圆锥曲线大题
gbm-大肠杆菌菌落特征
2023年2月20日发(作者：四五快读电子版)圆锥曲线大综合
第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题
一．常考题型
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二：弦的垂直平分线问题
题型三：动弦过定点问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
题型五：共线向量问题
题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值的问题
题型八：角度问题
题型九：四点共线问题
题型十：范围为题（本质是函数问题）
题型十一：存在性问题（存在点，存在直线ykxm，存在实数，三角形（等边、等腰、
直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）
二．热点问题
1.定义与轨迹方程问题
2.交点与中点弦问题
3.弦长及面积问题
4.对称问题
5.范围问题
6.存在性问题
7.最值问题
8.定值，定点，定直线问题
第二部分知识储备
一．与一元二次方程20(0)axbxca
相关的知识（三个“二次”问题）
1.判别式：24bac
2.韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不等的实数根
12
,xx，则
12
b
xx
a
，
12
c
xx
a
3.求根公式：若一元二次方程20(0)axbxca
有两个不等的实数根
12
,xx
，则
2
1,2
4
2
bbac
x
a
二．与直线相关的知识
1.直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式
2.与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tany，[0,)；
②点到直线的距离公式：00
22
AxByC
d
AB
（一般式）或00
221
kxyb
d
k
（斜截式）
3.弦长公式：直线ykxb上两点
1122
(,),(,)AxyBxy间的距离：
222
12121212
2
1
1(1)[()4](1)ABkxxkxxxxAByy
k
或
4.两直线
1111122222
:,:lykxblykxb
的位置关系：
①
1212
1llkk②
121212
//llkkbb且
5.中点坐标公式：已知两点
1122
(,),(,)AxyBxy，若点,Mxy线段AB的中点，则
1112,
22
xxyy
xy
三．圆锥曲线的重要知识
考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。
文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线
1.圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。
2.圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程
②双曲线的标准方程
③抛物线的标准方程
3.圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,abc三者的关系，p的几何意义等
4.圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆
22b
a
，双曲线
22b
a
，抛物线2p
②焦点三角形的面积：p在椭圆上时
12
2tan
2FPF
Sb
p在双曲线上时
12
2/tan
2FPF
Sb
四．常结合其他知识进行综合考查
1．圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系
2．导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识
3．向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等
4．三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质
5．不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等
五．不同类型的大题
（1）圆锥曲线与圆
例1.（本小题共14分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线
交于不同的两点，证明的大小为定值…
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，
化简得.
由及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
∵，且
，
22
22
:1(0,0)
xy
Cab
ab
3
3
3
x
C
l22:2Oxy
0000
(,)(0)Pxyxy
l
C,ABAOB
23
3
3
a
c
c
a
1,3ac
2222bcaC
2
21
2
y
x
0000
,0Pxyxy222xy
00
,Pxy0
00
0
x
yyxx
y
00
2xxyy
2
2
00
1
2
2
y
x
xxyy
22
00
2xy222
000
344820xxxxx
l2
0
02x
2
0
340x222
000
16434820xxx
1122
,,,xyxy
2
00
1212
22
00
482
,
3434
xx
xxxx
xx
cos
OAOB
AOB
OAOB
1212120102
2
0
1
22OAOBxxyyxxxxxx
y
.
∴的大小为.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方
程为，化简得.由及
得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，
∴，∴的大小为.
（∵且，∴，从而当时，方程①和
方程②的判别式均大于零）.
练习1：已知点是椭圆的左顶点，直线与椭
圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
2
12012012
2
0
1
42
2
xxxxxxxx
x
22
22
00
00
2222
0000
82
828
1
4
3423434
xx
xx
xxxx
22
00
22
00
8282
0
3434
xx
xx
AOB90
0000
,0Pxyxy222xy
00
,Pxy
0
00
0
x
yyxx
y
00
2xxyy
2
2
00
1
2
2
y
x
xxyy
22
00
2xy
222
000
344820xxxxx
222
000
348820xyyxx
l2
0
02x
2
0
340x
1122
,,,xyxy
22
00
1212
22
00
8228
,
3434
xx
xxyy
xx
1212
0OAOBxxyy
AOB90
22
00
2xy
00
0xy22
00
02,02xy2
0
340x
A22
:10
9
xy
Ct
t
:1()lxmymR
C,EF
x
B
0m
AEF
16
3
C
（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的
圆是否经过点？并请说明理由.
（2）圆锥曲线与图形形状问题
例2.1已知A，B，C是椭圆W：
2
4
x
＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
解：(1)椭圆W：
2
4
x
＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．
因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得
1
4
＋m2＝1，即m＝
3
2
.
所以菱形OABC的面积是
1
2
|OB|·|AC|＝
1
2
×2×2|m|＝
3
.
(2)假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由
2244,xy
ykxm
消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则12
2
4
214
xx
km
k
，1212
22214
yyxx
m
km
k
.
所以AC的中点为M
22
4
,
1414
kmm
kk
.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为
1
4k
.
因为k·
1
4k
≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
练习1：已知椭圆
C：
)0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和
一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设M,)xy（是椭圆
C
上的动点，P,0)p（是X轴上的定点，求MP的最小值及取最小
值时点M的坐标.
AEAF
3x
M
NMN
B
（3）圆锥曲线与直线问题
例3.1已知椭圆
22:24Cxy，
（1）求椭圆C的离心率.
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y上，且OAOB，求直线AB
与圆
222xy的位置关系，并证明你的结论.
解析：⑴椭圆的标准方程为：
22
1
42
xy
，
2a
，
2b
则
2c
，离心率
2
2
c
e
a
;
⑵直线
AB
与圆
222xy
相切.证明如下：
法一：
设点
AB
的坐标分别为
00
2xyt，其中0
0x
.
因为
OAOB⊥
，所以
0OAOB
，即
00
20txy
，解得0
0
2y
t
x
.
当
0
xt
时，
2
02
t
y
，代入椭圆
C
的方程，得
2t
,
故直线AB的方程为
2x
.圆心
O
到直线AB的距离
2d
.
此时直线
AB
与圆
222xy
相切.
当0
xt
时，直线
AB
的方程为0
0
2
2
y
yxt
xt
，
即
0000
220yxxtyxty
.
圆心
O
到直线AB的距离
00
22
00
2
2
xty
d
yxt
.
又22
00
24xy
，0
0
2y
t
x
，故
22
00
0
00
242
22
000
00
22
00
24
2
2
4816
4
2
yx
x
xx
d
yxx
xy
xx
.
此时直线AB与圆222xy
相切.
法二：
由题意知，直线
OA
的斜率存在，设为
k
，则直线
OA
的方程为
ykx
，
OAOB⊥
，
①当
0k
时，
20A
，易知
02B
，此时直线
AB
的方程为
2xy
或
2xy
，
原点到直线AB的距离为
2
，此时直线AB与圆222xy
相切；
②当
0k
时，直线
OB
的方程为
1
yx
k
，
联立
2224
ykx
xy
得点A的坐标
22
22
1212
k
kk
或
22
22
1212
k
kk
；
联立
1
2
yx
k
y
得点B的坐标22k
，
由点
A
的坐标的对称性知，无妨取点
A
22
22
1212
k
kk
进行计算，
于是直线AB的方程为：2
2
2
2
2
2
12
12
222
2
112
2
12
k
kk
k
yxkxk
kk
k
k
，
即
22212112220kkxkkyk
，
原点到直线AB的距离
2
22
22
22
2
12112
k
d
kkkk
,
此时直线AB与圆222xy
相切。
综上知，直线AB一定与圆222xy
相切.
法三：
①当
0k
时，
20A
，易知
02B
，此时
22OAOB
，
222222AB
，原点到直线
AB
的距离
22
2
22
OAOB
d
AB
，、
此时直线AB与圆222xy
相切；
②当
0k
时，直线
OB
的方程为
1
yx
k
，
设
1122
AxyBxy
，则
2
1
1OAkx
，2
2
2
121OBkyk
，
联立
2224
ykx
xy
得点A的坐标
22
22
1212
k
kk
或
22
22
1212
k
kk
；
于是
2
2
2
21
1
12A
k
OAkx
k
，221OBk,
22
2
2
2
41221
41
12
12
kk
ABk
k
k
，
所以
2
2
2
2
2
21
21
12
2
221
12
k
k
OAOB
k
d
AB
k
k
,直线AB与圆222xy
相切；
综上知，直线AB一定与圆222xy
相切
练习1：已知椭圆
22
22
:1(0)
xy
Cab
ab
过点(0,1)，且长轴长是焦距的2倍.过椭圆
左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围.
（4）圆锥曲线定值与证明问题
例4.1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在
x
轴上，离心率为
3
2
，且椭圆C上的点到
两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原
点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：2||||2||AMANOP．
解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为
22
22
1(0)
xy
ab
ab
，
由题意知
222,
3
,
2
24,
abc
c
a
a
解得2a，1b．
所以椭圆C的标准方程为
2
21
4
x
y．……………………………5分
（Ⅱ）设直线AM的方程为：(2)ykx，则(0,2)Nk．
由
22
(2)
44,
ykx
xy
，
得2222(1+4)161640kxkxk（*）．
设(2,0)A，
11
(,)Mxy，则2，
1
x是方程（*）的两个根，
所以
2
1
2
28
14
k
x
k
．
所以
2
22
284
(,)
1414
kk
M
kk
．
22
22
22
28284
||()()
1414
kkk
AM
kk
22
222
161641
(14)14
kk
kk
．
22||4421ANkk．
222
22
41218(1)
||||
1414
kkk
AMAN
kk
．
设直线OP的方程为：ykx．
由
2244,
ykx
xy
，
得22(14)40kx．
设
00
(,)Pxy
，则2
0
2
4
14
x
k
，
2
2
0
2
4
14
k
y
k
．
所以
2
2
2
44
||
14
k
OP
k
，
2
2
2
88
2||
14
k
OP
k
．
所以2||||2||AMANOP．
例4.2:已知椭圆C：
22
22
1
Xy
ab
（a>b>0）的离心率为
3
2
，A（a,0）,B(0,b)，O（0，
0），△OAB的面积为1.
（I）求椭圆C的方程；
(II)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。
求证：ANBM•为定值。
练习1：已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个
焦点构成的三角形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点.①若线段中点的横坐标
为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.
练习2：已知抛物线C:y2＝2px（p＞0），其焦点为F，O为坐标原点，直线AB（不垂直
于x轴）
过点F且抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：
||
||
OD
OM
＞2
:C
22
22
1(0)
xy
ab
ab
6
3
52
3
C
(1)ykxC
ABAB
1
2
k
7
(,0)
3
MMAMB
练习3：动点),(yxP到定点)0,1(F的距离与它到定直线4:xl的距离之比为
2
1
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知定点(2,0)A，(2,0)B，动点(4,)Qt在直线l上，作直线AQ与轨迹C的
另一个交点为M,作直线BQ与轨迹C的另一个交点为N，证明：,,MNF三点共线.
（5）圆锥曲线最值问题
例5：已知椭圆:C
22
22
1(0)
xy
ab
ab
的离心率为
3
2
，椭圆C与y轴交于AB，两点，
||2AB.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA，PB与直线4x分
别相交于MN，两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点EF，，求点P横坐标的
取值范围及||EF的最大值.
解：（Ⅰ）由题意可得，1b，…………………1分
3
2
c
e
a
，…………………2分
得
2
2
13
4
a
a
，…………………3分
解24a，…………………4分
椭圆C的标准方程为
2
21
4
x
y.…………………5分
（Ⅱ）设
000
(,)(02)Pxyx，(0,1)A，(0,1)B，
所以0
0
1
PA
y
k
x
，直线PA的方程为0
0
1
1
y
yx
x
，…………………6分
同理：直线PB的方程为0
0
1
1
y
yx
x
，
直线PA与直线4x的交点为0
0
4(1)
(4,1)
y
M
x
，…………………7分
直线PB与直线4x的交点为0
0
4(1)
(4,1)
y
N
x
，
线段MN的中点0
0
4
(4,)
y
x
，…………………8分
所以圆的方程为222
0
00
44
(4)()(1)
y
xy
xx
，…………………9分
令0y，则
2
22
00
2
0
16
(4)(1)
4
yx
x
x
，…………………10分
因为
2
2
0
0
1
4
x
y，所以
2
0
2
0
1
1
4
y
x
，…………………11分
所以2
0
8
(4)50x
x
，
因为这个圆与
x
轴相交,该方程有两个不同的实数解，
所以
0
8
50
x
，解得
0
8
(,2]
5
x.…………………12分
设交点坐标
12
(,0),(,0)xx
，则
12
0
8
||25xx
x
（
0
8
2
5
x）
所以该圆被
x
轴截得的弦长为最大值为2.…………………14分
练习1：已知椭圆C：22
22
1
xy
ab
ab
的一个焦点为F(2，0)，离心率为
6
3
。过焦
点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交
椭圆于M，N两点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形AMBN面积的最大值。
练习
2
：已知椭圆C：2231(0)mxmym
的长轴长为
26
，O为坐标原点
.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设点
(3,0)A
，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若
||||BABP
，求四边形OPAB面积的最小值.
（6）圆锥曲线存在性问题
例6.已知椭圆
C
：01
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
的离心率为
2
2
，点1,0P和点0,mnmA
都在椭圆C上，直线PA交
x
轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程，并求点M的坐标（用
mn
表示）；
（Ⅱ）设
O
为原点，点B与点A关于
x
轴对称，直线PB交
x
轴于点
N
．问：y轴上是否存
在点
Q
，使得ONQOQM？若存在，求点
Q
的坐标；若不存在，说明理由．
解析:
（
I
）由题意得
,
,
2
2
,1
222cba
a
c
b
解得22a，
故椭圆
C
的方程为
.1
2
2
2
y
x
设).0,(
M
xM
因为0m，所以.11n
直线
PA
的方程为x
m
n
y
1
1
，
所以
n
m
x
M
1
，即).0,
1
(
n
m
M
因为点
B
与点
A
关于
x
轴对称，所以nmB,.
设
)0,(
N
xN，则
n
m
x
N
1
.
“存在点),0(
Q
yQ
使得ONQOQM”等价于“存在点
),0(
Q
yQ
使得
ON
OQ
OQ
OM
”，
即
Q
y
满足
NMQ
xxy2.
因为
n
m
x
M
1
，
n
m
x
N
1
，
.1
2
2
2
n
m
所以2
Q
y或2
Q
y，
故在y轴上存在点Q，使得ONQOQM，
点Q的坐标为
)2,0(
或
)2,0(
.
练习
1
：设
F
1，
F2分别为椭圆22
22
1
xy
ab
ab
的左、右焦点，点
P
（
1
，
3
2
）在椭
圆
E
上，且点
P
和
F
1关于点
C
（
0
，
3
4
）对称。
（
1
）求椭圆
E
的方程；
（
2
）过右焦点
F
2的直线
l
与椭圆相交于
A
，
B
两点，过点
P
且平行于
AB
的直线与椭圆交于
另一点
Q
，问是否存在直线
l
，使得四边形
PABQ
的对角线互相平分？若存在，求出
l
的方
程；若不存在，说明理由。
练习2：设椭圆C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝42y的焦点重合，F
1
、
F
2
分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝
3
3
，过椭圆右焦点F
2
的直线l与椭圆C交于
M、N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得OMON＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理
由