自由度怎么算

自由度怎么算

mhls-关于水果的儿歌

2023年2月19日发(作者：写人作文评语)

豳 计量与测试技，￣）２０１４丰第４７墓第７２期

测量不确定度的自由度的计算

郑 红

（自贡市计量测试研究所，四川自贡６４３０００）

摘要：在不确定度的评定过程中，有时需要计算自由度。本文将就如何理解自由度，特别是如何理解Ｂ类评定的标准不确定度的自由度，以及如何计算Ａ

类评定的标准不确定度的自由度、Ｂ类评定的标准不确定度的自由度，合成标准不确定度的有效自由度等。

关键词：不确定度的评定与表示；自由度；自由度的计算；有效自由度；定义；计算

中图分类号：ＴＢ９ 文献标识码：Ａ 国家标准学科分类代码：４１０．５５

ＤＯ１：１０．１５９８８／ｊ．ｅｎｋｉ．１００４—６９４１．２０１４．１２．０２３

Ｃａｌｃｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ Ｆｒｅｅｄｏｍ ｏｆ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｉｎ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ

Ｚｈｅｎｇ Ｈｏｎｇ

１ 引言

在不确定度的评定过程中，有时需要计算自由度。

如当需要评定扩展不确定度 为求得ｋ。时需要计算自

由度；当比对或能力验证在不确定度评定时有时要求计

算自由度，当用户为了解所评定的不确定度的可靠程度

而提出要求时需要计算自由度。本文将就如何理解自由

度，特别是如何理解Ｂ类评定的标准不确定度的自由度

以及如何计算Ａ类评定的标准不确定度的自由度、Ｂ类

评定的标准不确定度的自由度，合成标准不确定度的有

效自由度等。

２不确定度的自由度

ＪＪＦ１０５９．１—２０１２（￣ｏｊ量不确定度评定与表示》中，给

自由度的定义：在方差的计算中，和的项数减去对和的限

制数。

在重复性条件下，通过ｔ／，次独立测量确定一个被测

量的估计值时，所得的样本方差为（ ＋ｕ；＋…＋ｕ：）／（ｒ／，

一１），其中＂Ｉｔ 为残差，是各测得值与算术平均值之差。

和的项数即为残差的个数／／，，被测量只有一个即和的受

约束的项数为１，由此可得自由度 ＝ｎ一１。

也可理解为被测量只有一个时，为了估计被测量，只

需要测量一次，但为了提高测量的可信度而多测了ｎ一１

次，多测的次数可以酌情规定，所以称为自由度，多测了

ｎ一１次，其自由度 ：／７，一１ ｏ

３ Ａ类评定的标准不确定度的自由度

３．１在重复性条件下，对同一被测量进行／１，次独立重复

测量，用贝塞尔公式求Ａ类评定的标准不确定度时其自

由度 ＝ｎ一１。

３．２在重复性条件下，对同一被测量进行ｎ次独立重复

收稿日期：２０１４—１０—２８

测量，用极差法求Ａ类评定的标准不确定度时其自由度

可通过查ＪＪＦ１０５９．１—２０１２（测量不确定度评定与表示》

的表１：极差系数Ｃ及自由度 表得到。

３．３对同一被测量核查ｍ次，每次核查时测量ｎ次，其

Ａ类评定的标准不确定度的自由度为／．Ｉ＝（ｎ一１）ｍ。其

自由度同以后的测量过程的测量次数无关。

３．４对同类被测件测量ｍ个，得到ｍ组数据，每组测量

次，其Ａ类评定的标准不确定度的自由度为 ＝ｍ（ 一

１）。

３．５对同类被测件测量ｍ个，得到ｍ组数据，每组测量

的次数不完全相同，设各为ｎ 次，其每一组的标准偏差的

自由度 ＝／／， 一１，则 Ａ类评定的标准不确定度的自由

度 ：∑ 。

Ｊ ｌ

４ Ｂ类评定的标准不确定度的自由度

根据ＪＪＦ１０５９．１—２０１２《测量不确定度评定与表

示》，Ｂ类评定的不确定度分量的自由度与所得到的标准

不确定度 （ ）的相对标准不确定度△［ （ ）］／ｕ（ ）有

关，其关系为：

１ “‘（ ） １ ｒ△［ （ 。）］１～ ，，、

ｉｖｉ 丽一 【 Ｊ 【ｌ

这个计算式到底说的是什么意思？又怎么来计算Ｂ

类评定的不确定度分量的自由度？

４．１ 关于Ｂ类评定的不确定度的自由度计算公式问题

４．１．１标准不确定度ｕ（ ）的相对标准不确定度△［ＩＩ，

（ ｉ）］／ｕ（ ）的问题

１１，（ ｉ）的相对标准不确定度实际上就是标准不确定

度ｕ（ ）的标准不确定度绝对误差值△［１Ｚ（ ）］除以该

标准不确定度 （ ）所得到的值△［ｕ（ ）］／ｕ（ ｉ），这就

郑红：测量不确定度的自由度的计算

正如我们在计算相对误差时用的是某测量点的测量绝对

误差（即某测量点的测得量值减该测量点的标准值之

差）除以该测量点的标准值是一个道理；只不过在实际

中标准不确定度绝对误差值△［１１，（ ）］不好计算，而用标

准不确定度ｕ（ ）的标准差盯［ｕ（ ）］来近似替代标准

不确定度绝对误差值△［ｕ（ ）］，然后用１３＂［ （ ）］除以

该标准不确定度ｕ（ｘ ）所得到的值 ［ｔｔ（Ｘ ）］／ｕ（ｘ ）来近

似表示△［ （ ）］／ｕ（ ）而已。

在这里，也许大家对标准不确定度ｕ（ ｉ）的标准差叮

［ｕ（ ）］比较陌生，不知道是什么意思。实际上在

ＪＪＦ１０５９．１—２０１２｛￣量不确定度评定与表示》中，关于Ａ

类评定，无论是测量过程的合并样本标准偏差的评定以

及规范化的检定、校准或检测量中合并样本标准偏差的

评定，都已经有实验标准偏差的标准偏差０｜［ｓ（ ｉ）］、标

准不确定度的标准偏差ｏｒ［ｕ（ ）］的身影，只不过是用的

ｓ［ｓ（ ）］、ｓ［ｕ（ 川来表示的而已。

如在ＪＦ１０５９．１—２０１２中，关于测量过程的合并样本

标准偏差的评定是这样叙述的：

对一个测量过程，采用核查标准和控制图的方法使

测量过程处于统计控制状态，若每次核查时的测量次数

为ｎｊ（自由度为 ），每次核查时的实验标准偏差为ｓ，，共

核查ｍ次。则统计控制下的测量过程的标准不确定度

可以用合并样本标准偏差ｓ 表征。

若每次核查的自由度相等（即每次核查时测量次数

相同）。则合并样本标准偏差为

／兰

ｓ ＝／

ｍ

（２）

以上是ＪＪＦ１０５９．１—２０１２所叙述的。

如果我们把第．『次核查时的实验标准偏差ｓ 用下式

表示

，、 ／毫（（％一 ）

ｓ（ ） √ 于

而 （ ）＝ｓ（ ） ＝

将式（３）代入式（２），则得

（ 一 ）

—

（３）

（４）

（５）

在这里， 就是 的实验标准偏差ｓ（ ）的标准偏差

ｓ［ｓ（ ）］，即我们前面所说的实验标准偏差的标准偏差

盯［ｓ（ｘ ）］。

而 的标准不确定度 （ ）的标准偏差ｓ［ （ ）］，即

艇 一 ｓ￣ｔｆｘ 、川 √ ＝√ 一

：厍×肛 ㈤

在这里，ｓ［ｕ（ｘｉ）］就是我们前面所说的标准不确定

度“（ ）的标准偏差 （ ）］。

４．１．２关于不确定度的自由度计算公式问题

Ｂ类评定的不确定度分量的自由度见公式（１）。如

何来理解这个关系式呢？

在ＪＪＦ１０５９．１—２０１２《测量不确定度评定与表示》

中，关于自由度的术语注解３：自由度反映了相应实验标

准偏差的可靠程度，用贝塞尔公式估计实验标准偏差ｓ

时，ｓ的相对标准差为 （ｓ）／ｓ＝１／√ ｌ，，若测量次数为９，

则 ＝８，表明估计的ｓ的相对标准差 （ｓ）／ｓ＝１／ ２ ＝

０．２５，其可靠程度达７５％。

由叮（Ｓ）／ｓ＝１／ ，可得：

（７）

则 ＝寺 （８）

根据前面的推导，ｕ（ｘｉ）＝ ，（由式（４）可得）

√ｎ

（戈 ）】： （由式（６）可得）

√ｎ

所以ｓ（ ）＝ｕ（ ）√ｎ，ｓ【ｓ（ ）】＝ｓ【ｕ（ ）】√ｎ

于是得 ＝ ＝

对式（９）中的ｓ（ ）用ｓ表示，ｓ［ｓ（ ）］用叮（ｓ）表

示，ｓ［ｕ（ 用盯［ｕ（ 川表示，代人式（８）可得

１ ｓ ［ｕ（ｘ ） ］ １ （ ）

丽 丽

标准不确定度ｕ（ｘ ）的标准偏差ｃｒ［ｕ（ｘ ）］用标准不确

定度ｕ（ｘｉ）的绝对误差值Ａ［ｕ（ｘ ）］来近似表示，则得到：

１ ｓ １ （ ） １ ｒ△［Ｍ（ ）】１

丽 【 Ｊ

式中的△［ （ ）］是标准不确定度 （ ）的绝对误

差值△［ （ ）］，它并不是代表 （ｘ ）的增量，而是代表

评定ｕ（ ）的不可靠程度。举砝码准确度等级引入的标

准不确定度为例，根据ｊｊＦ９９—２００６（砝码》检定规程：在

规定的准确度等级内，任何一个质量标称值为ｍ。的单个

砝码，其折算质量的扩展不确定度，ｕ（ ＝２），应不大于

相应准确度等级的最大允许误差绝对值的三分之一。以

２００ｇ的Ｅ：等级砝码为例，其最大允许误差绝对值为

０．３ｒａｇ，则其扩展不确定度Ｕ＝０．１ｍｇ，由此得到２００ｇ的

Ｅ 等级砝码由准确度等级所引人的标准不确定度 （ ）

＝０．０５ ｍｇ。因为我们是根据检定规程的规定来确定的

厚

＜ｒ计量与测试技术，）２０１４丰ｇ４１基第，２期

ｕ（ ）：０．０５ｍｇ，其可信程度是比较高的，相对不可靠估

计为１０％，由此可倒推算出△［ （ ）］＝０．００５ｍｇ，这个

值也就是标准不确定度 （ ）的标准不确定度绝对误差

值，则标准不确定度ｕ（ ）的相对标准不确定度的估计

值△［ｕ（ ）］／ｕ（ ）＝１０％。其自由度 ＝５０。这里举

这个例子，只是说明△［ （ ）］的含义，而并不是让你去

具体计算△［ （ ）］、△［ｕ（ ）］／ｕ（ｘ ）。

上面举的是求由砝码的准确度等级所引入的标准不

确定度时的自由度的例子，这也是求Ｂ类评定的不确定

度分量自由度的一个例子。现在我们仍以２００ｇ的Ｅ 等

级砝码为例，来求Ａ类评定的不确定度分量的自由度。

对一个测量过程，采用核查标准和控制图的方法使测量

过程处于统计控制状态，对同一被测量核查ｍ次，每次

核查时测量ｎ次，其Ａ类评定的标准不确定度的自由度

为 ＝（ｎ一１）ｍ。假设对２００ｇ的Ｅ：等级砝码核查１０

次，每次核查时测量６次，则Ａ类评定的标准不确定度

的自由度为 ＝（６—１）Ｘ １０＝５０。

如果我们想通过实际测量来计算标准不确定度ｕ

（ ）的标准偏差仃［ｕ（ ）］，那就可根据上面的方式，对

同一被测量核查ｍ次（组），每次核查时测量ｎ次，首先

用贝塞尔公式计算出每组的实验标准偏差ｓ（ ），除以

得到每组的标准不确定度 （ ），再利用公式（８）计算出

标准不确定度ｕ（ 。）的标准偏差 ｕ（ ）］即叮［ｕ（ ）］，

用（ｉｔ［ｕ（ ｉ）］除以ｕ（ ）即可得到盯［ （ ）］／ｕ（ｘ ）即△

［ （ ）］／ｕ（ ）的值。不过要注意的是计算所得到的仃

［ （ ）］只有一个，而每组的标准不确定度ｕ（ ）对本例

来说有６个值，也就是说得到的盯［ （ ）］／ｕ（ ）有６个

值；如果我们将６个“（ ）相加除以６得到其平均值

（ ），那就只得到一个 ｕ（Ｘ ）］／ｕ（ ）值了！这就像我

们测量２００ｇ的Ｅ：等级砝码６次，如果用每次的测得量值

减标准值之差除以标准值可得到６个相对误差值，而用

６次的平均值减标准值之差除以标准值就只能得到１个

相对误差值一即平均值的相对误差了！

由上面的推导及例子可以看出，Ａ类评定、Ｂ类评定

的自由度的计算并不是孤立的，而是相通的，且相互关联

的，只不过计算的方式不同而已。

４．２关于不确定度的自由度计算公式如何应用的问题

根据经验，按所依据的信息来源的可信程度来判断

（ ）的相对标准不确定度△［Ｍ（ ）］／ｕ（ ）。

在这里，已经说得非常明白了：对于Ｂ类评定的不

确定度分量的自由度的计算是根据经验来判断得出的，

而不是让你去具体计算得出来的。

正因为如此，在测量不确定度的Ｂ类评定的案例

中，一般没有去计算１２．（ ）的标准不确定度绝对误差值

的，都是直接抬出 ［１１，（ ）］／ｕ（ ）或△［ｕ（ ）］／ｕ（ ）

等于多少，然后直接代人式（１）计算出自由度的；有的资

料干脆就直接抬出“相对不可靠估计为ｘｘ％”，以替代△

［ （ ）］／ｕ（ｘ ）然后直接代人式（１）计算出自由度。说

到这里，不能不提到的是，在有的测量不确定度评定与表

示实例的书中，如本应该称为“相对不可靠估计为１０％”

的话却写成“对该估计的可靠性为１０％”，而且全书都是

如此。笔者认为将本该是相对不可靠为１０％写成可靠

性为１０％是错误的，因为不可靠为１０％其可靠性就为

９０％，而可靠性为１０％则不可靠就成了９０％了。这是我

们将自由度的概念搞清楚之后，再来看这些问题就觉得

这是不应该犯的错误了！

这就不难理解：估计△［ （ ）］／ （ ｉ）＝１０％，则自

由度／．ｉｉ＝５０。它就是根据有关信息估计ｕ（ ）的计算值

的不可靠性△ （ ）／ｕ（ ）为１０％，即可得

一号［ 砉譬 ］～＝丢× ］～： １ ｘ１００＝５０【 一Ｊ ×【而Ｊ ｕ

那么，我们怎么来估算△［ （ ）］／“（ ）呢？其方

法是：根据经验按所依据的“信息来源的可信程度”来判

断。信息来源的可信程度越高，相对不可靠估计值就越

／ｂ（这里绝不能因为相对不可靠估计值越小或越大就推

出标准不确定度ｕ（ ）的绝对误差值的估计值△［／．ｔ

（ ）］也越小或越大的错误结论），自由度就越大。如果

信息来源的可信程度比较低，相对不可靠估计值就越大，

自由度就越小。

既然／ｔ［ （ ）］／ｕ（ｘｉ）是相对不可靠估计的程度，那

我们就非常好操作了，这完全由我们“根据经验，按所依

据的信息来源的可信程度”来主观判断或者参考已有的

范例。通常情况下，对绝大多数的检测机构出具的测量

结果或诸如示值误差、读数误差、分辨力等引起的标准不

确定度，其不可靠的程度通常就取１０％。只有那些绝对

可靠的理论数据我们才１００％相信，其不可靠的程度为

０，自由度也就是。。了。得到相对不可靠的估计值后，可

通过查ＪＪＦ］０５９．１—２ｏ１２＜＜测量不确定度评定与表示》的

表４：△［ｕ（ ）］／ （ ）与 关系表得到 。

５合成标准不确定度的有效自由度

合成标准不确定度ｕ （Ｙ）的自由度称为有效自由

度，用符号 表示。它说明了所评定的合成标准不确定

度的可靠程度，并可用于在评定扩展不确定度ｕ 时求得

包含因子ｋ。。

当各分量间相互独立且输出量接近正态分布或ｔ分

布时，合成标准不确定度的有效自由度通常按下式计算

ｕ：（ｙ）

Ｎ ４

ｉ＝１ ｂ＇ｉ

（下转第４８页）

雹 计量与脚试技术 ０７４丰第４７卷第Ｔ２期

Ｕ＝３．５×１０ ＋１２１￣Ａ

钡４量１Ａ时Ｕ＝３．５×１０一 ×１＋１２ｐＡ＝±４．７×

１Ｏ Ａ，标准不确定度来源均为正态分布，包含因子 ＝

２，则

ｕ（ＩＮ）＝Ｕ／ｋ＝４．７×１０～／２Ａ＝２．３５×１０ Ａ

４标准不确定度汇总表

表２标准不确定度汇总表

５合成标准不确定度的评定

合成标准不确定度ｕ。（ ）

由２．３条可得到

ｕ （ ）＝￣／Ｍ （ ）＋Ｍ （，Ⅳ）＝２．３６×１０ Ａ

６扩展不确定度的评定

取 ＝２，扩展不确定度ｕ为

Ｕ＝Ｊｉ｝ｕ （ ）＝２ ｘ２．３６×１０ Ａ＝４．７×１０一 Ａ

换算至相对扩展不确定度为

测量１Ａ时， ｆ＝４．７×１０ ＝２

根据同样的方法，对其他测量点进行不确定度评定，

结果如表３。

７不确定度报告

数字多用表直流电流各量程区间示值误差测量值的

不确定度，见表４。

表３各量程区间数字多用表示值误差测量值的不确定度

０．０００１ 一２２０１ｘＡ １．２×１０一 ２．３×１０～ ２．６×１０一 ５．２×１０～ ５．２×１０一

２如 一２．２ｍＡ ９×１０一ｍＡ ２．１×１０一 ⅡＬＡ ２．３×ｌ０一 ｍＡ ４．６ ｘｌ０一 ｍＡ ４．６×１Ｏ一

２．２ｍＡ ２２ｍ／ｉ ８×１０—５ｍＡ ２

．

０×１０一 ｍＡ ２．２ｘ１０－４ｍＡ ４．４×ｌ０一 ｍＡ ４．４×１０—

２２ｍＡ ２２０ｍＡ １．１×１０一ｍＡ ２．６×１０—３ｍＡ ２

．

９×１０—３ｍＲ ５

．

８×１０～ｍＡ ５．８ ｘ１０—５

２２０ｍＡ ２．２Ａ ２．４×１０一 Ａ ２．３５×１０一 Ａ ２．３６ ｘ１０一 Ａ ４．７ ｘ１０一 Ａ ４．７×１０一

２Ａ １０Ａ ９ ｘｌＯ一 Ａ ２．１×１０—３Ａ ２

．３ ｘ１０— Ａ ４．６×１０一 Ａ ４．６ ｘ１０一

参考文献

［１］冯占岭．ＪＪＧ５９８—１９８９（直流数字电流表检定规程》．中国计量出

版社，１９８９．

［２］叶德培．测量不确定度评定与表示．中国标准出版社，２０１２．

作者简介：任刚，男，助理工程师。工作单位：新疆奎屯市质量技术监督局。

通讯地址：８３３２００新疆奎屯市质量技术监督局。

马晓军。新疆伊犁州计量检定所（伊宁８３５０００）。

（上接第４６页）

在计算有效自由度时，必须注意ｕ （ｙ）是测量结果

ｙ 的标准不确定度分量，其 （ｙ）＝ ｕ（ ），即 （），）是

ｏ．＾ｉ

１，

标准不确定度ｕ（ ）乘灵敏系数 之积，而不能在计算

ａ ‘

时只代人标准不确定度“（ ）之值。

当测量模型为Ｙ＝Ａ 砼… 时，有效自由度可用

相对标准不确定度的形式计算，

［ （ｙ） ］

—［Ｐ＇ｕ（—ｘ＇）／ｘｉ］４

ｉ＝ｌ ／，ｔｉ

实际计算中，得到的有效自由度不一定是一个整数。

如果不是整数，可以采用将 的数字舍去小数部分取

整。例如计算得到Ｉ，。 ＝１１．７５，则取／，＇ｅｆｔ＝１１。

因为当包含概率相同时，有效自由度往小靠整其包

含因子．ｊ｝ 比有效自由度往大靠整的包含因子 。大，由此

可使其扩展不确定度也大。例如当包含概率为０．９５时，

有效自由度 ＝１１， ＝２．２０；Ｖ，ｆ／－＝１２， ＝２．１８，前者的

大于后者，显然当合成标准不确定度相同时其前者的

扩展不确定度也大于后者。

这里，顺便谈到扩展不确定度的数字修约，有两种方

法：一是“四舍六人，逢五取偶”，例如计算得到Ｕ＝

１１．２５ｍｍ，则取Ｕ＝１１ｍｍ；二是将不确定度的末位后的

数字全部进位而不是舍去。例如计算得到Ｕ＝

１１．２５ｍＦｆｌ，则取Ｕ＝１２ｍｍ。其扩展不确定度的数字只人

不舍的做法同有效自由度的数字只舍不入的做法正好截

然相反。但其最终都能起到使扩展不确定度增大的效

果，这样更为保险。另外，扩展不确定度增大这在参加比

对特别是比对结果采用归一化偏差Ｅ 值来评判时对参

比实验室非常有利。

６结束语

通过以上的分析，可以看出在Ａ类评定、Ｂ类评定以

及合成标准不确定度中其自由度的计算是不同的，但是

相互之间又是有关联的，理解和掌握自由度的概念和计

算对我们评定不确定度是非常有用的。

参考文献

［１］ＪＪＦ＇１０５９．１—２０１２｛测量不确定度评定与表示》．北京：中国计量出

版社．

［２］ＪＪＦ１００１—２０１１《通用计量术语及定义技术规范》．北京：中国计量

出版社．

作者简介：郑红，女，工程师。工作单位：自贡市计量测试研究所。通讯地

址：６４３０００四川省自贡市高新工业园区荣ＪＩｌ路６号。