变加速直线运动
-图形宝宝
2023年2月15日发(作者：五星红旗的由来)1
匀变速直线运动
一．表征运动的物理量
1.质点：研究一个物体的运动时，如果物体的形状和大小可忽略时，就用一
个有质量的点来代替物体．用来代替物体的有质量的点就叫质点．
2.参考系：研究物体的运动时，假定为不动的物体，叫参考系．对同一个物
体的运动，所选择的参考系不同，物体的运动状态会不同。参考系的选取原则上
是任意的，但通常以研究问题方便、对运动的描述简单为原则，通常以地球为参
考系来研究物体的运动．
3.时刻和时间：时刻是指某一瞬时，在时间轴上用一点表示，时间是指某一
段时间间隔，即两时刻之间的一段间隔，在时间轴上用一段线段来表示。
4.位移和路程
位移：描述物体运动过程中的位置变化的物理量。是从物体运动的初始位置
指向末位置的矢量。
路程：物体运动轨迹的长度，是标量。
位移由物体的初、末位置决定，跟物体运动的路径无关，而路程跟物体运动
的路径有关。只有在直进的直线运动中，位移的大小才等于路程。
5.速度和速率
速度是描述物体运动的方向和快慢的物理量，速度是矢量，分为平均速度和
瞬时速度两种。
平均速度：在变速运动中，物体在某段时间内的位移与发生这段位移所用时
间的比值叫做这段时间内的平均速度．公式
t
s
v，方向与位移的方向相同。
瞬时速度（简称速度）：物体在某一位置或某一时刻运动的快慢程度，它是
2
平均速度当t趋于0时的极限值，其表达式为
t
s
v
t
lim
0
瞬时速率：瞬时速度的大小，是标量。
平均速率：物体在某段时间内的路程与发生这段路程所用时间的比值叫做这
段时间内的平均速率．公式
t
s
v路，它是标量。要注意平均速率不是平均速度
的大小。平均速度只有在变速直线运动中讨论才有意义，在往返运动和曲线运动
中应用平均速率。
6.加速度：表示作变速运动的物体速度变化快慢的物理量。在匀变速直线运
动中可用公式
t
vv
a0
计算，加速度是矢量，它的方向跟速度方向无关，而是速
度变化的方向（合外力方向）。
二.匀变速直线运动
1.定义:在任意相等的时间里速度变化都相等的直线运动叫做匀变速直线运
动．
2．匀变速直线运动的基本公式：
速度公式：atvv
0
位移公式：2
02
1
attvs
速度位移关系式：asvv22
0
2
说明：
⑴公式涉及五个物理量
0
v、v、s、a、t，这五个物理量中只有三个是独立
的，可以任意选定。只要其中三个物理量确定之后，另外两个就唯一确定了。每
个公式中只有其中的四个物理量，当已知某三个而要求另一个时，往往选定一个
3
公式就可以了。如果两个匀变速直线运动有三个物理量对应相等，那么另外的两
个物理量也一定对应相等。
⑵以上五个物理量中，除时间
t
外，
0
v、v、s、a均为矢量。一般以
0
v的方
向为正方向，以0t时刻的位移为零，这时s、v和a的正负就都有了确定的物理
意义。
3．匀变速直线运动的重要推论：
⑴做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等时间间隔内的位移之差是
一个恒量．即：2
1
aTsss
NN
．可推广为
2aTnmss
nm
⑵做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间内中间
时刻的瞬时速度，即：
t
x
vv
vvt
t
2
0
2
。
⑶做匀变速直线运动的物体，在某段位移内中间位置的速度
2
x
v与这段位移的
初速度
0
v和末速度v的关系为：
2
22
0
2
vv
v
x
。
可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有
22
xt
vv，即做匀变速直线运动的物
体中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置的瞬时速度。
（4）初速度为零的匀加速直线运动（设
T
为等分时间间隔）：
（i）
T1
末、
T2
末、T3末…瞬时速度比为：nvvvv
n
::3:2:1::::
321
。
（ii）T1内、T2内、T3内…位移之比为：2222
321
::3:2:1::::nxxxx
n
。
（iii）第一个
T
内、第二个
T
内、第三个
T
内…位移之比为：
12::5:3:1::::Nxxxx
NIIIIII
。
（iv）从静止开始通过连续相等的位移所用的时间比：
4
1::23:12:1::::
321
nntttt
n
。
4.匀变速直线运动的图像
（1）位移—时间图像
位移—时间图象即
ts
，它反映做直线运动的物体位移随时间变化而变化的
关系。一般横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标表
示从计时开始任一时刻所对应的位置，即从运动开始的这
一段时间内，物体相对与坐标原点的位移。s－t图线的斜
率表示运动物体的速度。
（2）速度－时间图像
速度—时间图象即
tv
，它反映了做直线运动物体的速度随时间变化而变化
的关系。一般横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标
表示物体运动的速度。它的斜率表示物体运动的加速度，
图线跟与之对应的由时间所决定的线段以及两坐标轴所
包围的面积表示位移、在时间轴上方的面积表示正向位
移，在时间轴下方的面积表示负向位移。
三．重力作用下的直线运动
1．自由落体运动
⑴定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．
⑵特点；初速度0
0
v，加速度ga．
⑶公式：gtv
2
2
1
gth
ghv22
2．竖直上抛运动
⑴定义：物体以初速度
0
v竖直向上抛出后，只要重力作用下所做的运动．
⑵特点：初速度0
0
v，方向竖直向上．加速度ga，方向竖直向下．
⑶公式：取向上的方向为正，则有：
gtvv
0
5
2
02
1
gttvh
ghvv22
0
2
⑷两个特征量：
①上升的最大高度：
g
v
h
m2
2
0
②上升到最大高度所需要的时间
上
t和从最大高度落回原抛出点所需时间
下
t
相等，即：
g
v
tt0
下
上
。
例题分析
【例1】一个匀加速直线运动的物体，在头4s内经过的位移为m24，在第二
个4s内经过的位移为m60，求这个物体的加速度和初速度各是多少？
解析：设物体的加速度为a，初速度为
0
v，令st4，头4s的位移
1
s，第二个
4s的位移
2
s。
解法一:基本公式法
头s4内位移2
012
1
attvs①
整个s8内位移2
012
2
2
1
2tatvss②
联立①②代入数据可以得到225.2sma,smv5.1
0
解法二:利用位移差求解
连续相等时间内的位移之差是一恒量
2
12
t
ss
a
○3
头s4内位移2
012
1
attvs○4
联立○3○4代入数据可以得到
0
1.5vms
解法三:利用瞬时速度求解
整个
s8
内的平均速度等于第
s4
末的瞬时速度，则
smsmv5.10
8
6024
4
整头s4内的平均速度等于第s2末的瞬时速度，则：
smsmv6
4
24
2
222
2425.2
2
65.10
24
smsmsm
vv
a
由avv2
02
可得：smv5.1
0
6
答案：22.25ams,
0
1.5vms
点评：熟练掌握匀变速直线运动规律和推论，尽量在最短的时间内选择最简
捷的方法。
【例2】已知O、A、B、C为同一直线上的四点、AB间的距离为l1，BC
间的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、
B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。求O与A的距离.
解析：设OA的距离为l，加速度为a，物体经过B点的速度为
B
v，通过AB
段与BC段所用的时间均为t，由运动学公式有：
2
12
atll①
t
ll
v
B2
21
②
2
1
2
B
vlla③
2
22
1
attvl
B
④
联立①②③④可得
12
2
21
8
3
ll
ll
l
答案：
12
2
21
8
3
ll
ll
l
【例3】汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中，司机忽然发
现前方有一警示牌。立即刹车。经过一段时间汽车的刹车系统稳定工作，汽车作
匀减速运动直至停止，汽车从刹车系统稳定工作开始第1s内的位移为24m，第
4s内的位移为1m。求汽车开始作匀减速运动时的速度大小及此后的加速度大
小。
解析：设汽车的加速度为a，开始作匀减速运动时的速度为v，第s1内的位
移
1
s，第s4内的位移
4
s，若汽车在第s4内未停止，设它在s3末的速度为
3
v，s4末
的速度为
4
v。令st1，由运动学公式有：
2
41
3atss①
2
12
1
atvts②
atvv4
4
③
7
联立①②③并代入已知数据可得：
smv
6
17
4
，
说明汽车在s4末之前就停止了，①式不成立，由于汽车是在s3与s4之间停止
的，由运动学公式有：
atvv3
3
④
4
2
3
2asv⑤
联立②④⑤并代入已知数据可得：
smv28，28sma
⑥
或者：2
25
288
sma
，
smv75.29
⑦
但在⑦式情形下，0
3
v，不合题意，舍去
【例4】某小组利用打点计时器对物块沿倾斜的長木板加速下滑时的运动进
行探究。物块拖动纸带下滑，打出的纸带一部分如图所示。已知打点计时器所用
交流电的频率为50Hz，纸带上标出的每两个相邻点之间还有4个打出的点未画
出。在A、B、C、D、E五个点中，打点计时器最先打出的点是点。在打出C
点时物块的速度大小为sm(保留3位有效数字)；物块下滑的加速度大小为
2sm(保留2位有效数字)。
【答案】A；0.233；0.75
解析：物体加速下滑，相同时间相邻的点间距会逐渐变大，所以选A
根据推论：一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，有
8
smsm
T
x
vBD
C
233.0
1.02
1020.185.5
2
2
由逐差法可得：
22
2
2
2
75.0
1.04
1015.315.6
4
smsm
T
xx
aACCE
【例5】小球A从距地高h的地方自由下落，同时以速度v0把小球B从地面
A的正下方竖直上抛，求A、B两球在空中相遇应当满足的条件。
解析：设B小球以初速度v1竖直上抛落回地面时与自由下落的A相遇，此时
有：0
2
1
2
1
gttv
○1
2
2
1
gth
○2
由○1○2可得ghv
2
2
1
设B小球以初速度v2竖直上抛达到最高点的距离为s,此时与下落的A相遇，
则有：
0
2
gtv○3
2
2
1
gtsh
○4
2
22
1
gttvs
○5
由○3○4○5可得：
ghv
2
A、B两球在空中相遇应当满足的条件ghvgh
02
2