二次函数压轴题

二次函数压轴题

十二经脉流注次序-爱情ppt

2023年2月19日发(作者：出版社排名)

中考二次函数综合压轴题型归类

一、常考点汇总

1、两点间的距离公式：22

BABA

xxyyAB

2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：













22

BABA

yyxx

，

直线

11

bxky（0

1

k）与

22

bxky（0

2

k）的位置关系：

（1）两直线平行

21

kk且

21

bb（2）两直线相交

21

kk

（3）两直线重合

21

kk且

21

bb（4）两直线垂直1

21

kk

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

①用和参数的其他要求确定参数的取值范围；

②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于

x

的一元二次方程01222＝－mxmx有两个整数根，5＜m且

m

为整数，求

m

的值。

4、二次函数与

x

轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线3132xmmxy与

x

轴交于两个不同的整数点，且

m

为正整数，试确定

此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于

x

的方程23(1)230mxmxm（

m

为实数），求证：无论

m

为何值，方程总

有一个固定的根。

解：当0m时，1x；

当0m时，032m

，



m

m

x

2

13

，

m

x

3

2

1

、1

2

x；

综上所述：无论

m

为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线

22mmxxy（

m

是常数），求证：不论

m

为何值，该抛物线总经过一个

固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于

m

的方程xmxy122；

∴











01

022

x

xy

，解得：











1

1

x

y

；

∴抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于

m

的方程xmxy122不论

m

为何值，方程恒成立）

小结

．．

：关于

x

的方程bax有无数解











0

0

b

a

7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线

1

l、

2

l，点A在

2

l上，分别在

1

l、

2

l上确定两点M、N，使得MNAM之

和最小。

（2）如图，直线

1

l、

2

l相交，两个固定点A、B，分别在

1

l、

2

l上确定两点M、N，使得

ANMNBM之和最小。

（3）如图，BA、是直线l同旁的两个定点，线段

a

，在直线l上确定两点E、F（E在F的

左侧），使得四边形AEFB的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

三角形的面积求解常用方法：如右图，S△PAB

=1/2·PM·△x=1/2·AN·△y

9、函数的交点问题：二次函数（cbxaxy＋＋＝2）与一次函数（hkxy＋＝）

（1）解方程组







hkxy

cbxaxy

＋＝

＋＋＝2

可求出两个图象交点的坐标。

（2）解方程组







hkxy

cbxaxy

＋＝

＋＋＝2

，即02＝－＋－＋hcxkbax，

通过可判断两个图象的交点的个数

有两个交点0＞

仅有一个交点0

没有交点0＜

10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量

（3）列方程或关系式

11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”

等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求几何分析涉及公式应用图形

跟平行有关的

图形

平移

2121

kkll＝∥、

21

21

xx

yy

k







平行四边形

矩形

梯形

跟直角有关的

图形

勾股定理逆定理

利用相似、全等、平

行、对顶角、互余、

互补等

22

BABA

xxyyAB

直角三角形

直角梯形

矩形

跟线段有关的

图形

利用几何中的全等、

中垂线的性质等。

22

BABA

xxyyAB

等腰三角形

全等

等腰梯形

跟角有关的图

形

利用相似、全等、平

行、对顶角、互余、

互补等

【例题精讲】

一基础构图：

O

x

y

A

B

C

D

y=322xx（以下几种分类的函数解析式就是这个）

★和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标

在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标

★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得ACP面积最大，求出P坐标

★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为直角三角形，

求出P坐标或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，

求出P坐标

★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，

且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标

二综合题型

例1(中考变式）如图，抛物线cbxxy2与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。

交Y轴于C

(1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

Ox

y

AB

C

D

Ox

y

AB

C

D

Ox

y

AB

C

D

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存

在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由

(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交

BC于F，设E点横坐标为的长度为L，

求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？

当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？

(4)在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、

H、D为顶点的四边形为平行四边形？

(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？

例2考点：关于面积最值

如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(

－

1，0)、(0，3－)，点B在x轴上．已知某

二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数

图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；

（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

y

x

BA

F

C

O

例3考点：讨论等腰

如图，已知抛物线y

＝

2

1

x2＋bx＋c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），

点C的坐标为（0，－1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，

求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，

说明理由．

例4考点：讨论直角三角

⑴如图，已知点A（一1，0）和点B（1，2），在坐标轴上

确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）．

(A）2个（B）4个（C）6个（D）7个

⑵已知：如图一次函数y

＝

2

1

x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y

＝

2

1

x2＋

bx＋c的图象与一次函数y

＝

2

1

x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，

0）

D

B

C

OA

y

x

E

B

C

OA

备用图

y

x

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的

点P，若不存在，请说明理由．

例5考点：讨论四边形

已知：如图所示，关于x的抛物线y

＝

ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（

－

2，0），点B（6，0），

与y轴交于点C．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的

解析式；

（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是

否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果

不存在，请说明理由．

综合练习：

1、平面直角坐标系xOy中，抛物线244yaxaxac

与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴

交于点C，点A的坐标为(1,0)，OB＝OC，抛物线的顶点为D。

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB＝∠ACB，求点P的坐标；

(3)Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为A



，若

2QBQA

，求点Q

的坐标和此时△QAA



的面积。

OA

B

y

C

x

DE

2

BA

y

O

C

x

2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点30，C，与x

轴交于A、B两点，点B的坐标为03，。

（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；

（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的

两部分，求出此时点M的坐标；

（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积

是多少？并求出此时点P的坐标。

3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线xx

m

y2

2

2与

x

轴负半轴交于点A，顶点为B，

且对称轴与

x

轴交于点C。

（1）求点B的坐标（用含

m

的代数式表示）；

（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直

线BC上，若以QPMA、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

4、已知关于

x

的方程2(1)(4)30mxmx。

（1）若方程有两个不相等的实数根，求

m

的取值范围；

（2）若正整数

m

满足822m，设二次函数2(1)(4)3ymxmx的图象与

x

轴交于

AB、两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一

个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时，

求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。

5如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，

连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，

点D的坐标为（﹣2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？

若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

三、中考二次函数代数型综合题

题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧

例1．已知二次函数y

＝

x2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且

x1＜x2．

（1）若x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；

（2）若x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；

（3）是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C（0，2），若存在，求出m的值；

若不存在，请说明理由；

（4）若过点D（0，

1

2

）的直线与（1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且

MD

DN

＝

1

3

，求该直

线的表达式．

题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题

例2已知二次函数y=x2+mx+m-5，

（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；

（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短．

题型三、抛物线方程的整数解问题

例1．已知抛物线222(1)0yxmxm与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则

整数m的值为_____________

例2．已知二次函数y＝x2－2mx＋4m－8．

（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；

（2）以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN（M，N两点

在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说

明理由；

（3）若抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，

求整数

．．

m的值．

A

Ox

y

题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合

例1．已知抛物线2yxbxc（其中b>0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的

对称点为B(m,n)，且AB=2.

(1)求m,b的值

(2)如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=

20

。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：

请画图思考）

题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）

例1．已知：二次函数2y4xxm的图象与x轴交于不同的两点A（

1

x，0）、B（

2

x，0）（

1

x

＜

2

x），其顶点是点C，对称轴与x轴的交于点D．

（1）求实数m的取值范围；

（2）如果（

1

x+1）（

2

x+1）=8，求二次函数的解析式；

（3）把（2）中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点

1

A、

1

B，顶点为点C1，且△

111

ABC是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式．

综合提升

1．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），且|AB|＝23，图象的

对称轴为x＝1．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若二次函数的图象都在直线y

＝

x＋m的下方，求m的取值范围．

2．已知二次函数y

＝

－x2＋mx－m＋2．

（1）若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，求m的值；

（2）设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC

＝27，求m的值．

3.已知关于x的一元二次方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个整数根，k＜5且k为整数．

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y

＝

x2－2(k＋1)x＋k2的图象沿x

轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；

（3）根据直线y

＝

x＋b与（2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．

4．已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．

（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；

（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；

（3）若二次函数的图象截直线y

＝

－x＋1所得线段的长为22，求m的值．

四、中考二次函数定值问题

1.如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点

C．

（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．

①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF

的长度；如果会，请说明理由．

2.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直

线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线

1

l、

2

l．

(1)求抛物线对应二次函数的解析式；

(2)求证以ON为直径的圆与直线

1

l相切；

(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线

2

l的距离之和等于线段MN的长．

3.如图1，已知直线y=kx与抛物线

2

422

y=x+x

273

交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直

线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比

是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，

0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的

E点的个数分别是1个、2个？

4．孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a＜0)的性质时，将

一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，

请解答以下问题：

（1）若测得OA=OB=22（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点

F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标

．．．

；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总

经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

F

E

y

x

B

A

O