北京高考数学
猴子吃西瓜的故事-定州市李亲顾中学
2023年2月19日发(作者：体育统计学)2022年北京市高考数学试题
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个
选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则
∁UA＝（）
A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1）D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
2．（4分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（）
A．1B．5C．7D．25
3．（4分）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，
则a＝（）
A．B．C．1D．﹣1
4．（4分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（）
A．f（﹣x）+f（x）＝0B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1D．f（﹣x）﹣f（x）＝
5．（4分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（）
A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减
B．f（x）在（﹣，）上单调递增
C．f（x）在（0，）上单调递减
D．f（x）在（，）上单调递增
6．（4分）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”
是“存在正整数N
0，当n＞N0时，an＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的
二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如
图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其
中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论
中正确的是（）
A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
8．（4分）若（2x﹣1）4＝a
4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（）
A．40B．41C．﹣40D．﹣41
9．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及
其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的
区域的面积为（）
A．B．πC．2πD．3π
10．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC
所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（）
A．[﹣5，3]B．[﹣3，5]C．[﹣6，4]D．[﹣4，6]
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）函数f（x）＝+的定义域是．
12．（5分）已知双曲线y2+＝1的渐近线方程为y＝±x，则m
＝．
13．（5分）若函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，则A
＝；f（）＝．
14．（5分）设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，
则a的一个取值为；a的最大值为．
15．（5分）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an•Sn
＝9（n＝1，2，…）．给出下列四个结论：
①{a
n}的第2项小于3；
②{a
n}为等比数列；
③{a
n}为递减数列；
④{a
n}中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是．
三、答案题共6小题，共85分。答案应写出文字说明，演算步骤或
证明过程。
16．（13分）在△ABC中，sin2C＝sinC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为正
方形，平面BCC
1B1⊥平面ABB1A1，AB＝BC＝2，M，N分别为
A1B1，AC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC
1B1；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直
线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：AB⊥MN；
条件②：BM＝MN．
注：如果选择条件①和条件②分别答案，按第一个答案计分．
18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，
比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为
预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比
赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总
人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计
值最大？（结论不要求证明）
19．（15分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，
1），焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点P（﹣2，1）作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两
点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当|MN|＝2时，
求k的值．
20．（15分）已知函数f（x）＝exln（1+x）．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单
调性；
（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．
21．（15分）已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数
m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，
ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表
数列．
（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连
续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若Q：a
1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最
小值为4；
（Ⅲ）若Q：a
1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak
＜20，求证：k≥7．