线面角公式

线面角公式

彩铅荷花-呼唤的近义词

2023年2月20日发(作者：java简历模板)

1

B

1

D

1

AD

C

1

B

C

A

1

线线角与线面角

一、课前预习

1.在空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E、F分别为AB、CD的中点

且EF=

3

，AD、BC所成的角为.

2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的

角分别为60ο和45ο，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为

()

(A).4

6

(B).3

6

(C).6

2

(D).6

3

3.平面

与直线a所成的角为3



,则直线a与平面



内所有直

线所成的角的取值范围是．

4.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所

成的角的度数为

(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο

5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο,∠C=90ο,BC是贴于桌面上,

当三角尺与桌面成45ο角时,AB边与桌面所成角的正弦值

是．

二、典型例题

例1.(96·全国)如图,正方形ABCD所在平面与正方形

ABEF所在平面成60ο角,求异面直线AD与BF所成角的余弦值.

【备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平

A

C

B

D

A

B

P

C

D

A

C

B

F

E

2

面图形.作法有:

①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平

行线或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的

在于容易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的

角,并要有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤.】

例2.如图在正方体AC1中,(1)求BC1与平面ACC1A1所成的角;(2)

求A1B1与平面A1C1B所成的角.

备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在

此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作

平面的垂线.作垂线的方法常采用:①利用平面垂直

的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置.

例3.已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶

FB1=2∶1,BF=BC=a2.(1)若D为BC的中点,E为线段AD

上不同于A、D的任意一点,证明：EF⊥FC1;(2)试问:

若AB=

a2,在线段AD上的E点能否使EF与平面

BB1C1C成60ο角,为什么?证明你的结论.

备课说明:这是一道探索性命题,也是近年高考热点问题,解

决这类问题,常假设命题成立,再研究是否与已知条件矛盾,

从而判断命题是否成立.

一、知识与方法要点：

1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。

求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜

A

D

C

1

D

1

A

1

B

1

C

B

A

1

C

B

A

B

1

D

C

1

E

F

3

线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足

的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点

到平面的距离。

2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是

找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线

定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定

垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求

二面角的大小。

3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另

一个平面的直线。

两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平

面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

二、例题

例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．

(1)求证：AC1⊥平面A1BD．

(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．

解：(1)连AC，∵C1C⊥平面ABCD，

∴C1C⊥BD．

又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B

∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．

(2)设正方体的棱长为a，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，

在△D1AC1中，ME∥AC1，

4

∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．

连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在

RtMEB

中，

1

3

22

AC

MEa

，

2

2

26

26

BEaaa











，∴

2

tan

2

ME

MBE

BE



．

例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，

使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．

（1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．

证明（1）由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应

是△ABC的外心，即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的

判定定理知，面ABP⊥面ABC．

（2）解法1取PB中点E，连结CE、DE、CD．∵△BCP为正三角形，

∴CE⊥BD．△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面

角C-BP-A的平面角．又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB

＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥

DE．因此△CDE为直角三角形．

设

1BC

，则

3

2

CE

，

1

2

DE

，

1

3

2

cos

3

3

2

DE

CED

CE



．

例3．如图所示，在正三棱柱111

ABCABC

中，1

EBB

，截面1

AEC

侧

面1

AC

．(1)求证：1

BEEB

；(2)若111

AAAB

，求平面1

AEC

与平面111

ABC

所成二面角(锐角)的度数．

证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足，如图，

5

∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1．

取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．

∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，

得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．

∵BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG．

∴BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC．

解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结A1D．

∵∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝60°，

∴∠DA1C1＝∠DA1B1＋∠B1A1C1＝90°，即DA1⊥A1C1．∵CC1

⊥面A1C1B1，

由三垂线定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面

角．且∠A1C1C＝90°．

∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，∴∠CA1C1＝45°，即所求二面角为

45°．

说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．

三、作业：

6

1．已知平面的一条斜线a与平面成角，直线b，且a,b

异面，则a与b所成的角为（A）

A．有最小值，有最大值2



B．无最小值，有最大值2



。

C．有最小值，无最大值D．有最小值，有最大值。

2．下列命题中正确的是（D）

A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个

B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个

C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条

D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个

3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两

个平面所成的角分别为

45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则

垂足间的距离是（A）

A．30B．20C．15D．12

4．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为2

，底面边长为

3

，E是

SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）

A．30°B．45°C．60°D．90°

5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan22

，则它的侧

棱与底面所成的角为

2

6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，

AB=3，AC=AD=2.

（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.

7

7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD

所成角的正弦值．

解过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足，

∴AH2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，

∠ECO即为所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD

∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心，

连结DH并延长交BC于F，F为BC的中点，

2233

3323

DHDFaa

，在Rt△ADH中，

8．在四面体ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，

AF⊥DB．

求证：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．

证明如图1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又

∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．

∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD内的射影．∵AF

⊥DB．∴AF⊥CD（三垂线定理）．

8

∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．

（2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD面BCD．∴

面AEF⊥面BCD．

（3）由EF⊥CD，AE⊥CD∴AEF为二面角B-DC-A的平面

又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D∴AF⊥平面DBC，

二面角题目：

如图所示，已知PA面

ABC

，

,

PBCABC

SSSS







，二面角

PBCA

的平面角为



，求证：

cosSS





2．如图，在空间四边形ABCD

中，

BCD

是正三角形，ABD

是等腰直角三角形，且

90BAD

，又二面角

ABDC

为直二

面角，求二面角

ACDB

的大小。

D

C

B

P

A

D

C

F

H

B

A

E

9

E

D'

B'

C'

A'

O

D

A

C

B

例3．设A在平面

BCD

内的射影是直角三角形

BCD

的斜边BD的中

点

O

，

1,2ACBCCD

，

求（1）AC与平面BCD所成角的大小；

（2）二面角

ABCD

的大小；

（3）异面直线AB和CD所成角的大小。

例4.在正方体

ABCDABCD





中，M为AA

的中点，求截面DMB

与

底面

ABCD

所成较小的二面角的大小。

选用：如图，正方体的棱长为1，

'BCBCO





，

求：

（1）

AO

与

AC



所成角；

（2）

AO

与平面

ABCD

所成角的正切值；

（3）平面

AOB

与平面

AOC

所成角

解：（1）∵

//ACAC

∴AO

与

AC



所成角就是

OAC

∵

,OCOBAB

平面

BC

∴OCOA

（三垂线定理）

在

RtAOC

中，

2

,2

2

OCAC

∴30OAC

（2）作

OEBC

，平面

BC





平面

ABCD

∴

OE

平面

ABCD

，

OAE

为

OA

与平面

ABCD

所成角

在

RtOAE

中，

22

115

,1()

222

OEAE

∴

5

tan

5

OE

OAE

AE



10

（3）∵

,OCOAOCOB

∴OC

平面

AOB

又∵

OC

平面

AOC∴平面AOB

平面

AOC

即平面

AOB

与平面

AOC

所成角为

90

二面角大小的求法

二面角的类型和求法可用框图展现如下：

一、定义法：

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作

棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；

例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥

β,B∈β.求∠APB的大小.

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正

方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求二面

角B-PC-D的大小。

j

A

B

C

D

P

H

P

O

B

A

11

二、三垂线定理法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或

逆定理作出二面角的平面角；

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，

PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。

例、(2003北京春)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,

侧棱AA1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C1DE与

面CDE所成二面角的正切值.

例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平

面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）

二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB

—A的大小

p

A

B

C

D

L

H

C

D

P

M

B

A

A

B

CD

A

1B

1

C

1

D

1

E

O

12

例、(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，

B∈，点A在直线l上的射影为A

1

，点B在l的射影为B

1

，已知AB=2，

AA

1

=1，BB

1

=2，求：二面角A

1

－AB－B

1

的大小.

三、垂面法：

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半

平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的

平面与棱垂直；

例、空间的点P到二面角l的面、及棱l的距离分别为

4、3、

3

392

，求二面角l的大小.

四、射影法：（面积法）

利用面积射影公式S射＝S原cos,其中为平面角的大小，此

方法不必在图形中画出平面角；

P





l

C

B

A

图4

B

1

A





A

1

B

L

E

F

13

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA

＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

l

A

B

C

D

P

14

例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面

BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

五、平移或延长（展）线（面）法

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交

出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，

PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

A

H

M

D

1

C

1

B

1

A

1

B

CD

P

C1

A1

B1

A

B

C

D

P

A

B

C

D

15

课前预习

1.60ο2.A3.[3



,2



]4.C5.4

6

典型例题

例1解:∵CB∥AD

∴∠CBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形

ABCD的边长为,则BF=a2

∵CB⊥AB,EB⊥AB∴∠CEB为平面ABCD

与平面ABEF所成的角

∴∠CBE=∠60ο∴CE=aFC=a2∴cos∠CBF=4

2

例2解:(1)设所求的角为

,先证BD⊥平面ACC1A1,则sin=sin∠

OC1B=1

BC

OB

=2

1

.故=30o.(2)△A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1.

∴棱锥B1-A1BC1是正三棱锥.过B1作B1H⊥平面A1BC1,连A1H,∠

B1A1H是直线A1B1与平面A1C1B所成的角.设A1B1=a则A1B=

a2

得

A1H=

a

3

6

.故cos∠B1A1H=11

1

BA

HA

=3

6

.所求角为3

6

arccos

例3解:(1)连接OF,容易证明AD⊥面BB1C1C,DF是EF在面

B1C1CB的射影,且DF⊥FC1,

∴FC1⊥EF.(2)∵AD⊥面BB1C1C,∠EFD是EF与平面BB1C1C所

成的角.在△EDF中,若∠EFD=60ο,则ED=DF·tan60ο=

3

·

5=a15,

∵AB=BC=AC=2a,∴AD=a3.∵a15>a3.∴E在DA的延长线上,而不

在线段AD上;故线段AD上的E点不可能使EF与平面BB1C1C成60

ο角.

16

反馈练习

1.D2.D3.9

54

4.35.[60ο,90ο]6.45ο

7.解:(1)作DD＇⊥

于D＇,连接AD＇,BD＇.CA⊥

,∴CA∥DD＇.

四边形CAD＇D是直角梯形,∠CAD＇=∠DD＇A=90ο,AB

,AB⊥

DD＇.又AB⊥BD,∴AB⊥平面BDD＇,BD＇平面BDD＇.∴AB⊥BD＇.

∵∠DBD＇是BD与



所成的角,∴∠DBD＇=30ο,BD=

b,DD＇=2

b

,BD＇

=2

3b

.在△ABD＇中,AB=a,BD＇=2

3b

,∠ABD＇=90ο,∴AD＇

=22＇BDAB=4

32

2

b

a

.在CAD＇D中，

CD=222'2')(baDDACAD

.

(2)作D＇C＇∥DC交CA于C＇,∠C＇D＇A是CD与

所成的角,sin

∠C＇D＇A=22

'

2

''

ba

b

DC

AC





.

反馈练习

1设集合A、B、C分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所

成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则（）

(A)A=B=C(B)A=BC(C)ABC(D)BAC.

2两条直线a,b

与平面



所成的角相等,则直线a,b

的位置关系是（）

(A)平行(B)相交(C)异面(D)以上均有可能.

3设棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1和BB1

的中点，则直线CM和D1N所成角的正弦值为.

4已知a、

b

是一对异面直线，且a、

b

成60o角，则在过空间任意点

17



P的所有直线中，与a、

b

均成60o角的直线有条.

5异面直线a、

b

互相垂直，c与a成30o角，则c与

b

所成角的范围

是.

6∠ACB=90ο在平面

内,PC与CA、CB所成的角∠PCA=∠PCB=60o,则

PC与平面

所成的角为.

7设线段AB=a,AB在平面

内,CA⊥

,BD与

成30ο角,BD⊥AB,C、D

在



同侧,CA=BD=

b.求:(1)CD的长;(2)CD与平面

所成角正弦值.

A

C

D

B

18