泰州中考成绩
-
2023年2月13日发(作者：)江苏省泰州中学2022年中考一模数学试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答
案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．我国古代数学著作《九章算术》卷七
“
盈不足
”
中有这样一个问题：
“
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，
问人数、物价各几何？
”
意思是：几个人合伙买一件物品，每人出
8
元，则余
3
元；若每人出
7
元，则少
4
元，问几人
合买？这件物品多少钱？若设有
x
人合买，这件物品
y
元，则根据题意列出的二元一次方程组为（）
A
．
83
74
xy
xy
B
．
8+4
73
xy
xy
C
．
3+8
47
xy
xy
D
．
8+3
74
xy
xy
2．下列图形中，是正方体表面展开图的是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
3．如图，将函数
y
＝
1
2
（
x
﹣
2
）2+1
的图象沿
y
轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点
A
（
1
，
m
），
B
（
4
，
n
）平
移后的对应点分别为点
A
\'
、
B
\'
．若曲线段
AB
扫过的面积为
9
（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）
A
．
y
＝
1
2
（
x
﹣
2
）2-2B
．
y
＝
1
2
（
x
﹣
2
）2+7
C
．
y
＝
1
2
（
x
﹣
2
）2-5D
．
y
＝
1
2
（
x
﹣
2
）2+4
4．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，
则线段的长为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
5．反比例函数是
y=
2
x
的图象在（）
A
．第一、二象限
B
．第一、三象限
C
．第二、三象限
D
．第二、四象限
6．点
P
（
4
，﹣
3
）关于原点对称的点所在的象限是（）
A
．第四象限
B
．第三象限
C
．第二象限
D
．第一象限
7．一元二次方程
x2﹣
3x+1=0
的根的情况（）
A
．有两个相等的实数根
B
．有两个不相等的实数根
C
．没有实数根
D
．以上答案都不对
8．某射击运动员练习射击，
5
次成绩分别是：
8
、
9
、
7
、
8
、
x
（单位：环）．下列说法中正确的是（）
A
．若这
5
次成绩的中位数为
8
，则
x
＝
8
B
．若这
5
次成绩的众数是
8
，则
x
＝
8
C
．若这
5
次成绩的方差为
8
，则
x
＝
8
D
．若这
5
次成绩的平均成绩是
8
，则
x
＝
8
9．如图，等腰三角形
ABC
的底边
BC
长为
4
，面积是
16
，腰
AC
的垂直平分线
EF
分别交
AC
，
AB
边于
E
，
F
点
.
若
点
D
为
BC
边的中点，点
M
为线段
EF
上一动点，则CDM周长的最小值为
()
A
．
6B
．
8C
．
10D
．
12
10．一只不透明的袋子中装有
2
个白球和
1
个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出
1
个球（不放回），
再从余下的
2
个球中任意摸出
1
个球则两次摸到的球的颜色不同的概率为（）
A
．
1
3
B
．
2
3
C
．
1
2
D
．
2
5
11．下列计算正确的是（）
A
．﹣
5x
﹣
2x=
﹣
3xB
．（
a+3
）2=a2+9C
．（﹣
a3）2=a5D
．
a2p÷a﹣p=a3p
12．如图，在平面直角坐标系中，以
A
（
-1
，
0
），
B
（
2
，
0
），
C
（
0
，
1
）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作
为平行四边形顶点坐标的是（）
A
．（
3
，
1
）
B
．（
-4
，
1
）
C
．（
1
，
-1
）
D
．（
-3
，
1
）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．以下两题任选一题作答：
(1).
下图是某商场一楼二楼之间的手扶电梯示意图，其中
AB
、
CD
分别表示一楼、二楼地面的水平，∠
ABC=150°
，
BC
的长是
8m
，则乘电梯次点
B
到点
C
上升的高度
h
是
_____m
．
（
2
）
.
一个多边形的每一个内角都是与它相邻外角的
3
倍，则多边形是
_____
边形．
14．已知点
1
3,y
、
2
15,y
都在反比例函数
k
yk0
x
的图象上，若
12
yy
，则
k
的值可以取
______
(
写出
一个符合条件的
k
值即可
)
．
15．如图甲，对于平面上不大于
90°
的∠
MON
，我们给出如下定义：如果点
P
在∠
MON
的内部，作
PE⊥OM
，
PF⊥ON
，
垂足分别为点
E
、
F
，那么称
PE+PF
的值为点
P
相对于∠
MON
的
“
点角距离
”
，记为
d
（
P
，∠
MON
）．如图乙，在平
面直角坐标系
xOy
中，点
P
在坐标平面内，且点
P
的横坐标比纵坐标大
2
，对于∠
xOy
，满足
d
（
P
，∠
xOy
）
=10
，
点
P
的坐标是
_____
．
16．若反比例函数
k
y
x
的图象与一次函数
y=ax+b
的图象交于点
A
（﹣
2
，
m
）、
B
（
5
，
n
），则
3a+b
的值等于
_____
．
17．分解因式：244mm＝
___________
．
18．用一个半径为
10cm
半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为
A
）、白鹿原（记为
B
）、兴庆公园（记为
C
）、秦岭
国家植物园（记为
D
）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
（
1
）求小明选择去白鹿原游玩的概率；
（
2
）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．
20．（6分）在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测
量方法是：拿一根高
3.5
米的竹竿直立在离旗杆
27
米的
C
处（如图），然后沿
BC
方向走到
D
处，这时目测旗杆顶部
A
与竹竿顶部
E
恰好在同一直线上，又测得
C
、
D
两点的距离为
3
米，小芳的目高为
1.5
米，这样便可知道旗杆的高．你
认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
21．（6分）如图，
AB∥CD
，
△EFG
的顶点
F
，
G
分别落在直线
AB
，
CD
上，
GE
交
AB
于点
H
，
GE
平分∠
FGD
．若
∠EFG=90°
，∠
E=35°
，求∠
EFB
的度数．
22．（8分）如图，在
Rt△ABC
中，∠
B=90°
，点
O
在边
AB
上，以点
O
为圆心，
OA
为半径的圆经过点
C
，过点
C
作直线
MN
，使∠
BCM=2∠A
．判断直线
MN
与⊙
O
的位置关系，并说明理由；若
OA=4
，∠
BCM=60°
，求图中阴影
部分的面积．
23．（8分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平
面图．光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的
A
处测得塔杆顶端
C
的仰角是
55°
，
乙同学站在岩石
B
处测得叶片的最高位置
D
的仰角是
45°
（
D
，
C
，
H
在同一直线上，
G
，
A
，
H
在同一条直线上），他
们事先从相关部门了解到叶片的长度为
15
米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高
BG
为
4
米，两处的水平
距离
AG
为
23
米，
BG⊥GH
，
CH⊥AH
，求塔杆
CH
的高．（参考数据：
tan55°≈1.4
，
tan35°≈0.7
，
sin55°≈0.8
，
sin35°≈0.6
）
24．（10分）已知抛物线
y
＝
ax2+
（
3
b
+1
）
x
+
b
﹣
3
（
a
＞
0
），若存在实数
m
，使得点
P
（
m
，
m
）在该抛物线上，我们称
点
P
（
m
，
m
）是这个抛物线上的一个
“
和谐点
”
．
（
1
）当
a
＝
2
，
b
＝
1
时，求该抛物线的
“
和谐点
”
；
（
2
）若对于任意实数
b
，抛物线上恒有两个不同的
“
和谐点
”
A
、
B
．
①求实数
a
的取值范围；
②若点
A
，
B
关于直线
y
＝﹣
x
﹣（
2
1
a
+1
）对称，求实数
b
的最小值．
25．（10分）
(1)
计算：1
0
2016
3
1
(1)238
4
(2)
先化简，再求值：
2
214
()
244
xxx
xxxx
，其中
x
是不等式371x的负整数解
.
26．（12分）下表中给出了变量
x
，与
y=ax2，
y=ax2+bx+c
之间的部分对应值，（表格中的符号
“…”
表示该项数据已丢
失）
x
﹣
1
01
ax2……1
ax2+bx+c72…
（
1
）求抛物线
y=ax2+bx+c
的表达式
（
2
）抛物线
y=ax2+bx+c
的顶点为
D
，与
y
轴的交点为
A
，点
M
是抛物线对称轴上一点，直线
AM
交对称轴右侧的抛
物线于点
B
，当
△ADM
与
△BDM
的面积比为
2
：
3
时，求
B
点坐标；
（
3
）在（
2
）的条件下，设线段
BD
与
x
轴交于点
C
，试写出∠
BAD
和∠
DCO
的数量关系，并说明理由．
27．（12分）如图，有
6
个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有
3,4,5
的三个球放入甲箱中，标有
4,5,6
的三个球放入乙箱中．
(1)
小宇从甲箱中随机模出一个球，求
“
摸出标有数字是
3
的球
”
的概率；
(2)
小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大
1
，则称小宇
“
略
胜一筹
”
．请你用列表法
(
或画树状图
)
求小宇
“
略胜一筹
”
的概率．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、
D
【解析】
根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】
由题意可得：
8+3
74
xy
xy
，
故选
D
．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
2、
C
【解析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：
A
、
B
、
D
经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，
C
能折成正方体．
故选
C
．
【点睛】
本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形．
3、
D
【解析】
∵函数21
21
2
yx
的图象过点
A
（
1
，
m
），
B
（
4
，
n
），
∴
m
=21
121
2
=
3
2
，
n
=21
421
2
=3
，
∴
A
（
1
，
3
2
），
B
（
4
，
3
），
过
A
作
AC
∥
x
轴，交
B
′
B
的延长线于点
C
，则
C
（
4
，
3
2
），
∴
AC
=4
﹣
1=3
，
∵曲线段
AB
扫过的面积为
9
（图中的阴影部分），
∴
AC
•
AA
′=3
AA
′=9
，
∴
AA
′=3
，即将函数21
21
2
yx
的图象沿
y
轴向上平移
3
个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是21
24
2
yx
．
故选
D
．
4、
C
【解析】
设
BN=x
，则由折叠的性质可得
DN=AN=9-x
，根据中点的定义可得
BD=3
，在
Rt△BND
中，根据勾股定理可得关于
x
的方程，解方程即可求解．
【详解】
设，则
.
由折叠的性质，得
.
因为点是的中点，
所以
.
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
故线段的长为
4.
故选
C.
【点睛】
此题考查了折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键．
5、
B
【解析】
解：∵反比例函数是
y=
2
x
中，
k=2
＞
0
，
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
故选
B
．
6、
C
【解析】
由题意得点
P
的坐标为（﹣
4
，
3
），根据象限内点的符号特点可得点
P
1的所在象限．
【详解】
∵设P
（
4
，﹣
3
）关于原点的对称点是点
P
1，
∴点P
1的坐标为（﹣
4
，
3
），
∴点P
1在第二象限．
故选
C
【点睛】
本题主要考查了两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；符号为（﹣，
+
）的点在第二象限．
7、
B
【解析】
首先确定
a=1
，
b=-3
，
c=1
，然后求出
△=b2-4ac
的值，进而作出判断．
【详解】
∵a=1
，
b=-3
，
c=1
，
∴△=
（
-3
）2-4×1×1=5
＞
0
，
∴一元二次方程x2-3x+1=0
两个不相等的实数根；
故选
B
．
【点睛】
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式
△
的关系：（
1
）
△
＞
0⇔
方程有两个不相等的实数根；（
2
）
△=0⇔
方程有两个相等的实数；（
3
）
△
＜
0⇔
方程没有实数根．
8、
D
【解析】
根据中位数的定义判断
A
；根据众数的定义判断
B
；根据方差的定义判断
C
；根据平均数的定义判断
D
．
【详解】
A
、若这
5
次成绩的中位数为
8
，则
x
为任意实数，故本选项错误；
B
、若这
5
次成绩的众数是
8
，则
x
为不是
7
与
9
的任意实数，故本选项错误；
C
、如果
x=8
，则平均数为
1
5
（
8+9+7+8+8
）
=8
，方差为
1
5
[3×
（
8-8
）2+
（
9-8
）2+
（
7-8
）2]=0.4
，故本选项错误；
D
、若这
5
次成绩的平均成绩是
8
，则
1
5
（
8+9+7+8+x
）
=8
，解得
x=8
，故本选项正确；
故选
D
．
【点睛】
本题考查中位数、众数、平均数和方差：一般地设
n
个数据，
x
1，
x
2，
…x
n的平均数为x，则方差
2222
123
2
...
n
xxxxxxxx
S
n
，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之
也成立．
9、
C
【解析】
连接
AD
，由于
△ABC
是等腰三角形，点
D
是
BC
边的中点，故
AD⊥BC
，再根据三角形的面积公式求出
AD
的长，
再再根据
EF
是线段
AC
的垂直平分线可知，点
C
关于直线
EF
的对称点为点
A
，故
AD
的长为
CM+MD
的最小值，
由此即可得出结论．
【详解】
连接
AD
，
∵△ABC
是等腰三角形，点
D
是
BC
边的中点，
∴AD⊥BC
，
∴S
△ABC
=
1
2
BC•AD=
1
2
×4×AD=16
，解得
AD=8
，
∵EF
是线段
AC
的垂直平分线，
∴点C
关于直线
EF
的对称点为点
A
，
∴AD
的长为
CM+MD
的最小值，
∴△CDM
的周长最短
=
（
CM+MD
）
+CD=AD+
1
2
BC=8+
1
2
×4=8+2=1
．
故选
C
．
【点睛】
本题考查的是轴对称
-
最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
10、
B
【解析】
本题主要需要分类讨论第一次摸到的球是白球还是红球，然后再进行计算
.
【详解】
①若第一次摸到的是白球，则有第一次摸到白球的概率为
2
3
，第二次，摸到白球的概率为
1
2
，则有
211
323
＝
；②若
第一次摸到的球是红色的，则有第一次摸到红球的概率为
1
3
，第二次摸到白球的概率为
1
，则有
11
1
33
＝
，则两次摸
到的球的颜色不同的概率为
112
333
＝.
【点睛】
掌握分类讨论的方法是本题解题的关键
.
11、
D
【解析】
直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】
解：
A
．﹣
5
x
﹣
2
x
=
﹣
7
x
，故此选项错误；
B
．（
a
+3
）2=
a2+6
a
+9
，故此选项错误；
C
．（﹣
a3）2=
a6，故此选项错误；
D
．
a2
p÷
a﹣p=
a3
p，正确．
故选
D
．
【点睛】
本题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．
12、
B
【解析】
作出图形，结合图形进行分析可得
.
【详解】
如图所示：
①以AC
为对角线，可以画出
▱AFCB
，
F
（
-3
，
1
）；
②以AB
为对角线，可以画出
▱ACBE
，
E
（
1
，
-1
）；
③以BC
为对角线，可以画出
▱ACDB
，
D
（
3
，
1
），
故选
B.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、
48
【解析】
（
1
）先求出斜边的坡角为
30°
，再利用含
30°
的直角三角形即可求解；
（
2
）设这个多边形边上为
n
，则内角和为（
n-2
）
×180°
，外角度数为
360?
n
故可列出方程求解
.
【详解】
（
1
）∵∠
ABC=150°
，∴斜面
BC
的坡角为
30°
，
∴h=
1
2
BC=4m
（
2
）设这个多边形边上为
n
，则内角和为（
n-2
）
×180°
，外角度数为
360?
n
依题意得
2180360?
3
n
nn
（）
解得
n=8
故为八边形
.
【点睛】
此题主要考查含
30°
的直角三角形与多边形的内角和计算，解题的关键是熟知含
30°
的直角三角形的性质与多边形的内
角和公式
.
14、
-1
【解析】
利用反比例函数的性质，即可得到反比例函数图象在第一、三象限，进而得出k0，据此可得
k
的取值．
【详解】
解：点
1
3,y
、
2
15,y
都在反比例函数
k
yk0
x
的图象上，
12
yy
，
在每个象限内，
y
随着
x
的增大而增大，
反比例函数图象在第一、三象限，
k0，
k的值可以取1等，
(
答案不唯一
)
故答案为：1．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
15、（
6
，
4
）或（﹣
4
，﹣
6
）
【解析】
设点
P
的横坐标为
x
，表示出纵坐标，然后列方程求出
x
，再求解即可．
【详解】
解：设点
P
的横坐标为
x
，则点
P
的纵坐标为
x-2
，由题意得，
当点
P
在第一象限时，
x+x-2=10
，
解得
x=6
，
∴x-2=4
，
∴P
（
6
，
4
）；
当点
P
在第三象限时，
-x-x+2=10
，
解得
x=-4
，
∴x-2=-6
，
∴P
（
-4
，
-6
）．
故答案为：（
6
，
4
）或（
-4
，
-6
）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标，读懂题目信息，理解
“
点角距离
”
的定义并列出方程是解题的关键．
16、
0
【解析】
分析：本题直接把点的坐标代入解析式求得mnab，，，之间的关系式，通过等量代换可得到3ab的值．
详解：分别把
A
(−2,
m
)
、
B
(5,
n
)
，
代入反比例函数
k
y
x
的图象与一次函数
y
=
ax
+
b
得
−2
m
=5
n
，
−2
a
+
b
=
m
，
5
a
+
b
=
n
，
综合可知
5(5
a
+
b
)=−2(−2
a
+
b
)
，
25
a
+5
b
=4
a
−2
b
，
21
a
+7
b
=0
，
即
3
a
+
b
=0.
故答案为：
0.
点睛：属于一次函数和反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题，比较基础
.
17、22m
【解析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】
解：244mm=22m，
故答案为22m.
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
18、5
【解析】
试题分析：根据图形可知圆锥的侧面展开图的弧长为2π×10÷2=10π（cm），因此圆锥的底面半径为10π÷2π=5（cm），
因此圆锥的高为：=5（cm）．
考点：圆锥的计算
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（
1
）
1
4
；（
2
）
1
16
【解析】
（
1
）利用概率公式直接计算即可；
（
2
）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
（
1
）∵小明准备到西安的大雁塔（记为
A
）、白鹿原（记为
B
）、兴庆公园（记为
C
）、秦岭国家植物园（记为
D
）中
的一个景点去游玩，
∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝
1
4
；
（
2
）画树状图分析如下：
两人选择的方案共有
16
种等可能的结果，其中选择同种方案有
1
种，
所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝
1
16
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
n
，再从中选出符合事件
A
或
B
的结
果数目
m
，求出概率．
20、这种测量方法可行，旗杆的高为
21.1
米．
【解析】
分析：根据已知得出过
F
作
FG⊥AB
于
G
，交
CE
于
H
，利用相似三角形的判定得出
△AGF∽△EHF
，再利用相似三
角形的性质得出即可．
详解：这种测量方法可行．
理由如下：
设旗杆高
AB=x
．过
F
作
FG⊥AB
于
G
，交
CE
于
H
（如图）．
所以
△AGF∽△EHF
．
因为
FD=1.1
，
GF=27+3=30
，
HF=3
，
所以
EH=3.1
﹣
1.1=2
，
AG=x
﹣
1.1
．
由
△AGF∽△EHF
，
得
AGGF
EHHF
，
即
1.530
23
x
，
所以
x
﹣
1.1=20
，
解得
x=21.1
（米）
答：旗杆的高为
21.1
米．
点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出
△AGF∽△EHF
是解题关键．
21、
20°
【解析】
依据三角形内角和定理可得∠
FGH=55°
，再根据
GE
平分∠
FGD
，
AB∥CD
，即可得到∠
FHG=∠HGD=∠FGH=55°
，
再根据∠
FHG
是
△EFH
的外角，即可得出∠
EFB=55°-35°=20°
．
【详解】
∵∠EFG=90°
，∠
E=35°
，
∴∠FGH=55°
，
∵GE
平分∠
FGD
，
AB∥CD
，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°
，
∵∠FHG
是
△EFH
的外角，
∴∠EFB=55°
﹣
35°=20°
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而
达到解决问题的目的．
22、（
1
）相切；（
2
）
16
43
3
．
【解析】
试题分析：（
1
）
MN
是⊙
O
切线，只要证明∠
OCM=90°
即可．（
2
）求出∠
AOC
以及
BC
，根据
S
阴
=S
扇形OAC
﹣
S
△OAC
计算即可．
试题解析：（
1
）
MN
是⊙
O
切线．
理由：连接
OC
．
∵OA=OC
，
∴∠OAC=∠OCA
，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A
，∠
BCM=2∠A
，
∴∠BCM=∠BOC
，
∵∠B=90°
，
∴∠BOC+∠BCO=90°
，
∴∠BCM+∠BCO=90°
，
∴OC⊥MN
，
∴MN
是⊙
O
切线．
（
2
）由（
1
）可知∠
BOC=∠BCM=60°
，
∴∠AOC=120°
，
在
RT△BCO
中，
OC=OA=4
，∠
BCO=30°
，
∴BO=
1
2
OC=2
，
BC=23
∴S
阴
=S
扇形OAC
﹣
S
△OAC
=
21204116
42343
36023
．
考点：直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
23、塔杆
CH
的高为
42
米
【解析】
作
BE⊥DH
，知
GH=BE
、
BG=EH=4
，设
AH=x
，则
BE=GH=23+x
，由
CH=AHtan∠CAH=tan55°•x
知
CE=CH-EH=tan55°•x-4
，根据
BE=DE
可得关于
x
的方程，解之可得．
【详解】
解：如图，作
BE⊥DH
于点
E
，
则
GH=BE
、
BG=EH=4
，
设
AH=x
，则
BE=GH=GA+AH=23+x
，
在
Rt△ACH
中，
CH=AHtan∠CAH=tan55°•x
，
∴CE=CH
﹣
EH=tan55°•x
﹣
4
，
∵∠DBE=45°
，
∴BE=DE=CE+DC
，即
23+x=tan55°•x
﹣
4+15
，
解得：
x≈30
，
∴CH=tan55°•x=1.4×30=42
，
答：塔杆
CH
的高为
42
米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
24、（
1
）（
11
,
22
）或（﹣
1
，﹣
1
）；（
1
）①
2
＜
a
＜
17②
b
的最小值是
1
3
【解析】
（
1
）把
x=y=m
，
a=1
，
b=1
代入函数解析式，列出方程，通过解方程求得
m
的值即可；
（
1
）抛物线上恒有两个不同的
“
和谐点
”A
、
B
．则关于
m
的方程
m=am1+
（
3b+1
）
m+b-3
的根的判别式
△=9b1-4ab+11a
．
①令y=9b1-4ab+11a
，对于任意实数
b
，均有
y
＞
2
，所以根据二次函数
y=9b1-4ab+11
的图象性质解答；
②利用二次函数图象的对称性质解答即可．
【详解】
（
1
）当
a
＝
1
，
b
＝
1
时，
m
＝
1
m1+4
m
+1
﹣
4
，
解得
m
＝
1
2
或
m
＝﹣
1
．
所以点
P
的坐标是（
1
2
，
1
2
）或（﹣
1
，﹣
1
）；
（
1
）
m
＝
am1+
（
3
b
+1
）
m
+
b
﹣
3
，
△
＝
9
b1﹣
4
ab
+11
a
．
①令
y
＝
9
b1﹣
4
ab
+11
a
，对于任意实数
b
，均有
y
＞
2
，也就是说抛物线
y
＝
9
b1﹣
4
ab
+11
的图象都在
b
轴（横轴）上方．
∴△＝（﹣4
a
）1﹣
4×9×11
a
＜
2
．
∴2
＜
a
＜
17
．
②由“
和谐点
”
定义可设
A
（
x
1，
y
1），
B
（
x
1，
y
1），
则
x
1，
x
1是
ax1+
（
3
b
+1
）
x
+
b
﹣
3
＝
2
的两不等实根，12
31
22
xx
b
a
．
∴线段
AB
的中点坐标是：（﹣
31
2
b
a
，﹣
31
2
b
a
）．代入对称轴
y
＝
x
﹣（
2
1
a
+1
），得
﹣
31
2
b
a
＝
31
2
b
a
﹣（
2
1
a
+1
），
∴3
b
+1
＝
1
a
+
a
．
∵
a
＞
2
，
1
a
＞
2
，
a
•
1
a
＝
1
为定值，
∴3
b
+1
＝
1
a
+
a
≥1
1
a
a
＝
1
，
∴
b
≥
1
3
．
∴
b
的最小值是
1
3
．
【点睛】
此题考查了二次函数综合题，其中涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与
x
轴的交点，一元二次方程与二
次函数解析式间的关系，二次函数图象的性质等知识点，难度较大，解题时，掌握
“
和谐点
”
的定义是解题的难点．
25、（
1
）
5
；（
2
）
2x
x
，
3.
【解析】
试题分析
:(1)
原式先计算乘方运算，再计算乘运算，最后算加减运算即可得到结果；
（
2
）先化简
,
再求得
x
的值
,
代入计算即可．
试题解析
:
（
1
）原式＝
1
－
2
＋
1×2
＋
4
＝
5
；
（
2
）原式＝
221
2
xxxx
xx
×
22
4
x
x
＝
2x
x
，
当
3x
＋
7
＞
1,
即
x
＞－
2
时的负整数时，（
x
＝－
1
）时，原式＝
12
1
＝
3..
26、
(1)y=x2﹣
4x+2
；
(2)
点
B
的坐标为（
5
，
7
）；（
1
）∠
BAD
和∠
DCO
互补，理由详见解析
.
【解析】
（
1
）由（
1
，
1
）在抛物线
y
=
ax2上可求出
a
值，再由（﹣
1
，
7
）、（
0
，
2
）在抛物线
y
=
x2+
bx
+
c
上可求出
b
、
c
的值，此
题得解；
（
2
）由
△
ADM
和
△
BDM
同底可得出两三角形的面积比等于高的比，结合点
A
的坐标即可求出点
B
的横坐标，再利
用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点
B
的坐标；
（
1
）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出
A
、
D
的坐标，过点
A
作
AN
∥
x
轴，交
BD
于点
N
，则∠
AND
=∠
DCO
，
根据点
B
、
D
的坐标利用待定系数法可求出直线
BD
的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点
N
的坐标，
利用两点间的距离公式可求出
BA
、
BD
、
BN
的长度，由三者间的关系结合∠
ABD
=∠
NBA
，可证出
△
ABD
∽△
NBA
，
根据相似三角形的性质可得出∠
ANB
=∠
DAB
，再由∠
ANB
+∠
AND
=120°
可得出∠
DAB
+∠
DCO
=120°
，即∠
BAD
和
∠
DCO
互补．
【详解】
（
1
）当
x=1
时，
y=ax2=1
，
解得：
a=1
；
将（﹣
1
，
7
）、（
0
，
2
）代入
y=x2+bx+c
，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣
4x+2
；
（
2
）∵△
ADM
和
△BDM
同底，且
△ADM
与
△BDM
的面积比为
2
：
1
，
∴点A
到抛物线的距离与点
B
到抛物线的距离比为
2
：
1
．
∵抛物线y=x2﹣
4x+2
的对称轴为直线
x=
﹣
=2
，点
A
的横坐标为
0
，
∴点B
到抛物线的距离为
1
，
∴点B
的横坐标为
1+2=5
，
∴点B
的坐标为（
5
，
7
）．
（
1
）∠
BAD
和∠
DCO
互补，理由如下：
当
x=0
时，
y=x2﹣
4x+2=2
，
∴点A
的坐标为（
0
，
2
），
∵y=x2﹣
4x+2=
（
x
﹣
2
）2﹣
2
，
∴点D
的坐标为（
2
，﹣
2
）．
过点
A
作
AN∥x
轴，交
BD
于点
N
，则∠
AND=∠DCO
，如图所示．
设直线
BD
的表达式为
y=mx+n
（
m≠0
），
将
B
（
5
，
7
）、
D
（
2
，﹣
2
）代入
y=mx+n
，
，解得：，
∴直线BD
的表达式为
y=1x
﹣
2
．
当
y=2
时，有
1x
﹣
2=2
，
解得：
x=
，
∴点N
的坐标为（，
2
）．
∵A
（
0
，
2
），
B
（
5
，
7
），
D
（
2
，﹣
2
），
∴AB=5
，
BD=1
，
BN=
，
∴==
．
又∵∠
ABD=∠NBA
，
∴△ABD∽△NBA
，
∴∠ANB=∠DAB
．
∵∠ANB+∠AND=120°
，
∴∠DAB+∠DCO=120°
，
∴∠BAD
和∠
DCO
互补．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式、等底三角形面积的关系、二次函数的图像
与性质、相似三角形的判定与性质
.
熟练掌握待定系数法是解（
1
）的关键；熟练掌握等底三角形面积的关系式解（
2
）
的关键；证明
△
ABD
∽△
NBA
是解（
1
）的关键
.
27、（
1
）
1
3
；（
2
）
P(
小宇
“
略胜一筹
”)
＝
1
9
.
【解析】
分析：
（
1
）由题意可知，小宇从甲箱中任意摸出一个球，共有
3
种等可能结果出现，其中结果为
3
的只有
1
种，由此可得小
宇从甲箱中任取一个球，刚好摸到
“
标有数字
3”
的概率为
1
3
；
（
2
）根据题意通过列表的方式列举出小宇和小静摸球的所有等可能结果，然后根据表中结果进行解答即可
.
详解：
(1)P
(摸出标有数字是3的球)＝
1
3
.
(2)
小宇和小静摸球的所有结果如下表所示：
小静
小宇
456
3(3,4)(3,5)(3,6)
4(4,4)(4,5)(4,6)
5(5,4)(5,5)(5,6)
从上表可知，一共有九种可能，其中小宇所摸球的数字比小静的大
1
的有一种，因此
P
(小宇“略胜一筹”)＝
1
9
.
点睛：能正确通过列表的方式列举出小宇在甲箱中任摸一个球和小静在乙箱中任摸一个球的所有等可能结果，是正确
解答本题第
2
小题的关键
.