自由度公式

自由度公式

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2023年3月2日发(作者：地球仪的基本知识)

一、集中量

1.算术平均数：

N

X

X





N

fX

X





2.中位数：

md

mdf

i

n

N

LMd)

2

(

1



3.众数：

XMdM23



4.加权算术平均数：





W

WX

X

W

5.几何平均数：N

N

XXXXg

21



6.调和平均数：





X

N

X

H1

二、差异量

1.四分差：

2

13

QQ

QD





2.平均差：

N

XX

MD





3.标准差：

N

XX

X





2）（



4.方差：

N

XX

X





2

2

）（



5.差异系数：%100

X

CVX





6.百分等级分数：

Ni

LXf

FPb

bR

100

)(

















7.标准分数：

X

XX

Z







三、相关量

1.积差相关系数：

yxn

YXnYX

r







2.斯皮尔曼等级相关系数：

)1(

6

1

2

2







nn

D

r

R

3.肯德尔和谐系数：

)(

12

1

32nnK

SS

rR

W



式中：

n

R

RSS

R

2

2

）（



4.点二列相关系数：pq

XX

r

t

qp

pb





5.二列相关系数：

Y

pqXX

r

t

qp

b





6.多系列相关系数：











]

)(

[

])[(

2

p

YY

XYY

r

HL

t

HL

s



7.四分相关系数：)

1

180

cos(

bc

ad

r

t







8.Φ相关系数：

))()()((dcdbcaba

bcad

r









9.列联相关系数：

2

2









N

c

四、推断统计

1.二项分布概率：XnXX

nX

qpCP

）（

2.二项分布平均数：np

3.二项分布标准差：npq

4.正态分布曲线：2

2

2

)(

2













X

e

N

Y

5.标准正态分布曲线：2

2

2

1Z

eY



6.平均数抽样分布标准误：

1



nn

X

X







五、总体平均数的显著性检验

1.已知：

n

X

Z







2.未知但n＞30：

1





n

X

Z

X





3.未知但n≤30：

1





n

X

t

X





六、平均数差异的显著性检验

1.相关大样本（n=n1=n2＞30）：

1

2

21

2

2

2

1

21









n

r

XX

Z

XXXX



2.相关小样本（n=n1=n2≤30）：

1

2

21

2

2

2

1

21









n

r

XX

t

XXXX



1ndf

3.独立大样本（n1＞30、n2＞30）：

2

2

2

1

2

1

21

nn

XX

Z

XX









4.独立小样本（n1≤30或n2≤30）：

21

21

21

2

22

2

11

21

2nn

nn

nn

nn

XX

t

XX















2

21

nndf

七、方差齐性检验

1.两个独立样本：

)1(

)1(

2

2

22

1

2

11







n

n

n

n

F

X

X





1

11

ndf1

22

ndf

2.两个相关样本：

2

)1(422

2

2

1

2

2

2

1









n

r

t

XX

XX





2ndf

八、方差分析

1.完全随机设计：

w

b

MS

MS

F组间方差：

b

b

bdf

SS

MS组内方差：

w

w

wdf

SS

MS

（1）总平方和：















n

X

X

XX

SSSSSS

t

wbt

2

2

2

)(

)(总自由度：

wbt

dfdfdf

（2）组间平方和：















n

X

n

X

XXnSS

tjb

22

2

)(

)(

）（

组间自由度：1Kdf

b

（3）组内平方和：













n

X

X

XXSS

jw

2

2

2)(

）（

组内自由度：Kndf

b



2.随机区组设计：

处理水平差异显著性检验：

e

b

MS

MS

F组间方差：

b

b

bdf

SS

MS误差方差：

e

e

edf

SS

MS

区组差异显著性检验：

e

r

MS

MS

F区组方差：

r

r

rdf

SS

MS误差方差：

e

e

edf

SS

MS

（1）总平方和：







nK

X

X

SSSSSSSS

erbt

2

2

)(总自由度：1nKdf

t

（2）组间平方和：

nK

X

n

X

SS

b

22)(







）（

组间自由度：

1Kdf

b

（3）区组平方和：

nK

R

K

R

SS

r

22)()(







区组自由度：1ndf

r

（4）误差平方和：

rbte

SSSSSSSS误差自由度：

rbte

dfdfdfdf

3.在F检验拒绝H0后：（1）完全随机设计：

)

11

(

2

21

21

nn

MS

XX

q

w





（2）随机区组设计：

)

11

(

2

21

21

nn

MS

XX

q

e





九、总体比率的假设检验

1.

n

qp

pp

Z









2.两个独立样本比率差异的显著性检验：

)(

))((

2121

22112211

21

nnnn

qnqnpnpn

pp

Z









3.两个相关样本比率差异的显著性检验：

cb

cb

Z





b、c为不和谐频数

十、2检验

1.单项表的2检验：



t

t

f

ff2

0

2

）（

自由度：1Kdf

2.双项表的2检验：)1(

2

0

2

0

2





crt

t

nn

f

N

f

ff）（

自由度：)1)(1(crdf

3.独立样本四格表的2检验：

))()()((

2

2

dcdbcaba

Nbcad







）（

自由度：1df

4.相关样本四格表的2检验：

cb

cb







2

2

)(

自由度：1df

十一、相关系数的显著性检验

1.积差相关系数的检验：

（1）0且n≥50：

21

1

r

nr

Z







（2）0且n＜50：

21

2

r

nr

t





自由度：2ndf

（3）

0

：3nZZZ

r

）（



（4）两个相关系数差异的显著性检验：

3

1

3

1

21

21











nn

ZZ

Zrr

2.斯皮尔曼等级相关系数的检验：

21

2

R

R

r

nr

t





自由度：2ndf

3.肯德尔和谐系数的检验：

w

rnK)1(2自由度：1ndf

4.点二列相关系数的检验：

21

2

pb

pb

r

nr

t





自由度：2ndf

5.二列相关系数的检验：

n

pq

Y

r

Zb

1



6.多系列相关系数的检验：

21

2

s

s

r

nr

t















]

)(

[

2

p

YY

rrHL

ss

自由度：2ndf

7.四分相关系数的检验：

N

qpqp

YY

r

Zt

2211

21

1



8.Φ相关系数的检验：22



Nr自由度：)1)(1(crdf

9.列联相关系数的检验：)1(

2

0

2

cr

nn

f

N自由度：)1)(1(crdf