常用函数的导数

常用函数的导数

豆角蓟马-网瘾少年案例

§3.2几种常见函数的导数

课时安排

1课时

从容说课

本节依次要讲述函数y=C(常量函数)，y=xn(n∈Q)，y=sinx，y=cosx的导数公式，这些公

式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.

(1)关于公式(xn)′=nxn-1(n∈Q)，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n∈N*情况下

的证明.实际上，这个公式对于n∈R都成立.在n∈N*的情况下证明公式，一定要让学生自主

去探索，特别是

x

xxx

x

xfxxfnn









)()()(

要运用二项式定理展开后再证明，化

为12211)(nn

n

n

n

n

n

xCxxCxC，当Δx→0时，其极限为11n

n

xC即nxn-1.在讲完这

个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y=(x-a)n的导数，学生一定会模

仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x-a)n展开，然

后求导,即利用(xn)′=nxn-1求

导.y=(x-a)n=nnn

n

n

n

n

n

n

n

aCaxCaxCxC)1(222110，

1112110)1()1(

nn

n

nn

n

n

n

aCaxnCxnCy，利用1

1





k

n

k

n

nCkC将其合并成二

项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这

要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.

(2)运用定义证明公式(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx，要用到极限1

sin

lim

0



x

x

x

，根据学生的

情况可以补充证明.

第五课时

课题

§3.2几种常见函数的导数

教学目标

一、教学知识点

1.公式1C′=0(C为常数)

2.公式2(xn)′=nxn-1(n∈Q)

3.公式3(sinx)′=cosx

4.公式4(cosx)′=-sinx

5.变化率

二、能力训练要求

1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.

2.学会利用公式，求一些函数的导数.

3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.

三、德育渗透目标

1.培养学生的计算能力.

2.培养学生的应用能力.

3.培养学生自学的能力.

教学重点

四种常见函数的导数:C′=0(C为常数)，(xn)′=nxn-1(x∈Q)，

(sinx)′=cosx,(cosx)′=-sinx.

教学难点

四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.

教学方法

建构主义式

让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n∈N*

的情况.

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的

导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.

Ⅱ.讲授新课

［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.

1.y=C(C是常数)，求y′.

［学生板演］解：y=f(x)=C，

Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,

x

y





=0.

y′=C′=

x

y

x



0

lim=0,∴y′=0.

2.y=xn(n∈N*),求y′.

［学生板演］解：y=f(x)=xn,

∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)n-xn

nnn

n

n

n

n

n

nxxCxxCxxCx)()(22211

nn

n

n

n

n

n

xCxxCxxC)()(22211

12211)(





nn

n

n

n

n

n

xCxxCxC

x

y



∴y′=(xn)′

11112211

00

)(limlim









nn

n

nn

n

n

n

n

n

xx

nxxCxCxxCxC

x

y

.

∴y′=nxn-1.

3.y=x-n(n∈N*),求y′.

［学生板演］

解：Δy=(x+Δx)-n-x-n

导数及其应用备课人：蒋德鸿

nn

nn

n

n

n

n

n

nn

nn

n

n

n

n

n

nn

nn

nn

xxx

xCxxCxC

x

y

xxx

xCxxCxC

xxx

xxx

xxx

)(

)(

)(

)()(

)(

)(

1

)(

1

12211

22211





































∴

x

y

y

x







0

lim

nn

n

n

nn

nn

n

n

n

n

n

x

xx

xC

xxx

xCxxCxC

















11

12211

0

]

)(

)(

[lim



=-nx-n-1.

∴y′=-nx-n-1.

※4.y=sinx,求y′.(叫两位同学做)

［学生板演］

［生甲］解：Δy=sin(x+Δx)-sinx

=sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx,

x

xxxxx

x

y









sinsincoscossin

,

∴

x

y

y

x







0

lim

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

x

xxxxx

x

xx

x

x

cos

4

)

2

(

2

sin

)sin2(lim

sin

coslim

)

2

sin2(sin

lim

sincos)1(cossin

lim

sinsincoscossin

lim

2

2

0

0

2

0

0

0















































=-2sinx·1·0+cosx=cosx.

∴y′=cosx.

［生乙］Δy=sin(x+Δx)-sinx

=2cos(x+

2

x

)sin

2

x

，

x

xx

x

x

y













2

sin)

2

cos(2

,

∴

x

y

y

x







0

lim

2

2

sin

lim)

2

cos(lim

2

2

sin)

2

cos(

lim

2

sin)

2

cos(2

lim

00

0

0

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

x

xx

x

x































=cosx.

∴y′=cosx.

(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)

※5.y=cosx,求y′.(也叫两位同学一起做)

［生甲］解：Δy=cos(x+Δx)-cosx

=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx,

x

xxxxx

x

y

y

x

x



















cossinsincoscos

lim

lim

0

0

1sin

4

)

2

(

2

sin

)cos2(lim

sin

sinlim

)

2

sin2(cos

lim

sinsin)1(coscos

lim

2

2

0

0

2

0

0







































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xxxx

x

xx

x

=-2cosx·1·0-sinx=-sinx,

∴y′=-sinx.

［生乙］解：

x

xxx

x





cos)cos(

lim

0

导数及其应用备课人：蒋德鸿

2

2

sin)

2

sin(

lim

2

sin)

2

sin(2

lim

0

0

x

xx

x

x

xx

x

x

x





















=-sinx,

∴y′=-sinx.

［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极

限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简

化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n∈N*的情况，实际上它对于全体实数都

成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.

［板书］

(一)公式1C′=0(C是常数)

公式2(xn)′=nxn-1(n∈R)

公式3(sinx)′=cosx

公式4(cosx)′=-sinx

(二)课本例题

［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:

(1)(x3)′；(2)(

2

1

x

)′;(3)(x)′.

［学生板演］(1)解：(x3)′=3x3-1=3x2.

(2)解：3122

2

22)()

1

(







xxx

x

.

(3)解：

x

xxxx

2

1

2

1

2

1

)()(2

1

1

2

1

2

1









.

(还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)

(三)变化率举例

［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t)，

瞬时速度v=s′(t).

［板书］物体按s=s(t)作直线运动，则物体在时刻t

0

的瞬时速度v

0

=s′(t

0

).

v

0

=s′(t

0

)叫做位移s在时刻t

0

对时间t的变化率.

［师］我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点x

0

的导数也可以叫做函数f(x)在点x

0

对

自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？

［板书］函数y=f(x)在点x

0

的导数叫做函数f(x)在点x

0

对自变量x的变化率.

［生］例如角速度、电流等.

［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？

［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)

对时间的变化率.

［师］下面来看两道例题.

［例1］已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K)，

求热量对温度的变化率C(即热容量).

［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量

函数Q(T)对T求导.

解：C=Q′(T),即热容量为Q′(T)J/K.

［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是vkg,那么

比热容怎么表示？

［生］比热容是

v

1

Q′(T)J/(kg·K).

图3-9

［例2］如图3-9，质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1rad/s，

设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.

［学生分析］要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴的运动方程，是关于t的函

数，再对t求导，就能得到M点的速度了.

解：时刻t时，∵角速度为1rad/s,

∴∠POA=1·t=trad.

∴∠MPO=∠POA=trad.

∴OM=OP·sin∠MPO=10·sint.

∴点M的运动方程为y=10sint.

∴v=y′=(10sint)′=10cost，

即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为10costcm/s.

［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举

地解决了.求导时，系数可提出来.

Ⅲ.课堂练习

1.(口答)求下列函数的导数.

(1)y=x5;(2)y=x6;(3)x=sint;(4)u=cosφ.

［生］(1)y′=(x5)′=5x4.

［生］(2)y′=(x6)′=6x5.

［生］(3)x′=(sint)′=cost.

［生］(4)u′=(cosφ)′=-sinφ.

2.求下列函数的导数.

(1)

3

1

x

y;(2)3xy.

(1)解：y′=(

3

1

x

)′=(x-3)′=-3x-3-1=-3x-4.

(2)解：3

2

1

3

1

3

1

3

3

1

3

1

)()(







xxxxy.

3.质点的运动方程是s=t3(s单位：m,t单位：s),求质点在t=3时的速度.

导数及其应用备课人：蒋德鸿

解：v=s′=(t3)′=3t3-1=3t2,

当t=3时，v=3×32=27(m/s),

∴质点在t=3时的速度为27m/s.

4.物体自由落体的运动方程是s=s(t)=2

2

1

gt(s单位：m,t单位：s,g=9.8m/s2),求t=3时的

速度.

解：gttggttsv



1222

2

1

)

2

1

()(,

当t=3时，v=g·3=9.8×3=29.4(m/s),

∴t=3时的速度为29.4m/s.

［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf(x)］′=Cf′(x)(C是常数).

这由极限的知识可以证得.

x

xfxxf

C

x

xCfxxCf

xCf

xx















)()(

lim

)()(

lim])([

00

=Cf′(x).

5.求曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程.

解：y′=(x4)′=4x4-1=4x3.

∴y′|

x=2

=4×23=32.

∴点P(2，16)处的切线方程为y-16=32(x-2),

即32x-y-48=0.

Ⅳ.课时小结

［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C′=0(C是常数)，

②(xn)′=nxn-1(n∈R),③(sinx)′=cosx,④(cosx)′=-sinx)以及变化率的概念:v

0

=s′(t

0

)叫做位移s在时

刻t

0

对时间t的变化率，函数y=f(x)在点x

0

的导数f′(x

0

)叫做函数f(x)在点x

0

对自变量x的变

化率.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P

116

习题3.22，4，5.

(二)1.预习内容：课本P

118~119

和(或差)、积的导数.

2.预习提纲：

(1)和(或差)的导数公式、证明过程.

(2)积的导数公式、证明过程.

(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.

板书设计

§3.2几种常见函数的导数

公式1C′=0(C为常数)

公式2(xn)′=nxn-1(n∈R)

公式3(sinx)′=cosx

公式4(cosx)′=-sinx

v

0

=s′(t

0

)是位移s在t

0

对时间t的变化率.

函数y=f(x)在点x

0

的导数叫做函数f(x)在

点x

0

对自变量x的变化率.

1.y=C(C是常数),求y′.

2.y=xn(n∈N*),求y′.

3.y=x-n(n∈N*),求y′.

4.y=sinx,求y′.(两种方法)

5.y=cosx,求y′.(两种方法)

课本例题

(1)(x3)′;(2)(

2

1

x

)′;(3)(x)′.

例1.已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(Q单位:J，T单位:K)，求热量对温度的变化率C(热

容量).

例2.质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1rad/s，设A为起

始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.

课堂练习

1.(口答)(1)(x5)′;(2)(x6)′;(3)(sint)′；(4)(cosφ)′.

2.(1))

1

(

3



x

;(2)(3x)′.

3.质点运动方程是s=t3，求t=3时的速度.

4.2

2

1

gts,求t=3时的速度.

5.求曲线y=x4在P(2，16)处的切线方程.

课后作业