苏州市第一中学
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2023年2月14日发(作者：)1
杆的模型应用及受力情况分析
彭兆光
江苏省苏州市第一中学215006
中学物理研究问题的思想方法，虽然在课本中没有明确指出，但它已经渗透到各部分内容的叙述中，
只要留心就会发现这样的事实，物理学研究问题时，往往先从大量的事实中，抽象出它们的化身———理
想化模型(如描述物体的有：质点、点电荷等；描述运动的有：匀变速直线运动、匀速圆周运动、简諧振动
等；描述过程的有：弹性碰撞、等温变化、等幅振荡等；描述状态的有：热学中的平衡状态、电学中的静
电平衡等；描述器件的有：如单摆、理想电表、理想变压器等……)，再对模型进行研究，得出有关的定义、
概念、规律等知识，最后用这些规律性的知识去解决问题，这就是中学物理研究问题的基本方法。即从实
际问题分析
总结得出模型研究得出规律运用解决实际问题。因此，在解决实际问题时，能否全面的掌握已经学过的模
型（条件、范围、意义等）,是否能从问题所设定的情境中恰当地确认模型、正确地建立模型、熟练地应用
模型是解决问题的关键。
物理学中杆是很常见的。由于杆在实际中往往起到传递力和力矩的作用，它受到的可能是压力、拉力，
有时可能是切力。其方向可能沿杆的方向，也可能和杆有一定的夹角。正是因为这样，实际中在没有明确
给出杆的质量的情况下，我们通常将杆简化为：没有质量，不考虑粗细及形变的轻质细杆，即轻质细杆模
型。但实际问题是复杂的，在有些情况下只能将杆简化为：没有质量、没有形变，但必须考虑粗细的轻质
粗杆，即轻质粗杆模型。
对杆的这两种模型来说，无论杆受力怎样，运动状态如何，总有：其合力为零；力矩的代数和为零，
这是分析轻质杆受力问题的依据。现举例分析两种模型的应用。
例1．小车上有轻质杆支架，B端固定一质量为m的小球，ADC端为铰链，D为AB的中点，CB
两点在同一水平线上，如图1所示，则1）当小车静止时，球和CD杆对AB杆的作用力各多大？2）当小
车以加速度a向左运动时，球和CD杆对AB杆的作用力又怎样？
分析：1）当小车
静止时，系统平衡，要
分析小球和CD杆对AB
杆的作用力，必须先分析
小球和CD杆的受力情况。
以小球为研究对象：受力
如图1a，这时有F
1
＝mg,
即小球给AB杆的作用力
大小为mg,方向竖直向下。
以CD杆为研究对象：C端
和D端各受一个力作用
（CD为轻质细杆，不计杆
的重力）而平衡，这两个力
一定合力为零，合力矩为零。
受力如图1b，其方向一定沿
CD连线，大小相等，方向
相反，与CD的形状无关。
因此AB杆受力如图1c，
以A为轴，由ΣM＝0得：
F
1
‘ABsinα－N
1
’ADsin(180º－2α)=0
所以N
1
‘＝mg/cosα
2）当小车以加速度a
向左运动时，以小球为
研究对象，这时杆给小
球的作用力既有竖直分
量和mg平衡；又有水
F
1
mg
图1a
D
C
图1b
AN
1
‘
αD
CB
F
1
‘
图1c
AN
2
‘
αD
CB
F
2
‘
图1eF
2
Θ
mg
平分量产生加速度a,
如图1d，有F2＝m22ag，
tgθ＝a/gCD杆的受力如前。
故对AB杆，受力如图1e以A
为轴，由ΣM＝0得：
F
2
‘ABsin(α－θ)－N
2
‘ADsin（180º－2α）＝0所以N
2
’＝m(gtgα-a)/sinα
可见，当a ‘不沿杆。 当a＝gtgα时，θ＝α，CD杆中无力，AB杆B端F2 ‘沿AB杆。 当a>gtgα时，θ>α,CD杆中有拉力，沿CD方向，AB杆B端F2 ‘的反向延长线在∠ABC内。 例2．如图2所示，质量均为m的小球ABCD分别用轻质杆相连，AB＝CD＝2L，AC、BD、OE为细绳， 且AC＝BD＝L，E为AB的中点，试求：BD剪断瞬时，OE绳内的张力？ 分析：因为杆为轻质杆， 每个小球及杆的受力如图 2a,下杆不受力（否则不能 满足合力为零， 合力矩为零）， 而a 1 a 2 a 3 一定 相等（因为AC 间绳不可伸长 AE＝BE） 由此可得方程： mg＋T 1 —N 1 ＝ma① N 2 －mg＝ma② Mg－T 1 ＝ma③ N 1 L＝N 2 L④ 解得：N 1 ＝N 2 ＝4mg/3 所以T＝N 1 ＋N 2 ＝8mg/3 例3、质量为m＝6kg半径为R的球B，固定在与半径等长的轻杆AD的一端，另一端可绕A转动，球 搁在放置于水平地面的物体C上，此杆水平，如图3，球与物体间的动摩擦因数μ＝0.4，将物体从球下匀 速向右抽出，则杆的两端受到的力如何？ (g＝10m/s2) 分析：杆球受 力情况如图3a,杆 球受力可转化为 三个共点力,F A 必 过A、E两点，杆球受 力情况如图3a， 以为A转动轴 ΣM＝0得方程： mg2R＝N2R＋fR f＝μN 解得：N＝50N 所以，f＝20N 故将F A 分解为竖直分量F Ay ＝mg－N，水平分量F Ax ＝f,则： F A ＝22)(Nmgf ＝105N O AEB CD 图2 N 1 TN 2 a 1 T 1 a 2 T 1 mgN 1 N 2 mg a 3 mgmgg 图2a AD B C 图3 N F A F D1 ， F D2 ， F D1 F D2 f mg 图3c N F A Ef mg 图3a 方向与水平成tgα＝1/2 同理，球受到AD杆D端的力过D、E两点，受力如图3b。 F D 方向与水平成45°角。 仔细分析球的受力情 况就会发现存在严重的 问体，球受力不满足平 衡条件。对球无论F D 的 大小怎样，要竖直方向 平衡，则水平方向不平 衡；要水平方向平衡，则竖直方向不平衡。为什么会出现这样的结果呢？原因是这种情况下把杆看成理想 的细杆，与球接触处为一个点，即把杆看成轻质细杆模型是错误的。假如杆与球接触处真为一个点，拉动 C物体时杆受合力矩不为零，必然转动，D处必被折断。所以这种情况杆与球接触处应为一个面，当拉动 C时，杆与球之间有两个力F D1 、F D2 ，且这两个力要产生一个扭转力矩，即这种情况下杆的粗细不能忽略。 杆球受力如图3c，建立正确的杆的模型以后，所存在的问体都迎刃而解了。 例4、一根长为2L，质量不计的硬杆，杆的中点和右端各固定一个质量为m的小球a、b，杆可带着 两小球在竖直面内绕O点转动，若杆从水平位置静止释放，当杆下落到竖直位置时， 如图4所示，求 两小球之间的杆 AB对a、b小球 做的功？并分析 AB杆的受力情况？ 分析：a、b两球在下摆的过程中系统机械能守恒。因为是轻质硬杆连接，所以任意时刻两球绕O转 动的角速度相等，故a、b两球在竖直位置时速度关系为： V b ＝ω2L＝2ωL＝2V a ① 以过O点的水平面为零势面，由系统机械能守恒得： 2 1 m2 a V＋ 2 1 m2 b V－mgL－mg2L＝0 ② 解①②得：V a ＝ 5 6gL V b ＝ 5 24gL 杆对a球做的功等于a球的机械能增量，即W a ＝ 2 1 m2 a V－mgL＝－ 5 2 mgL 即杆对a球做负功 5 2 mgL。 杆对b球做的功等于b球的机械能增量，即W b ＝ 2 1 m2 b V－mg2L＝ 5 2 mgL 即杆对b球做正功 5 2 mgL。可见杆对a、b两球做功的代数和为零。 N F D D Ef mg 图3b OaABb 图4 F a1 F a2 ’F b1 ’ F a2 F b2 F b2 ’ F a1 ’ 图4bF b1 既然杆AB对a、b球都做功，那么杆的受力情况怎样呢？这又牵涉到杆的模型问题，若取轻质细杆 模型，则受力如图4a 这种情况对a、b 两球受力看不出 问题，但对AB 杆受力则很容易 看出F\' a 和F\' b 的 合力矩不为零， 不满足力矩平衡条件。果真这样的话，OAB将被折弯，不在一直线上，这与题设硬杆不符。 问题出在哪里呢？问题还出在对AB杆的模型应用上。在这种情况下，杆的粗细不能被忽略，接触处 不再是一个点，而是一个面。杆受力情况应为图4b所示。图中a球受到杆给的F a1 、F a2 的作用，其切向分 量对a球来说与运动方向相反，故做负功；F a1 、F a2 径向分量和重力的径向分量、轴对杆拉力共同提供a 球做圆周运动的向心力。对b球来说，杆给它的力F b1 、F b2 的切向分量与速度方向相同，故做正功；其径 向分量和重力的径向分量共同提供b球做圆周运动的向心力。对杆AB来说，A端受到F a1 ’、F a2 ’作用，B 端受到F b1 ’、F b2 ’作用，其中F a1 ’＝F b1 ’、F a2 ’＝F b2 ’，而力偶F a1 ’、F b1 ’，F a2 ’、F b2 ’的力 矩大小相等，转动方向相反，这样对杆合力为零，合力矩也为零，满足平衡条件。 综上所述，在分析轻杆的受力时，要根据实际情况，正确应用杆的模型，才能得出正确的结论,才能解 开有些问题的症结。 O F a F\' a F\' b F b 图4a