）
1
1
()()0
nm
PxPxdx
当nm时（）
勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。