复变函数积分

复变函数积分

名片尺寸-中医小儿推拿

2023年2月18日发(作者：让心自由)

1

复变函数与积分变换复习提纲

第一章复变函数

一、复变数和复变函数

yxivyxuzfw,,

二、复变函数的极限与连续

极限Azf

zz





)(lim

0

连续)()(lim

0

0

zfzf

zz





第二章解析函数

一、复变函数),(),()(yxivyxuzfw可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程

掌握利用C-R方程















xy

yx

vu

vu

判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：

yxyx

yyxx

viviuu

viu

y

f

i

ivu

x

f

zf



















1

)('

三、初等函数

重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数

innnnnnerninrirzw)sin(cos)sin(cos单值函数

n

kz

i

n

nerzw

2arg

1



(k=0、1、2、…、n-1)n多值函数

2、指数函数：)sin(cosyiyeewxz

性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zzee)'(（3）以i2为周期

3、对数函数

kizkzizLnzw2ln)2(argln（k=0、±1、±2……）

性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:

k

kz

z

1

)'(ln。

4、三角函数：

2

cos

izizee

z





i

ee

z

iziz

2

sin





性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界

5、反三角函数（了解）

反正弦函数

)1(

1

sin2zizLn

i

zArcw

2

反余弦函数)1(

1

cos2zzLn

i

zArcw

性质与对数函数的性质相同。

6、一般幂函数：

])arg2([lnizkzs

sLnzseez

（k=0、±1…）

四、调和函数与共轭调和函数：

1)调和函数:0),(2yxu

2)已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）

有三种方法：a）全微分法

b）利用C-R方程

c）不定积分法

第三章解析函数的积分

一、复变函数的积分

lll

udyvdxivdyudxfdzz存在的条件。

二、复变函数积分的计算方法

1、沿路径积分：

c

dzzf利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。

2、闭路积分：a)

c

dzzf利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。

b)dzyxivyxu

c

)],(),([利用参数积分方法

三、柯西积分定理：

0c

dzzf

推论1：积分与路径无关

dzzfdzzfz

zc2

1

)(

推论2：利用原函数计算积分

)()()(

12

2

1

zFzFdzzfz

z



推论3：二连通区域上的柯西定理





21

cc

dzzfdzzf

推论4：复连通区域上的柯西定理













k

c

n

k

c

dzzfdzzf

1

四、柯西积分公式：











d

z

f

i

zf

c





2

1

)(





0

0

2

c

fz

dzifz

zz







3

五、高阶导数公式：











d

z

f

i

n

zf

c

n

n



1

)(

)(

2

!

)(

解析函数的两个重要性质：

解析函数zf在任一点z的值可以通过函数沿包围点z的任一简单闭合回路的积分表示。

解析函数有任意阶导数。

本章重点：掌握复变函数积分的计算方法

沿路径积分c

dzzf1）利用参数法积分2）利用原函数计算积分。

闭路积分c

dzzf利用留数定理计算积分。

第四章解析函数的级数

一、幂级数及收敛半径：





0

)(

n

n

n

bza

1、一个收敛半径为R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数)(zf是解析函数，在这个收敛圆内，这

个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：







1

'

n

n

n

bznazfRbz

1

00

01





















n

n

z

l

n

n

n

n

zz

n

a

dzbzadzzfRbz

2、收敛半径的计算方法

1）比值法：

1

/lim







nn

n

aaR

2）根值法：n

n

n

aR



lim/1

二、泰勒（Taylor）级数

1、如函数)(zf在圆域Rbz内解析，那么在此圆域内)(zf可以展开成Taylor级数

)(zf



n

n

n

n

n

n

bz

n

bf

bza





00

!

)(

1）展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor级数。

2)收敛半径是展开点到)(zf的所有奇点的最短距离。

3）展开式的系数可以微分计算：



!n

bf

a

n

n



4）解析函数可以用Taylor级数表示。

4

2、记住一些重要的泰勒级数：

1）







0

1

1

n

nz

z

2）





0

!

n

n

z

n

z

e

3）















0

)12(

)!12(

1

sin

n

n

n

z

n

z4）











0

2

)!2(

1

cos

n

n

n

z

n

z

三、罗兰（Laurent）级数

如果函数)(zf在圆环城

21

RbzR内解析，则)(zf=





xn

n

n

bzc)(





dz

bz

zf

i

c

l

n

n



12

1



（n=0、±1、±2……）

1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laurent级数。

2、展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laurent级

数。

3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。

四、孤立奇点

1、定义：若b是)(zf的孤立奇点，则)(zf在bz0内解析。在此点)(zf可展开为罗兰级数，

)(zf=













1

0nn

n

n

n

n

n

n

n

bzcbzcbzc

2、分类：

孤立奇点















1

]),([Re,:

:

0]),([Re,:

cbzfs

bzfs

无穷多负幂项本性奇点

有限负幂项极点

无负幂项可去奇点

把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-1

3、极点留数计算

a)如果b是)(zf的一阶极点，则)()(lim]),([Rezfbzbzfs

bz





b)如果b是)(zf的m阶极点，则



][lim

!1

1

]),([Re

1

1

zfbz

dz

d

m

bzfsm

m

m

bz













c)如b是



zQ

zP

zf的一阶极点，且P(b)≠0，那么







bQ

bP

b

zQ

zP

s

'

,Re













5

d)]0,

1

)

1

([Re]),([Re

2zz

fszfs

e)若z是)(zf的可去奇点，并且0)(lim



zf

z

，

zzfCzfs

z



lim]),([Re

1

关系：全平面留数之和为零。

0,Re,Re

1





zfsbzfs

k

k

本章重点：函数展开成Taylor级数，并能写出收敛半径。

函数在解析圆环城内展开成Laurent级数。

孤立奇点（包含z点）的判定及其留数的计算。

第五章留数定理的应用

一、

dR2

0

cos,sin

条件：（1）R(sin，cos)为cos与sin的有理函数

（2）R(•)在[0，2]或者[-，]上连续。

令iez，则

i

zz

2

sin

1

，

2

cos

1



zz

，

iz

dz

d。

dzzf

iz

dz

z

z

iz

z

RdR

zz























1

22

1

2

02

1

,

2

1

cos,sin







n

k

k

zzfsi

1

,Re2

1

k

z

注意留数是计算单位圆中的奇点。

二、



dxxf

条件：（1）



xQ

xP

xfxQxP,是x的多项式。

（2）0xQ

（3）分母阶次比分子阶次至少高二次

则











n

R

k

bzfsidxxf

1

,Re2

k

b是)(zf在上半平面的奇点。

三、dxexRxi



（0）

条件：（1）



xQ

xP

xR，且xQ比xP至少高一阶，

（2）0xQ，（3）0

6















n

k

k

zixibezRsidxexRI

1

,Re20Im

k

b







IxdxxRRecos，





IxdxxRImsin

重点关注第一和第三种类型

第七章Fourier变换

一、傅立叶变换

dtexfFtj









deFxftj





2

1

二、函数的傅立叶变换

ℱ1



dxexxxj.xdexj





2

1

三、一些傅立叶变换及逆变换

ℱ





i

xH

1

)]([

ℱ

2

1

)(]

1

[1xH

i

四、性质：ℱFxf

1、相似性质

ℱ















a

F

a

axf

1

2、ℱFexxfxj

0

0



延迟性质

ℱ

0

0Fxfexj位移性质

3、微分性质

ℱ)('Fjxfℱ)(')(Fxjxf

ℱ

)()(Fjxfnnℱ

n

n

n

d

Fd

xfxj



)(

)(

4、积分性质

ℱ)(

1

0





F

j

dxxfx

x















由Fourier变换的微分和积分性质，我们可以利用Fourier变换求解微积分方程。

四、卷积和卷积定理

7

dxffxfxf)()()(*)(

2121





ℱ)()()](*)([

2121

FFxfxf

ℱ

)(*)(

2

1

)]()([

2121





FFxfxf

＊五、三维Fourier变换及反演

本章重点：利用定义计算Fourier变换

第八章Laplace变换

一、拉普拉斯变换

ℒpFdtexfxfpt

0

二、几个重要的拉普拉斯变换及逆变换

ℒ

p

tH

1

ℒtH

p

















1

1

ℒ





p

et

1

ℒte

p























1

1

ℒ

22

cos









p

p

tℒt

p

p





cos

22

1

















ℒ

22

sin











p

tℒt

p







sin

22

1

















ℒ

1

!

][





m

m

p

m

tℒ1][t

四、拉普拉斯变换的性质

1、ℒpFettfpt

0

0



2、ℒ

0

)(0ppFtfetp

3、ℒ0'fppFtf

ℒ0'02fpfpFptfu

ℒ

n

u

n

dp

pFd

tft

4、ℒpF

p

dttft1

0















8

ℒ





















dppFdt

t

tf

五、卷积：dtfftftf

t2

0

121

*

ℒpFpFtftf

2121

*

六、Laplace反演















n

n

n

ptpt

j

j

pepFsdpepF

j

tf

1

,Re

2

1



七、Laplace逆变换

（1）部分分式法

（2）卷积定理

（3）Laplace反演公式（留数定理）

（4）利用Laplace变换的性质

八、利用Laplace变换求解微积分方程

（1）对方程取Laplace变换，得到象函数的代数方程

（2）解代数方程，得到像函数的表达式

（3）求像函数的拉普拉斯逆变换

拉氏变换解代数方程

拉氏逆变换

本章重点：利用定义和性质计算Laplace变换。

计算Laplace逆变换。

利用Laplace变换求解微积分方程。

微分方程像函数的代数方程

像函数

像原函数

解函数