隐函数定理

隐函数定理

全国区号表-团员评议表个人总结

2023年2月19日发(作者：书法社团活动总结)

第十八章隐函数定理及其应用

§

1

隐函数

一、判断题

1

．方程xycosxcosye0,0yfx＋＝可以在的某邻域内确定隐函数＝。

（）

二、填空题

1．y=f

（

x

）方程

3x4y3+x2y

－

4=0

确定，

f

′（

X

）

=

2

．设

),(yxfz

由zezyx所确定，则

x

z





=________________________

3

．y=f

（

x

）由方程043342yxyx确定，





)(xf

4

．设ｕ＝2xye，其中3sin,xtyt，求

dy

dx



5

．2cos0xyexy，求

dy

dx



6

．,

x

fab

与,

y

fab

存在是函数,fxy

在点（ａ，ｂ）可微的条件。

7

．设x2sinyexy0

dy

dx

＋－＝，求＝

8

．方程0)sin(2xyyx确定的连续曲线，用“一定”或“不一定”填写下面的空白，在原点

)0,0(

附近它是否一定可确定隐函数

)(xfy

？

。_______

是不是可确定隐函数

.___?_________)(ygx

9

．设22lnyx

,

x

y

arctg

则

___________

dx

dy

10

．设02zxyeze，则

x

z





=

。

三、选择题

1

．方程0sinyxey所确定的曲线

)(xyy

在

)0,0(

点处的切线斜率为

()

)(A

1

)(B

1

)(C

2

1)(D

2

1



2

．椭圆27222yx上横坐标与纵坐标相等的点的切线斜率为

()

)(A

2

)(B

2

1



)(C

2

1

)(D

2

3

．函数xyyx,

则

y



的值是（）

)(A1xyxyx

)(B

)1(ln2xy

)(C

xxy

xy

ln1

)1(ln2





)(D

xx

xy

ln1

)1(ln2





4

．由方程0yexye所确定的隐函数

y

的导数

dy

dx

()

)(A1

yxe

)(B1

yxe





)(C

y

y

xe

)(D1

yxey

y

xe





5

．已知57230yyxx，则

0x

dy

dx





（）

)(A

1

2

)(B

2

)(C

3

)(D

1

3

6

．椭圆

22

1

169

xy

在点

3

(2,3)

2

处的切线方程是（）

)(A

34830xy

)(B

23830xy

)(C

34830xy

)(D

3830xy

7

．若2290yxy,

则

dy

dx



（）

)(A

y

yx

)(B

2y

yx

)(C

22

y

yx

)(D

2

2

y

yx

8

．设由方程1yyxe确定

y

是

x

的函数

,

则

y



（）

)(A

1

y

y

e

xe

)(B

1

y

y

e

xe





)(C

1

y

y

e

xe





)(D

1

y

y

e

xe

9

．

,arctanln22

x

y

yx

则

dy

（）

)(A

dy

yx

yx







)(B

dy

yx

yx





)(C

dy

yx

yx







)(D

dy

yx

yx





10

．方程0sin2xyyx在原点（

0

，

0

）的某邻域内必可确定隐函数的形式为。

A

、

)(xfy

B

、

)(ygx

Ｃ、两种形式都能Ｄ、两种形式都不能

11

．利用变量替换

x

y

vxu,

，可将方程

z

y

z

y

x

z

x











化为。

A

、

z

u

z

u





B

、

z

v

z

v





C

、

z

v

z

u





D

、

z

u

z

v







§

2

隐函数组

1．从方程组











1

1

22222vuzyx

vuzyx

中求出

x

u，

x

v，

2x

u，

2x

v。

2．设











1

0

222zyx

zyx

，求

dz

dx

，

dz

dy

。

§

3

几何应用

一、判断题

二、填空题

1

．曲线32,,tztytx在相应于1t处的切线方程是

.

2

．设函数0,1yuxxx

，则du.

3

．当0x时，422422()()xyxydxxxydy为某一函数

(,)uxy

的全微分，则常数=.

4

．若

),(yxf

在

),(

000

yxP

可微，则

),(zyxf

在

)),()(,,(

000000

yxfzzyx

的切平面方程是

___________.

5

．曲面

3x2+y2－

z2=27

在（

3

，

1

，

1

）处的切平面是

6．曲线

x=arcsin2t

，

y=bsintcost

，

z=cos2t

在

t=

π

/4

处的切线方程是

7

．曲线tx，2ty，3tz，在

0

t=1

的切线方程是___________________

8

．曲面632222zyx在点（

1

，

1

，

1

）处的法线方程是

9

．求曲线22

4

4

y

xy

z

















在点（２，４，５）处切线与ｘ轴正方向的夹角

10

．求曲面221zxy在点（２，１，４）处的切平面方程

11

．求曲线

22xy

z

2,2,5y

4

x2











＋

＝

在点处切线与轴正方向夹角

＝

12

．求曲面2223xyz273,1,1＋－＝在点处的切平面方程

13

．椭球面632222zyx在点

)1,1,1(P

处的切平面方程为.___________________

14

．椭球面632222zyx在点（

1

，

1

，

1

）处的切平面方程为，法线方程

为。

§

4

条件极值

1．求0,0,0xyz时函数(,,)ln2ln3lnfxyzxyz在球面222xyz26r上的极大

值。并证明,,abc为正实数时，

6

23108

6

abc

abc











.

2．求函数在所给条件下的极值

222fxyz，若2222222222()xyzaxbycz，0lxmynz.

3．求mnpfxyz在条件xyza，

0a

，

0m

，

0n

，0p，0,x

0,0yz之下的最大值.

4．求函数

1

()

2

nnzxy在条件(0,1)xylln之下的极值，并证明：当0,a

0,1bn时

22

n

n

nabab









.