高中数学圆锥曲线
劝学篇-电压单位换算
2023年3月19日发(作者：物业管理处)精品文档
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数学圆锥曲线总结
1、圆锥曲线的两个定义：
〔1〕第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的
距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨
迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的
距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝
对值〞与＜|FF|不可无视。假设＝|FF|，那么轨迹是以F，F为端
点的两条射线，假设﹥|FF|，那么轨迹不存在。假设去掉定义中的绝对值
那么轨迹仅表示双曲线的一支。
〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为
分子、点线距为分母〞，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥
曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对
它们进行相互转化。
Attention：〔1〕在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，
F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，
而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的
定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；〔2〕在椭圆中，最
大，，在双曲线中，最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆〔以〔〕为例〕：①范围：；
②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称
中心〔0,0〕，四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；
④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越
小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。
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（2）〔2〕双曲线〔以〔〕为例〕：①范围：或
；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，
一个对称中心〔0,0〕，两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为
2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设
为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双
曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口
越大；⑥两条渐近线：。
（3）抛物线〔以为例〕：①范围：；②焦点：一个
焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条
对称轴，没有对称中心，只有一个顶点〔0,0〕；④准线：一条准线
；⑤离心率：，抛物线。
5、点和椭圆〔〕的关系：〔1〕点在
椭圆外；〔2〕点在椭圆上＝1；〔3〕点
在椭圆内
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与
双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双
曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但
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不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定
有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一
个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
Attention：
〔1〕直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相
切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交
点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
〔2〕过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点
的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近
线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近
线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支
相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与
另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；
（2）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和
一条平行于对称轴的直线。
7、焦半径〔圆锥曲线上的点P到焦点F的距离〕的计算方法：利用圆锥曲线的
第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对
应的准线的距离。
8、焦点三角形〔椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形〕问题：常利
用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点
的距离分别为，焦点的面积为，那么在椭圆中，①
＝，且当即为短轴端点时，最大为＝
；②，当即为短轴端点时，的最
大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：①；②
。
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9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：〔1〕以过焦点的弦为直
径的圆和准线相切；〔2〕设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，那么∠AMF
＝∠BMF；〔3〕设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，假设P
为AB的中点，那么PA⊥PB；〔4〕假设AO的延长线交准线于C，那么BC平行
于x轴，反之，假设过B点平行于x轴的直线交准线于C点，那么A，O，C三点
共线。
10、弦长公式：假设直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为
A、B的横坐标，那么＝，假设分别为A、B的纵坐标，
那么＝，假设弦AB所在直线方程设为，那么＝
。特别地，焦点弦〔过焦点的弦〕：焦点弦的弦长的计算，一般
不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理〞或“点差法〞求
解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛
物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。
Attention：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关
弦长、对称问题时，务必别忘了检验！
12．重要结论：
〔1〕双曲线的渐近线方程为；
〔2〕以为渐近线〔即与双曲线共渐近线〕的双曲线方程为
为参数，≠0〕。
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如与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_______〔答：
〕
〔3〕中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；
〔4〕椭圆、双曲线的通径〔过焦点且垂直于对称轴的弦〕为，焦准距〔焦点到相
应准线的距离〕为，抛物线的通径为，焦准距为；
〔5〕通径是所有焦点弦〔过焦点的弦〕中最短的弦；
〔6〕假设抛物线的焦点弦为AB，，那么
①；②
〔7〕假设OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，那么直线
AB恒经过定点