机构自由度计算

机构自由度计算

七律诗集200首-氓的翻译

2023年3月17日发(作者：万国乐毅)

1、计算图示机构的自由度（如有复合铰链、局部自由度或虚约束，应在图上标

出）。图b中，C、F的导路在图示位置相互平行。

答案

(1)图a

B、C处为复合铰链

Fnpp323102142

LH

(2)图b

C(或F)为虚约束。

Fnpp3234252

LH

2、试分析下图所示的系统，计算其自由度，说明是否能运动？若要使其能动，

并具有确定运动，应如何办？在计算中，如有复合铰链、局部自由度和虚约束，

应说明。图中箭头表示原动件。图b中各圆为齿轮。

答案

(1)图a，滚子B处有局部自由度，E或F为虚约束，故

npp341,,,

LH

Fnpp32

LH

332410

不能运动，故不是机构。可增加一个构件和一个低

副，如解答中图a,这时

npp451,,,

LH

Fnpp32342511

LH

(2)图b，A、B处为复合铰链，D或E为虚约束，故

npp672,,

LH

Fnpp32

LH

362722

故可动，但因只有一个原动件，所以运动不确定。

修改方法：

(a)可增加一个原动件，如认为杆3亦为原动件。

(b)减少一个构件和一个低副，仍用一个原动

件，如认为杆3和轮1为一个构件(图b)，这时

npp562,,,

LH

Fnpp32

LH

352621

注：修正办法还有多种。

3,计算下列机构的自由度。如有复合铰链、局部自由度和虚约束，必须注明。

图b中两圆为齿轮，导路F垂直于AE。

答案

(1)图a

A处为复合铰链。

Fnpp3231021402

LH

(2)图b

BC杆引入虚约束，应去除。

11524323

HL

ppnF

4,计算图示机构的自由度。若有复合铰链、局部自由度或虚约束，必须指出。（已

知AB=CD，且相互平行。）

答案

(1)D处为复合铰链，滚子为局部自由度，E或F、G

或H为虚约束，滚子两侧接触之一为虚约束。

(2)去除虚约束和局部自由度后

Fnpp323921221

LH

5,直动从动件盘形凸轮机构中，当推程为等速运动规律时，最大压力角发生在

行程。

(A)起点；(B)中点；(C)终点。

答案

A

6,图示为一凸轮机构从动件推程位移曲线，OA//BC，AB平行横坐标轴。试分析

该凸轮机构在何处有最大压力角，并扼要说明理由。

答案

(1)O点处压力角最大。

(2)因为OA、BC的斜率相同，两段曲线在O、B处有最

大压力角，但相比之下，O点处凸轮廓线的曲率半径

更小，所以压力角最大。

7,有一对心直动尖顶从动件偏心圆凸轮机构，O为凸轮几何中心，O

1

为凸轮转

动中心，直线

AC

BD，O

1

O=

1

2

OA，圆盘半径R=60mm。

（1）根据图a及上述条件确定基圆半径r

0

、行程h，C点压力角

C

和D点接触

时的位移h

D

、

压力角

D

。

（2）若偏心圆凸轮几何尺寸不变，仅将从动件由尖顶改为滚子，见图b，滚子

半径r

r

10

mm。试问上述参数r

0

¡、h、

C

和h

D

、

D

有否改变？如认为没有改变

需明确回答，但可不必计算数值；如有改变也需明确回答，并计算其数值。

a)b)

答案

(1)

1）30

10

AOrmm

2）60

11

AOCOhmm

3）0

C



4）08.37

1

22

1

AOODOOh

D

mm

5）57.26)(arctg1

OD

OO

D



(2)

1）40

r10

rAOrmm

2）

h60

mm（不变）

3）

C

0

（不变）

4）16.36)(

0

2

r

2

1

rrROOh

D

mm

5）20.23)(arctg1

OD

OO

D



8,图示凸轮机构中，已知凸轮廓线AB段为渐开线，形成AB段渐开线的基圆圆

心为O，OA=r

0

，试确定对应AB段廓线的以下问题：

（1）从动件的运动规律；

（2）当凸轮为主动件时，机构的最大压力角与最小压力角；

（3）当原从动件主动时，机构的最大压力角出现在哪一点？

（4）当以凸轮为主动件时，机构的优缺点是什么？如何改进？

答案

(1)由于凸轮廓线为渐开线，根据渐开线的性质，从动件的运动规律为

yr

0

。

(2)渐开线的法线切于基圆，则有0

minmax

。

(3)当原从动件主动时，凸轮运动方向如图中虚线所示。

tg

y

r

0

，当增大时，也增大，故B点压力角最大。

(4)凸轮为主动件时，从动件的运动规律为等速运动规律，运动过程中

有刚性冲击，但压力角始终为零，有较好的受力状态。可通过修改A、B两

点附近的运动规律（比如用摆线运动规律去修正），可达到减小或消除刚性

冲击的目的。

9,试求图示机构的全部瞬心，并说明哪些是绝对瞬心。

答案

共有六个瞬心，如图所示。绝对瞬心为

302010

,,PPP。

10在图示四杆机构中，已知ll

ABBC

20mm，l

CD

40mm，==90，



1

100rad/s。试用速度瞬心法求C点速度v

C

大小和方向。

答案

(1)先求瞬心P

13

。

(2)5056/10028/

1330113103

PPPPrad/s，顺时针方向。

25004.0

3



CDC

lvm/s，方向如图。

11,下图是四种机构在某一瞬时的位置图。在图示位置哥氏加速度不为零的机构

为。

答案

C

12,已知铰链四杆机构的位置(图a)及其加速度矢量多边形(图b)，试根据图b

写出构件2与构件3的角加速度

2

、

3

的表达式，并在图a上标出它们的方向。

答案

l

a

BC

CB

BC

cn

l

a





2

t

2

，逆时针方向

l

a

CD

C

CD

cn

l

a





3

t

3

，逆时针方向

13,图示为按比例尺绘制的牛头刨床机构运动简图和速度矢量多边形。试由图中

的比例尺计算导杆3的角速度

3

和滑块2的角速度

2

，并指出其方向。(提示：

S

3

为构件3上特殊点，据

SBCD

3



、

SDv

D3



求得，作题时不必去研究v

S3

如何求

得。)

(取

l

0005.m/mm，

v

0003.(m/s)/mm。)

答案

)/()(/

33333lvDCDC

DCcdlv

6.0)005.064/()003.064(rad/s，顺时针方向。



23



14,试画出图示机构的传动角



和压力角



，并判断哪些机构在图示位置正处于“死

点”？

答案

（1）、（3）机构正处死点位置。

（1）2分

（2）3分

（3）3分

（4）2分

15,在铰链四杆机构中，已知l

AB

30mm，l

BC

110mm，l

CD

80mm，l

AD

120mm，

构件1为原动件。

（1）判断构件1能否成为曲柄；

（2）用作图法求出构件3的最大摆角

max

；

（3）用作图法求出最小传动角

min

；

（4）当分别固定构件1、2、3、4时，各获得何种机构？

m/mm

答案

（1）15012030

41

llmm

19080110

32

llmm

3241

llll

且构件1为连架杆，所以构件1能成为曲柄。

（2）最大摆角

max

如图示。

（3）当机构处于AB''C''D位置时有最小传动角

minmin







BCD

（4）当固定构件1时，得双曲柄机构；

当固定构件2时，得曲柄摇杆机构；

当固定构件3时，得双摇杆机构；

当固定构件4时，得曲柄摇杆机构。

16,已知一对渐开线直齿圆柱齿轮，其mahcz520102520

1

mm,,,.,

a

，

z

2

40，试计算：

（1）求两个齿轮的分度圆半径r

1

、r

2

和基圆齿距p

b1

、p

b2

；

（2）求小齿轮的齿顶圆半径r

a1

和大齿轮的齿根圆半径r

f2

；

（3）求这对齿轮正确安装时的啮合角'和中心距a；

（4）将上述中心距a加大5mm，求此时的啮合角'及此时两轮的节圆半径



r

1

、



r

2

。

答案

（1）rmz2

rr

12

52mmmm

pm

ppm

bb

coscos.

12

52014761mm

（2）rrhm

aa11

501555mm

rrhmcm

fa

..

22

1mm

（3）正确安装：

amzz()()

12

2520402150mm

（4）

aa51505155mm

coscoscos.







aa159954



2458.



rai

112

1155125167()().mm







riai

21212

3()().mm

17,一对渐开线直齿圆柱标准齿轮传动，已知izm

121

2201020,,,mm，

hc

a

,.1025。

（1）分别计算两轮的分度圆半径、基圆半径、节圆半径、顶圆半径、标准中心

距、无侧隙啮合角、分度圆齿距和基圆齿距，并用作图法确定实际啮合线长，

由此计算重合度。

（2）若中心距加大，回答下列问题（把不对的划去）

1）节圆半径

r

（变大，变小，不变）

2）分度圆半径r（变大，变小，不变）

3）啮合角'（变大，变小，不变）

4）传动比i

12

（变大，变小，不变）

5）齿侧间隙（有，没有）

6）节圆压力角（等于，大于，小于）啮合角。

答案

（1）rmz2

rr

12

52mmmm

pm

ppm

bb

coscos.

12

52014761mm

（2）rrhm

aa11

501555mm

rrhmcm

fa

..

22

1mm

（3）正确安装：

amzz()()

12

2520402150mm

（4）

aa51505155mm

coscoscos.







aa159954



2458.



rai

112

1155125167()().mm







riai

21212

3()().mm

18,在图示轮系中，已知：蜗杆为单头且右旋，转速n

1

1440r/min,转动方向如

图示，其余各轮齿数为：40

2

z，z

2

20

'

，z

3

30，z

3

18

'

，54

4

z，试：

（1）说明轮系属于何种类型；

（2）计算齿轮4的转速n

4

；

（3）在图中标出齿轮4的转动方向。

答案

（1）定轴轮系

（2）n

zzzn

zzz4

1231

234

12018

403054

14408











''r/min

（3）n

4

方向←。

19,在图示轮系中，所有齿轮均为标准齿轮，又知齿数z

1

30，

68

4

z。试问：

（1）?

2

z，z

3

?

（2）该轮系属于何种轮系？

答案

（1）zzz

412

2

zzzz

2341

26830219½()/()/

（2）属于差动轮系。

20,在图示轮系中，根据齿轮1的转动方向，在图上标出蜗轮4的转动方向。

答案

蜗轮转向为顺时针。

21，在图示轮系中，轮2、轮4同时和轮3啮合。已知各轮的齿数为

z

1

19

,

z

1'

z

2

z

4



20

，

z

3

60

，求

i

AB。

答案

(1)这是一个混合轮系。1'、4、3、H及机架组成一

基本的差动轮系，1、2、3及机架组成定轴轮系。

3分

(2)对于基本差动轮系

ii

nn

nn

z

z

HH

H

H

1313

1

3

3

1

60

20

3

'

'







①

(3)对于定轴轮系

i

n

n

z

z13

1

3

3

1

60

19



故有nn

31

19

60

②

将式②代入①:

nn

nn

H

H

1

1

19

60

3







(4)由此可解得

ii

n

nABH

H



1

180

22、在图示轮系中，已知

zzzz

1346

2288,,

，试求：

（1）传动比

i

16；

（2）该机构的自由度F，并指明虚约束、复合铰链和局部自由度。

答案

（1）求i

16

由

nn

nn

z

z

16

36

3

1

4







n

n

3

6

1

解得i

16

9

（2）求F

行星轮2（或2）及D为虚约束，B处为复合铰链，故

Fnpp323525141

LH

23,图示螺旋机构中，已知螺旋副A为右旋，导程

L

A

28.

mm；螺旋副B为左旋，

导程

L

B为3mm，C为移动副。试问螺杆1转多少转时才使螺母2相对构件3移动

10.6mm。

答案

螺母2的位移方程：

2112

sss





杆1右旋1转，s

1

左移2.8mm；同时由相对运动原理，s

21

也左移3mm，

s

2

28358..mm

又

106

58

183

.

.

.

杆1转1.83转使螺母2相对于杆3移动10.6mm。

24,图示杠杆机构。A、B处细线圆为摩擦圆。试用图解法画出在驱动力作用下提

起重物

W



时，约束总反力

21

R



、

31

R



的作用线。

答案

方程式

0

3121

21





PRR

WR





25,在图示铰链机构中，铰链处各细线圆为摩擦圆，

d

M为驱动力矩，

r

P为生产

阻力。在图上画出下列约束反力的方向与作用位置：

12

R



、

32

R



、

43

R



、

41

R



。

答案

26,图示为一鼓轮，上有重块A、B，已知它们的质量

m

A

4kg

，

m

B

2kg

，今欲

在平面Ⅰ、Ⅱ上分别加一平衡质量

m

b

'和

m

b

''，它们分布在



1200mm

的圆周上，使

鼓轮达到完全平衡。试求

m

b

'

、

m

b

''

的大小，并在图中画出它的安放位置。

答案

比例尺

l

1kgm/mm

将不平衡质量m

A

、m

B

分解至平面Ⅰ、Ⅱ上。

m

B

I

().12m

B

kg

m

B

II

m

B

m

B

I



平面上的平衡质量

m

b

'

，由质径积矢量图得

m

mrb

'/..kg430672

平面Ⅱ上的平衡质量m

b

''

由图得

m

b

''(/)56m

B

II

=7.7kg

27,某转子由两个互相错开

90

的偏心轮组成，每一偏心轮的质量均为

m

，偏心距

均为

r

，拟在平衡平面A、B上半径为

2r

处添加平衡质量，使其满足动平衡条件，

试求平衡质量

A

m)(

b

和

B

m)(

b

的大小和方向。

答案

偏心盘的不平衡质径积

mrmrmr

CCDD



分解到平衡平面A和B

()()mrmr

CCA

34

()()mrmr

CCB

14

()()mrmr

DDA

14

()()mrmr

DDB

34

动平衡条件



0

0

bb

bb





B

DD

B

CC

B

A

DD

A

CC

A

rmrmrm

rmrmrm





解得



mmmrrm

mmmrrm

BB

AA

394.0,788.0

394.0,788.0

bbb

bbb





28,单缸四冲程发动机近似的等效输出转矩

d

M如图示。主轴为等效构件，其平

均转速minr/1000

m

n，等效阻力矩

r

M

为常数。飞轮安装在主轴上，除飞轮以

外构件的质量不计。试求：

（1）等效阻力矩

r

M的大小和发动机的平均功率；

（2）稳定运转时

max



和

min

的位置；

（3）最大盈亏功

max

W；

（4）欲使运转速度不均匀系数005.，在主轴上安装的飞轮的转动惯量J

F

；

（5）欲使飞轮的转动惯量减小

1

2

，仍保持原有的值，应采取什么措施？

答案

(1)M

r







1

2

2002020

4

15







Nm,

平均功率M

rm

1571Nm/s

(2)

max

位于M

r

与M

d

的交点d'

,斜线部分cd'

的方程为

M

d

600

200





当MM

dr

，即600

200

15



时,

d'

..29255265



min

发生在C点，即

360

处。

(3)W

max

()(.)

1

2

2001529252855632688..

J

(4)J

W

F

max

m

2

.

().

.











2688

1000

30

005

049

2

kgm2

(5)要把飞轮安装在转速为n'的高速轴上。

n

J

J

nn'F

F

'

mm

221410r/min

29,某机械系统以其主轴为等效构件。已知主轴稳定运转一个周期的等效阻力矩

变化规律如图所示。等效转动惯量

Jm

2

，平均角速度

m

40rad/s，等

效驱动力矩为常数。试求：

（1）等效驱动力矩M

d

；

（2）最大盈亏功W

max

；

（3）

max

与

min

的位置和大小；

（4）运转速度不均匀系数。

答案

(1)M

d

()/





42

40215Nm(图a)

(2)

W

1

15

3

4

45

4

J

W

2

25

1

4

25

4

J

W

3

15

1

2

30

4

J

W

4

25

1

2

50

4

J

作出W曲线〔图b〕，

得

W

max

.

50

4

3927J

(3)



max

在

3

2

处；



min

在2处(

0

处)。

(4)















W

J

max

m

.

.

.

22

3927

0540

0049