正方形的性质
大学生军事理论-辞职信英语
2023年2月19日发(作者：量子力学创始人)正方形的性质和判定
一、教学目的
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平
行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的
逻辑思维能力．
二、重点、难点
1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
三、例题的意图分析
本节课安排了三个例题，例1例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2
是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3
是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可
以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随
堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：
①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？
②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？
③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什
么条件？
④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？
⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？
四、课堂引入
1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方
形．
学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形
与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
正方形定义：有一一个角是直角
．．．．．．．
的菱形
．．
叫做正方形．
2．【问题】正方形有什么性质？
由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个
角是
直角
的菱形．
所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
五、例习题分析
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等
腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点
O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．
例2已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，
E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于
正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠
DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得
到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．
又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．
∴∠EAO=∠FDO．
∴△AEO≌△DFO．
∴OE=OF．
例3已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l
1
∥l
2
，作
BM⊥l
1
于M，DN⊥l
1
于N，直线MB、DN分别交l
2
于Q、
P点．
求证：四边形PQMN是正方形．
分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出
AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．
证明：∵PN⊥l
1
，QM⊥l
1
，
∴PN∥QM，∠PNM=90°．
∵PQ∥NM，
∴四边形PQMN是矩形．
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都
是直角）．
∴∠1+∠2=90°．
又∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．
∴△ABM≌△DAN．
∴AM=DN．同理AN=DP．
∴AM+AN=DN+DP
即MN=PN．
∴四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
六、随堂练习
1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）
④四条边都相等的四边形是正方形；（）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（）
1．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别
为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．
求证：∠AFE＝∠AEF．
A
B
C
DE
F
4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角
形，
求∠EAD与∠ECD的度数．
七、课后练习
1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F
是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，
DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正
方形．
3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平
分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．