幂函数和指数函数区别

幂函数和指数函数区别

-繁华嫩叶

.

.

幂函数与指数函数的区别

1.指数函数：自变量x在指数的位置上，y=a^x（a>0，a不等于1）

性质比较单一，当a>1时，函数是递增函数，且y>0;

当00.

2.幂函数：自变量x在底数的位置上，y=x^a（a不等于1）.

a不等于1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。

.

.

高中数学里面，主要要掌握a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函

数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图

像的走向即可。

3.y=8^(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系

起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8^x（a=8），当x=-0.7时，

y的值；或者将其看成：幂函数y=x^(-0.7)（a=-0.7），当x=8时，y的值。

幂函数的性质：

根据图象,幂函数性质归纳如下：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1,1）；

（2）当a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数．

.

.

特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0

（3）当a<0时，幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数．在第一象限内，

当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋

于+∞时，图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。

指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，

当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x

轴的两条射线，但点（0，1）要除外。

思考讨论：

（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？

（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？

讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象

限内是增函数。

对数函数的性质

(1)当a＞1时，

①x＞0，即0和负数无对数；

②当x=1时，y=0；

③当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0；

④在（0，+∞）上是增函数．

(2)当0＜a＜1时，

.

.

①x＞0，即0和负数没有对数；

②当x=1时，y=0；

③当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；

④在（0，+∞）上是减函数．

函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理

数n的情况）．

对数与对数函数

学习目标

1、理解对数概念；

2、能进行对数式与指数式的互化；

3、掌握对数的运算性质；

4、培养应用意识、化归意识。

5、掌握对数函数的概念；

6、掌握对数函数的图像的性质；

7、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；

8、培养图形结合、化归等思想。

知识要点:

我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现

2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对

数运算。

.

.

1．对数的定义:

如果ab=N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b。

其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

注意:由于a>0，故N>0，即N为正数，可见零和负数没有对数。

上面的问题:

通常将以10为底的对数叫做常用对数，。以e为底的对

数叫做自然对数，。

2．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且

可以互相转化。它们的关系可由下图表示。

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。

3．三个对数恒等式

由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（a>0，

a≠1）前提下有:

.

.

4.三个运算法则:

指数的运算法则通过转化可变为对数的运算法则。在a>0，a≠1的前提下有:

(1)

令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，

∵，∴m+n=loga(MN)，即

(2)，

令am=M，an=N，则有m=logaM，n=logaN，

∵，∴，即。

(3)，令am=M，则有m=logaM，∴

mn=n

∵Mn=amn，∴mn=(n∈R)，∴n=。

5．两个换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前

提下有:

(1)

令logaM=b，则有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，

即:。

(2)，令logaM=b，则有ab=M，则有

即，即，即

.

.

当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有

它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结

论:

例题选讲:

第一阶梯

[例1]将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：

(1)log216=4；(3)54=625；

解：

(1)24=16

(3)∵54=625，∴log5625=4.

[例2]解下列各式中的x：

(3)2x=3；

(4)log3(x-1)=log9(x+5).

.

.

解：

(3)x=log23.

(4)将方程变形为

[例3]求下列函数的定义域：

思路分析：

求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于0且不等于

1是对数运算有意义的前提条件。

解：

(1)令x2-4x-5>0，得(x-5)(x+1)>0，故定义域为{x|x5}

∴0<4x-3≤1。

.

.

所以所求定义域为{x|-1<0，或0

第二阶梯

[例4]比较下列各组数中两个值的大小

(1)log23.4，log28.5；

(2)log0.31.8，log0.32.7；

(3)loga5.1，loga5.9(a>0，a≠1)。

思路分析：

题中各组数可分别看作对数函数y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函数值，

可由对数函数的单调性确定。

解：

(1)因为底数2>1，所以对数函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是

log23.4

(2)因为底数为0.3，又0<0.3<1，所以对数函数y=log0.3x在(0，+∞)上是

减函数，于是log0.31.8>log0.32.7；

(3)当a>1时，函数y=logax在(0，+∞)上是增函数，所以loga5.1

.

.

当0loga5.9。

说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1

的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利

用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。

[例5]若a>0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是（）

(1)logax·logay=loga(x+y)；

(2)logax-logay=loga(x-y)；

(4)logaxy=logax·logay；

A、0B、1C、2D、3

思路分析：

对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的

运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logax≠

loga·x，logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运

算，因此都是错误的。

答案：A

[例6]已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求。

思路分析：解本题的关键是设法将

的常用对数分解为2，3的常用对数

代入计算。

解：

.

.

第三阶梯

[例7]若方程lg(ax)·lg(ax2)=4的所有解都大于1，求a的取值范围。

思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为

一元二次方程解的讨论问题。

解：原方程化为

(lgx+lga)(lga+2lgx)=4。

2lg2x+3lga·lgx+lg2a-4=0，

令t=lgx，则原方程等价于

2t2+3tlga+lg2a-4=0，(*)

若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解均大于0，则

说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。

[例8]将y=2x的图像（）

A、先向左平行移动1个单位

.

.

B、先向右平行移动1个单位

C、先向上平行移动1个单位

D、先向下平行移动1个单位

再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2(x+1)的图像。

思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。

解法1：在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像，直接观察，

即可得D。

解法2：与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函

数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将y=2x的图像向下平移1个单位。

解法3：

本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因

此排除A、B、C，即得D。

说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。

[例9]已知log189=a，18b=5，求log3645的值；（用含有a、b的式子表示）

思路分析：

当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算（扩展

之前开方运算是乘方运算的逆运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对

数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。

解：由18b=5，得b=log185，又log189=a，∴log189+log185=log3645=a+b，

则

.

.

说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转

化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学

思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用。

详细题解

1．求值:(1)(2)(3)

解:

(1)。

(2)

(3)

注意:lg2=log102，此为常用对数，lg22=(lg2)2，区别于。

2．求值:(1)(2)(3)

解:

(1)

.

.

(2)。

(3)法一：

法二：

注意:运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具

体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对

数也可。(3)的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便。

3．已知:log23=a，log37=b，求:log4256=?

解:∵，∴，

4．已知:a2+b2=7ab，a>0，b>0。求证:。

证明:∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴

lg(a+b)2=lg(9ab)，

∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb，∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb

即

.

.

5.已知:求证:3ab-bc-2ac=0。

证明:设，则:

，

，

∵，∴3ab=bc+2ac，

即3ab-bc-2ac=0。

6．求值:

解:

另解:设=m(m>0)，∴，

∴，∴，

∴lg2=lgm，∴2=m，即。

课后练习:

.

.

1．2．

3．

4．已知:x·log34=1，求:的值。

5．已知:lg2=a，lg3=b，求:log512的值。

参考答案:

1.-2.-3.4.5.

对数函数的性质及应用

概念与规律:

1．对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，在学习对数函数的概念，

图象与性质时，要处处与指数函数相对照。

2．在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；

当0时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴。（见图1）

例1．求下列函数的定义域。

(1)y=

(2)y=ln(ax-k·2x)(a>0且a≠1，k∈R)

解:(1)因为，所以，

.

.

所以函数的定义域为(1，)(，2)。

(2)因为ax-k·2x>0，所以()x>k。

10，当k≤0时，定义域为R；

20，当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；

(ii)若0，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；

(iii)若a=2，则当0

能构成函数，否则定义域为。

例2．若logm3.5>logn3.5(m，n>0，且m≠1，n≠1)，试比较m，n的大小。

解:

(1)当m>1，n>1时，∵3.5＞1，由对数函数性质:当底数和真数都大于1时，

对同一真数，底数大的对数值小，∴n>m>1。

(2)当m>1，0

也是符合题意的解。

(3)当0

底数大的对数值小，故0

综上所述，m，n的大小关系有三种:1

0

例3．作出下列函数的图象:

(1)y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx(2)y=lg|x|(3)y=-1+lgx

解:(1)如图2；(2)如图3；(3)如图4。

.

.

例4．函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域。

提示:由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2

得y=f(log2x)的定义域为[，4]。

例5．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间。

解:设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4，∵y=t为减函数，且0

∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞)。

再由:函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1

∴t=-x2+2x+3在(-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数。

∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3)。

例6．已知f(x)=ax-a-x(其中0。

(1)求函数f(x)的反函数f-1(x)；(2)试判断函数f-1(x)的奇偶性，并证

明你的结论。

解:(1)设y=ax-a-x，则a2x-yax-1=0，∵ax>0，解得ax=，∴

x=loga，

.

.

∴所求函数的反函数f-1(x)=loga(x∈R)。

(2)∵x∈R且f-1(-x)=loga=loga

=loga()-1=-f-1(x)。∴函数f-1(x)是奇函数。

例7．已知f(logax)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性。

解:设t=logax(x∈R+，t∈R)。当a>1时，t=logax为增函数，若t1

则0

∴f(t1)-f(t2)=，

∵0

当0时，同理可得f(t)在R上为增函数。∴不论a>1或0

SPAN>，f(x)在R上总是增函数。

例8．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1)。

(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值

域为R，求实数a的取值范围。

分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在

于转化成常规问题。f(x)的定义域为R，即关于x的

不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规

问题。

f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价

.

.

的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察

此函数的图象的各种情况，如图5，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是

。

解:(1)f(x)的定义域为R，即:关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有a>1。∴a的取值范围为a>1。

(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或

0≤a≤1，

∴a的取值范围为0≤a≤1。

例9．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函

数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为

S。

(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；

(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围。

解:(1)依题意有g(x)=log2x(x>0)，并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，

log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，如图6。

∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

.

.

∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。

(2)把S=f(a)变形得:S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕

=2log2=2log2(1+)。

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)

上是增函数，

∴0<2log2(1+)<2log2，即0

(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下:任取a1，a2，使

1

(1+)-(1+

)=16()=16·，

由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，

∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，

于是可得f(a1)>f(a2)

∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数。

(4)由S>2，即得，解之可得:1

课外练习:

1．已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是______。

.

.

2．已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1，b<0)。

(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并予以证明；

(3)指出f(x)的单调区间；(4)求函数f(x)的反函数。

3．已知函数f(x)=lg(x+)-lg2，证明:(1)f(x)的图象关于原点对

称；(2)f(x)为单调函数。

4．已知关于x的方程log2(x+3)-log4x2=a的解在区间(3，4)内，求实数a

的取值范围。

参考答案:

1．(1，2)

2.(1)(-∞，)(-，+∞)(2)奇函数

(3)a>1时，f(x)在(-∞，)，(-，+∞)上都是增函数，

0时，f(x)在(-∞，)，(-，+∞)上都是减函数。

(4)f-1(x)=(x≠0，x∈R)。

3.(1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)为R上的增函数。

4．log2。

专题辅导

对数与对数函数

1．本单元重、难点分析

.

.

1）重点：对数的定义；对数的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的

基础上，掌握对数函数的图象和性质。

2）难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导

和应用；对数函数的图象与性质及其运用。

2．典型例题选讲

例1．已知log23=a，3b=7，求log1256的值。

讲解：先将3b=7转化为log37=b，然后设法将log1256化成关于log23和

log37的表达式，即可求值。

[解法1]∵log23=a，∴2a=3。

又3b=7，∴7=(2a)b=2ab，故56=23+ab。

又12=3·4=2a·4=2a+2。

从而56=，故log1256=log12

。

[解法2]∵log23=a，∴log32=，又3b=7，∴log37=b，

从而

log1256=。

[解法3]∵log23==a，∴lg3=alg2，又3b=7，∴lg7=blg3，∴lg7=ablg2。

从而log1256=。

.

.

说明：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显

得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知

对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。

例2．已知loga3>logb3>0，则a，b，1的大小关系是_______。

讲解：由对数函数的性质可知，a>1，b>1，关键是判断a与b的大小，这可

以利用对数函数的单调性来解决。

[解法1]由loga3>logb3>0>0log3b>log3a>0

log3b>log3a>log31。

∵y=log3x是增函数，故b>a>1。

[解法2]由loga3>logb3>0>0。

∵lg3>0，∴lga>0，lgb>0，

∴上式等价于>0lgb>lga>0lgb>lga>lg1。

∵y=lgx是增函数，故b>a>1。

[解法3]分别作出y=logax与y=logbx的图象，然后根据图象特征进行推断。

∵loga3>logb3>0，∴a>1，b>1，故y=logax与y=logbx均为增函数。

又∵loga3>logb3>0，∴当x>1时，y=logax的图象应在y=logbx图象的

上方，如图所示。

根据对数函数的图象分布规律，可知：b>a>1。

说明：解法1利用了logab与logba互为倒数，转化为同底的对数，再利用

单调性判断。解法2利用了换底公式。解法3利用了图象的特征。

.

.

3．容易产生的错误

1）对数式logaN=b中各字母的取值范围(a>0且a≠1，N>0，b∈R)容易记错。

2）关于对数的运算法则，要注意以下两点：

一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边

的对数都存在时等式才能成立。如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立

的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的。

二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起

来，即下面的等式是错误的：

loga(M±N)=logaM±logaN，

loga(M·N)=logaM·logaN，

loga。

3）解决对数函数y=logax(a>0且a≠1)的单调性问题时，忽视对底数a的

讨论。

4）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素

交织在一起，学生应用时经常出错。下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习

时参考。

以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0。

反馈练习

一、选择题

1．设a,b,c为正数，且3a=4b=6c，则有（）。

A、B、C、D、

.

.

2．已知，那么a的取值范围是（）。

A、B、C、D、

或a>1

3．图2中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取，则

相应于C1，C2，C3，C4的a值依

次为（）。

A、B、

C、D、

4．函数的单调递增区间为（）。

A、(-∞,3]B、(-∞,1)或[3，5)C、[3,+∞)D、(1,3)或(5,

+∞)

5．设偶函数f(x)=loga|x-b|在(-∞,0)上是增函数，则f(a+1)与f(b+2)的

大小关系是（）。

A、f(a+1)=f(b+2)B、f(a+1)>f(b+2)

C、f(a+1)

6．设方程2x+x-3=0的根为α，方程log2x+x-3=0的根为β，则α+β的

值是（）。

A、1B、2C、3D、6

.

.

二、填空题：

7．已知函数y=loga(kx2+4kx+3)，若函数的定义域为R，则k的取值范围是

__________；若函数的值域为R，则k的取值范围是________。

8．已知函数，则f(log23)的值为_______。

9．已知a=0.33,b=30.3,c=log30.3,d=log0.33，则a,b,c,d的大小关系

是______。

三、解答题：

10．设logac,logbc是方程x2-3x+1=0的两根，求的值。

11．设

1）判断f(x)的单调性，并给出证明；

2）若f(x)的反函数为f-1(x)，证明f-1(x)=0有唯一

解；

3）解关于x的不等式。

12．光线通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起

来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后强度值为y。

1）试写出y关于x的函数关系式；

2）通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来的以下。

答案：

一、选择题

.

.

1、B2、D3、A4、B5、B6、C

1．设3a=4b=6c=k,则a=log3k,b=log4k,c=log6k,

∴,同理，，

而，∴，即。

2．当a>1时，由知，故a>1；

当0时，由知0

src="/",故。

综上知：a的取值范围是或a>1。

4．因为，所以只求出y=|x2-6x+5|的递减区间即可。f(x)的定义

域为(-∞,1)∪(1,5)∪(5,+∞)。作出

y=|x2-6x+5|=|(x-3)2-4|的图象。如图3所示，由

图象即可知。

5．由f(x)是偶函数，得b=0；

又因为f(x)在(-∞,0)上是增函数，得0

SPAN>

所以0，由f(x)在(0,+∞)上是减函数，得f(a+1)>f(b+2)

6．将方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如图4所示，可知a是指数函数

y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；β是对数函数y=log2x的图象与

直线y=-x+3的交点B的横坐标。由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，它

.

.

们的图象关于直线y=x对称，所以A，B两点也关于直线y=x对称，所以A(α,β),

B(β,α)。注意到A(α,β)在直线y=-x+3上，所以有β=-α+3，即α+β=3。

二、填空题：

7．。

要使函数的定义域为R，只需对一切实数x,kx2+4kx+3>0恒成立，其充要

条件是k=0或

解得k=0或，故k的取值范围是。

要使函数的值域为R，只需kx2+4kx+3能取遍一切正数，则

，解得。故k的取值范围是。

8．。∵1

∴.

又∵当x<4时，f(x+1)=f(x),

∴f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23)=.

9．b>a>d>c,∵0.3>0，3>0,∴a=0.33>0,b=30.3>0.

∵3>1,0<0.3<1,∴c=log30.3<0,d=log0.33<0

又∵b=30.3>1,a=0.33a

而,,∴d>c.

三、解答题：

.

.

10．依题意得：即，即

∴。

∴。

故。

11．

1）由得-1

设-1

,

又因为(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)

=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0,

(1-x1)(1+x2)>0,(1+x1)(1-x2)>0,

所以

所以，又易知，

∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).故f(x)在(-1,1)上是减函数。

.

.

2）因为，所以，即f-1(x)=0有一个根。

假设f-1(x)=0还有一个根，则f-1(x0)=0，

即，这与f(x)在(-1,1)内单调递减相矛盾。

故是方程f-1(x)=0的唯一解。

3）因为，所以。

又f(x)在(-1,1)上单调递减，所以。

解得。

12．

1]经过1块玻璃板后光线强度为：(1-10%)a=0.9a；

经过2块玻璃板后光线强度为：(1-10%)·0.9a=0.92a；

经过3块玻璃板后光线强度为：(1-10%)·0.92a=0.93a；

……

经过x块玻璃板后光线强度为：0.9xa.

所以，y=0.9xa(x∈N+).

2]由题意可知：，∴，

两边取常用对数得：xlg0.9，又lg0.9∴.

故xmin=11.

.

.

答：需要11块以上玻璃板重叠起来，光线强度减弱到原来的以

下。

检测题

1、在b=log(a-2)(5-a)中，实数a的范围是（）

A、a>5或a<2B、2

B、

1D、2

3、若logab=logba(a≠b)，则ab=（）

A、1B、2D、4

4、若lg2=a，lg3=b，则log512等于（）

6、（）

.

.

7、y=(0.2)-x+1的反函数是（）

A、y=log5x+1(x>0)B、y=log5x+1(x>0且x≠1)

C、y=log5(x+1)(x>-1)D、y=log5(x-1)(x>1)

8、已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）

A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、[2，+∞）

9、若0

A、正数B、负数C、零D、无意义

10、已知a=log32，那么log38-2log36用a表示是（）

A.a-2B.5a-2C.3a-(1+a)2D.3a-a2-1

11、若log2[log0.5(log2x)]=0，则x=________。

12、计算

答案：

1—5CAACA

6—10C

DBDA

12、（1）原式=1；（2）原式=1。

.

.

指数函数

指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1)，从上面我们对于幂函数的讨论就可

以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数y=a^x中可以看到：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等

于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因

此我们不予考虑，

同时a等于０一般也不考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凹的。

（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当

然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数

的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点

（8）显然指数函数无界。

（9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

（10）当两个指数函数中的a互为倒数是，此函数图像是偶函数。

例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.

.

.

⑴y=4^x

因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数；

⑵y=(1/4)^x

因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数

对数的概念

如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对

数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

由定义知：

①负数和零没有对数;

②a>0且a≠1,N>0;

③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.

特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数

e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真

数)

3对数的运算性质

如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么

.

.

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

(2)logaMN=logaM-logaN.

(3)logaMn=nlogaM(n∈R).

自然对数到底有什么用？

自然对数

当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限

而发现的。它是个无限不循环小数。其值约等于2.718281828...

它用e表示

以e为底数的对数通常用于㏑

而且e还是一个超越数

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能

得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖

中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁

星……

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

φkρ=αe

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把

e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其

值为2.71828……，是一个无限循环数。

、“自然律”之美

“自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是

函数：

.

.

(1+1/x)^x

当X趋近无穷时的极限。

人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究

(1+1/x)^x

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向

发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，

上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡

的最本质的东西。

现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶

的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝

着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的

极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要

我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的

那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看

成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命

物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的

死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。

新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部

熵。

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），

另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展

（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自

然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎

然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，

令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生

命的欢乐和幸福。

e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学

表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲

螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定

的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞

士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极

.

.

点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下

遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是

美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、

我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这

难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构

对应关系吗？

我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它

的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛

链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这

种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器

官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等

等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自

然基础。

有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然

普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。

谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦

率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分

来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自

然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵

循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！

有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的

永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，

那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有

限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节

奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自

然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征

着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类

不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美

学家和艺术家的瑰宝》）

附：

这是小数点后面两千位：

.

.

e=:2.7475724796696762772

459457664274274663929043

5729956379434990115738

344185374234

54424376560

2976437472368190255151

4257854499699679468644549

68892369229576351482268

398496465738

3767932482878253206981

45889422879228499892086

848756021609

94618369839

64243787396

965525742930

33224745432972535557071

622684479432527867539855

89448969785695638248960

788636372437833799801612

54922785926226483262779333865664844

998289342586982946959311

72556347546396447928745867174798546

6775757322945566984205

586452644396625322498506

54995886234285889777275

47484728759584116612054

52972966693836452118063

96556515219

64495478761

参考资料：

1.《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》

旋涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧

湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁

星……

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

φkρ=αe

.

.

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把

e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其

值为2.71828……，是一个无限循环数。

数，美吗？

1、数之美

人们很早就对数的美有深刻的认识。其中，公元前六世纪盛行于古希腊的毕达哥斯学派见解

较为深刻。他们首先从数学和声学的观点去研究音乐节奏的和谐，发现声音的质的差别（如

长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。例如发音体（如琴弦）长，声

音就长；振动速度快，声音就高；振动速度慢，声音就低。因此，音乐的基本原则在于数量

关系。

毕达哥斯学派把音乐中的和谐原理推广到建筑、雕刻等其它艺术，探求什么样的比例才会产

生美的效果，得出了一些经验性的规范。例如，在欧洲有长久影响的“黄金律”据说是他们

发现的（有人说，是蔡泌于一八五四年提出了所谓的“黄金分割律”。所谓黄金分割律“就

是取一根线分为两部分，使长的那部分的平方等于短的那部分乘全线段。”“如果某物的长

与宽是按照这个比例所组成的，那么它就比由其它比例所组成的长方形‘要美’。”）。

这派学者还把数学与和谐的原则应用于天文学的研究，因而形成所谓“诸天音乐”或“宇宙

和谐”的概念，认为天上诸星体在遵照一定的轨道运动中，也产生一种和谐的音乐。他们还

认为，人体的机能也是和谐的，就象一个“小宇宙”。人体之所以美，是由于它各部分——

头、手、脚、五官等比例适当，动作协调；宇宙之所以美，是由于各个物质单位以及各个星

体之间运行的速度、距离、周转时间等等配合协调。这些都是数的和谐。

中国古代思想家们也有类似的观点。道家的老子和周易《系辞传》，都曾尝试以数学解释宇

宙生成，后来又衍为周易象数派。《周易》中贲卦的表示朴素之美，离卦的表示华丽之美，

以及所谓“极其数，遂定天下之象”，都是类似数学推理的结论。儒家的荀卿也说过：“万

物同宇宙而异体。无宜而有用为人，数也。”庄子把“小我”与“大我”一视同仁，“小年”

与“大年”等量齐观，也略同于毕达哥拉斯学派之把“小宇宙”和“大宇宙”互相印证。所

谓“得之于手而应用于心，口不能言，有数存在焉与其间”。这种从数的和谐看出美的思想，

深深地影响了后世的中国美学。

2、黄金律之美

黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。我们知

道，黄金律不仅是构图原则，也是自然事物的最佳状态。中世纪意大利数学家费勃奈舍发现，

许多植物叶片、花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的，这即

是著名的“费勃奈舍数列”：1、2、3、5、8、13、21、34……动物身上的色彩图案也大体

符合黄金比。舞蹈教练、体操专家选择人材制定的比列尺寸，例如肩宽和腰的比例、腰部以

上与腰部以下的比列也都大体符合黄金比。

.

.

现代科学家还发现，当大脑呈现的“倍塔”脑电波的高频与低频之比是1：0.618的近似值

(12.9赫兹与8赫兹之比)时，人的心身最具快感。甚至，当大自然的气温（23摄氏度）与

人的体温37摄氏度之比为0.618:1时,最适宜于人的身心健康,最使人感到舒适。另外，数

学家们为工农业生产制度的优选法，所提出的配料最佳比例、组织结构的最佳比例等等，也

都大体符合黄金律。

然而，这并不意味着黄金律比“自然律”更具有美学意义。我们可以证明，当对数螺线：

φkρ=αe

的等比取黄金律，即k=0.0765872，等比P1/P2=0.618时，则螺线中同一半径线上相邻极半

径之比都有黄金分割关系。事实上，当函数f（X）等于e的X次方时，取X为0.4812,那么，

f（X）=0.618……

因此，黄金律被“自然律”逻辑所蕴含。换言之，“自然律”囊括了黄金律。

黄金律表现了事物的相对静止状态，而“自然律”则表现了事物运动发展的普遍状态。因此，

从某种意义上说，黄金律是凝固的“自然律”，“自然律”是运动着的黄金律。

3、“自然律”之美

“自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是

函数：

1（1+——）

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。

人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究

1（1+——）

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向

发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，

上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡

的最本质的东西。

现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶

的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝

着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的

极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要

.

.

我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的

那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看

成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命

物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的

死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。

新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部

熵。

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），

另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展

（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自

然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎

然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，

令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生

命的欢乐和幸福。

e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学

表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲

螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定

的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞

士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极

点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下

遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是

美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、

我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这

难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构

对应关系吗？

我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它

的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛

链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这

种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器

官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等

.

.

等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自

然基础。

有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然

普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。

谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦

率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分

来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自

然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵

循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！

有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的

永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，

那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有

限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节

奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自

然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征

着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类

不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美

学家和艺术家的瑰宝》）

2，尤拉的自然对数底公式

（大约等于2.71828的自然对数的底——e）

尤拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论

与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。

数学史上称十八世纪为“尤拉时代”。

尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆

力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题。

尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于2.71828的自

然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常

见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、π、e、

∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等。高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学

生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、

我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像

一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个

不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”

.

.

这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定

不移的爱情！

相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：尤拉取

自己名字的第一个字母作为自然对数。

而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母

后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对

数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可

事实上法文、德文的指数都是它。

.

.

双曲余弦函数coshx=(e^x+e^(-x))/2

判断双曲正弦函数和双曲余弦函数的奇偶性并证明

求详解！

双曲正弦函数sinhx=(e^x-e^(-x))/2是奇函数

证明如下：

设f(x)=[e^x-e^(-x)]/2

则f(-x)=[e^(-x)-e^x]/2=-[e^x-e^(-x)]/2=-f(x)

.

.

所以双曲正弦函数sinhx=(e^x-e^(-x))/2是奇函数

双曲余弦函数coshx=[e^x+e^(-x)]/2是偶函数

证明如下：

设g(x)=[e^x+e^(-x)]/2

则g(-x)=[e^(-x)+e^x]/2=g(x)

所以双曲余弦函数coshx=[e^x+e^(-x)]/2是偶函数

公式表达式

乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理

判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0注：方程有一个实根

b2-4ac<0注：方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

.

.

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2

cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标

.

.

圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h

正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2

圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r

锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长

柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h