圆锥曲线知识点

发布时间：2023-06-12 作者：admin 来源：文学

圆锥曲线知识点

针孔打印机-团结作文800字

2023年3月17日发(作者：免费毛笔字体)

-.-总结资料-

一、椭圆

1．椭圆

1(0)



的参数方程是

cos

sin













2．椭圆

1(0)



焦半径公式

PFaex

，2

PFaex

,12

,FF分别为左右焦点

3．焦点三角形：P为椭圆

1(0)



上一点，则三角形12

PFF

的面积

12tan;

PFF



•

特别地，若12

,PFPF

此三角形面积为

；

4．在椭圆

1(0)



上存在点P，使12

PFPF

的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的围

是

[,1)

；

5．椭圆的的外部

(1)点00

(,)Pxy

在椭圆

1(0)



的部



(2)点00

(,)Pxy

在椭圆

1(0)



的外部



6．椭圆的切线方程

(1)椭圆

1(0)



上一点00

(,)Pxy

处的切线方程是

xxyy



(2)过椭圆

1(0)



外一点00

(,)Pxy

所引两条切线的切点弦方程是

xxyy



(3)椭圆

1(0)



与直线

0AxByC

相切的条件是

22222AaBbc

二、双曲线

-.-总结资料-

7．双曲线

1(0,0)



的焦半径公式

|()|

PFex



，

|()|

PFex



8．双曲线的外部

(1)点00

(,)Pxy

在双曲线

1(0,0)



的部



(2)点00

(,)Pxy

在双曲线

1(0,0)



的外部



9．双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为





渐近线方程：



y

(2)若渐近线方程为

y



0



双曲线可设为



(3)若双曲线与



有公共渐近线，可设为



（

0

，焦点在x轴上，

0

，焦点在y轴上）.

10．双曲线的切线方程

(1)双曲线

1(0,0)



上一点00

(,)Pxy

处的切线方程是

xxyy



(2)过双曲线

1(0,0)



外一点00

(,)Pxy

所引两条切线的切点弦方程是

xxyy



(3双曲线

1(0,0)



与直线

0AxByC

相切的条件是

22222AaBbc

11．焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值）

三、抛物线

12．焦点与半径

-.-总结资料-

(0),(,0),;

(0),(),;

yaxax

aya



抛物线焦点是准线

抛物线x焦点是0,准线y

13．焦半径公式

抛物线

22(0)ypxp

，C00

(,)xy

为抛物线上一点，焦半径

CFx

14．过焦点弦长

pxx

xCD

212122

对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。

15．设点方法

抛物线

pxy22

上的动点可设为P

(,)

或

或)2,2(2ptptP

(,)xy

，其中

2ypx

四、圆锥曲线共性问题

16．两个常见的曲线系方程

(1)过曲线1

(,)0fxy

的交点的曲线系方程是

(,)(,)0fxyfxy

(



为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

akbk





,其中

22max{,}kab

.当

22min{,}kab

时,表示椭圆;当

2222min{,}max{,}abkab

时,表示双曲线.

17．直线与圆锥曲线相交的弦长公式

1212

()()ABxxyy

或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco

（弦端点A

),(),,(

2211

yxByx

由方程











0)y,x(F

bkxy

消去y得到

02cbxax

，

0



为直线

的倾斜角，

为直

线的斜率）.

18．涉及到曲线上的点A，B及线段AB的中点M的关系时，可以利用“点差法：

比如在椭圆中：

-.-总结资料-

1122

1212

12120

(,),(,),M(0,0),:

1(1)

1(2)

(1)(2)()()

AxyBxyxy

yyxx

xxyyaya





••



中点则有

19．圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线

(,)0Fxy

关于点00

(,)Pxy

成中心对称的曲线是00

(2-,2)0Fxxyy

（2）曲线

(,)0Fxy

关于直线

0AxByC

成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0

AAxByCBAxByC

Fxy

ABAB







20．“四线”一方程

对于一般的二次曲线

220AxBxyCyDxEyF

，用0

代

，用0

代

，用

xyxy

代

，用

xx

代

，用

yy

代

，即得方程

0000

222

xyxyxxyy

AxxBCyyDEF





，曲线的切线，切点弦，中点

弦，弦中点方程均是此方程得到.

五、椭圆的常用结论：

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去

长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切.

5.若

000

(,)Pxy在椭圆

上，则过

P的椭圆的切线方程是

xxyy

.

6.若

000

(,)Pxy在椭圆

外，则过

P作椭圆的两条切线切点为P

、P

，则切点弦P

的

-.-总结资料-

直线方程是00

xxyy

.

7.椭圆

(a＞b＞0)的左右焦点分别为F

，F

，点P为椭圆上任意一点

FPF，则

椭圆的焦点角形的面积为

2tan

2FPF





.

8.椭圆

（a＞b＞0）的焦半径公式

||MFaex,

||MFaex(

(,0)Fc,

(,0)Fc

(,)Mxy).

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相

应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A

、A

为椭圆长轴上的顶点，A

P和A

Q交于点M，

P和A

Q交于点N，则MF⊥NF.

是椭圆

的不平行于对称轴的弦，M),(

yx为AB的中点，则

OMAB

，

即

。

12.若

000

(,)Pxy在椭圆

，则被Po所平分的中点弦的方程是

0000

2222

xxyyxy

abab

；

【推论】：

1、若

000

(,)Pxy在椭圆

，则过Po的弦中点的轨迹方程是

2222

xxyy

abab

。椭圆

（a＞b＞o）的两个顶点为

(,0)Aa,

(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P

、

时A

与A

交点的轨迹方程是

.

2、过椭圆

(a＞0,b＞0)上任一点

(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两

点，则直线BC有定向且

（常数）.

3、若P为椭圆

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F

是焦点,

PFF,

-.-总结资料-

PFF，则tant







4、设椭圆

（a＞b＞0）的两个焦点为F

、F

,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF

中，记

FPF,

PFF,

FFP，则有

sin

sinsin









5、若椭圆

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F

、F

，左准线为L，则当0＜e≤21时，

可在椭圆上求一点P，使得PF

是P到对应准线距离d与PF

的比例中项.

6、P为椭圆

（a＞b＞0）上任一点,F

为二焦点，A为椭圆一定点，则

211

2||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当

,,AFP三点共线时，等号成立.

7、椭圆

()()

xxyy



与直线0AxByC有公共点的充要条件是

22222

()AaBbAxByC.

8、已知椭圆

（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

2222

1111

||||OPOQab

;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为

4ab

ab

;（3）

OPQ



的最小值是

ab

9、过椭圆

（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交

x轴于P，则

||2

PFe

.

10、已知椭圆

（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于

点

(,0)Px,则

2222

abab



.

11、设P点是椭圆

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F

、F

为其焦点记

FPF，

-.-总结资料-

则(1)

||||

1cos

PFPF







.(2)

2tan

2PFF





.

12、设A、B是椭圆

（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)

222

2|cos|

acco









.(2)

2tantan1e.(3)

cot

PAB









13、已知椭圆

（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆

相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切

线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中,点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点.）

17、椭圆焦三角形中,心将点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中,半焦距必为、外点到椭圆中心的比例中项.

六、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF

在点P处的角.

2、PT平分△PF

在点P处的角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴

的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF

为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（切：P在右支；外切：P在左支）

5、若

000

(,)Pxy在双曲线

（a＞0,b＞0）上，则过

P的双曲线的切线方程是

xxyy

.

6、若

000

(,)Pxy在双曲线

（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P

、P

，

则切点弦P

的直线方程是00

xxyy

.

7、双曲线

（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F

，F

，点P为双曲线上任意一点

FPF，

则双曲线的焦点角形的面积为

2FPF

Sbco





.

-.-总结资料-

8、双曲线

（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(

(,0)Fc,

(,0)Fc）当

(,)Mxy在右支

上时，

||MFexa,

||MFexa；当

(,)Mxy在左支上时，

||MFexa,

||MFexa。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别

交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A

、A

为双曲线实轴上的顶点，A

P和A

Q交于

点M，A

P和A

Q交于点N，则MF⊥NF.

11、AB是双曲线

（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),(

yx为AB的中点，则

ABOM

，即

。

12、若

000

(,)Pxy在双曲线

（a＞0,b＞0），则被Po所平分的中点弦的方程是

0000

2222

xxyyxy

abab

.

13、若

000

(,)Pxy在双曲线

（a＞0,b＞0），则过Po的弦中点的轨迹方程是

2222

xxyy

abab

.

【推论】：

1、双曲线

（a＞0,b＞0）的两个顶点为

(,0)Aa,

(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线

于P

、

时A

与A

交点的轨迹方程是

.

2、过双曲线

（a＞0,b＞o）上任一点

(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于

B,C两点，则直线BC有定向且

（常数）.

3、若P为双曲线

（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F

是焦点,

-.-总结资料-

PFF,

PFF，则tant







（或tant







）.

4、设双曲线

（a＞0,b＞0）的两个焦点为F

、F

,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

在△PF

中，记

FPF,

PFF,

FFP，则有

sin

(sinsin)









5、若双曲线

（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F

、F

，左准线为L，则当1＜e≤21时，

可在双曲线上求一点P，使得PF

是P到对应准线距离d与PF

的比例中项.

6、P为双曲线

（a＞0,b＞0）上任一点,F

为二焦点，A为双曲线一定点，则

||2||||AFaPAPF,当且仅当

,,AFP三点共线且P和

,AF在y轴同侧时，等号成立.

7、双曲线

（a＞0,b＞0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是

22222AaBbC.

8、已知双曲线

（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

（1）

2222

1111

||||OPOQab

;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为

4ab

ba

;（3）

OPQ



的最小值是

ba

9、过双曲线

（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直

平分线交x轴于P，则

||2

PFe

.

10、已知双曲线

（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交

于点

(,0)Px,则



或



.

-.-总结资料-

11、设P点是双曲线

（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F

、F

为其焦点记

FPF，

则(1)

||||

1cos

PFPF







.(2)

2cot

2PFF





.

12、设A、B是双曲线

（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)

222

2|cos|

|s|

acco









(2)2tantan1e.(3)

cot

PAB









13、已知双曲线

（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与

双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必

与切线垂直.

15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点).

17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18双曲线焦三角形中,半焦距必为、外点到双曲线中心的比例中项.

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