向量的数量积
-日语新闻
2023年2月15日发(作者：云南个旧市)专题二平面向量的数量积
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA
→
＝a，OB
→
＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．
(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°．
(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．
2．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，
记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0．
投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ
b
|b|
＝
(a·b)b
|b|2
．
(2)坐标表示：若a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a·b＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
．
3．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2．
考点一求平面向量数量积
【方法总结】
平面向量数量积的两种求法
(1)若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos．若未知向量的模和夹角时，
则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解；
(2)若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则a·b＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
．若
未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，
则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解．
【例题选讲】
[例1](1)(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()
A．4B．3C．2D．0
答案B解析a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×1－(－1)＝3．
(2)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝()
A．0B．4C．－
9
2
D．－
17
2
答案D解析由题意得2k－1－4k＝0，解得k＝－
1
2
，即m＝
－2，－
1
2
，所以m·n＝－2×4＋
－
1
2
×1＝－
17
2
．
(3)如图，已知非零向量AB
→
与AC
→
满足(
AB
→
|AB
→
|
＋
AC
→
|AC
→
|
)·BC
→
＝0，且|AB
→
－AC
→
|＝23，|AB
→
＋AC
→
|＝26，点D是
△ABC中边BC的中点，则AB
→
·BD
→
＝________．
答案－3解析由(
AB
→
|AB
→
|
＋
AC
→
|AC
→
|
)·BC
→
＝0得BC
→
与∠A的平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，BC
→
⊥
AD
→
．又|AB
→
－AC
→
|＝23，所以|CB
→
|＝23，所以|BD
→
|＝3，AB
→
·BD
→
＝|AB
→
||BD
→
|cos(π－B)＝AD2＋BD2·3·(－
cosB)＝33×(－
3
3
)＝－3．
(4)(2016·天津)如图，已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接
DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF
→
·BC
→
的值为()
A．－
5
8
B．
1
8
C．
1
4
D．
11
8
答案B解析由条件可知BC
→
＝AC
→
－AB
→
，AF
→
＝AD
→
＋DF
→
＝
1
2
AB
→
＋
3
2
DE
→
＝
1
2
AB
→
＋
3
4
AC
→
，所以BC
→
·AF
→
＝(AC
→
－AB
→
)·(
1
2
AB
→
＋
3
4
AC
→
)＝
3
4
AC
→
2－
1
4
AB
→
·AC
→
－
1
2
AB
→
2．因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以|AC
→
|＝|AB
→
|＝1，
∠BAC＝60°，所以BC
→
·AF
→
＝
3
4
－
1
8
－
1
2
＝
1
8
．
(5)(2018·天津)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM
→
＝2MA
→
，CN
→
＝2NA
→
，
则BC
→
·OM
→
的值为()
A．－15B．－9C．－6D．0
答案C解析连接OA．在△ABC中，BC
→
＝AC
→
－AB
→
＝3AN
→
－3AM
→
＝3(ON
→
－OA
→
)－3(OM
→
－OA
→
)＝3(ON
→
－OM
→
)，∴BC
→
·OM
→
＝3(ON
→
－OM
→
)·OM
→
＝3(ON
→
·OM
→
－OM
→
2)＝3×(2×1×cos120°－12)＝3×(－2)＝－6．
(6)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝
π
2
，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则AE
→
·BC
→
等
于()
A．16B．12C．8D．－4
答案A解析以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4，0)，
B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．设E(0，t)，BD
→
·AE
→
＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，∴t＝
8
3
，即E
0，
8
3
，AE
→
·BC
→
＝
－4，
8
3
·(0，6)＝16．
(7)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则CP
→
·CB
→
＋CP
→
·CA
→
＝________．
答案4解析由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2，0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0，0)，则CP
→
·CB
→
＋CP
→
·CA
→
＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．
(8)如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则AP
→
·OP
→
＝()
A．1B．
1
16
C．
1
4
D．－
1
2
答案B解析法一：因为△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，所以OC
→
＝
1
2
OA
→
＋
1
2
OB
→
，所以OP
→
＝
1
2
OC
→
＝
1
4
(OA
→
＋OB
→
)，则AP
→
＝OP
→
－OA
→
＝
1
4
OB
→
－
3
4
OA
→
，所以AP
→
·OP
→
＝
1
4
(OB
→
－3OA
→
)·
1
4
(OA
→
＋OB
→
)＝
1
16
(OB
→
2－3OA
→
2)＝
1
16
．
法二：以O为坐标原点，OB
→
的方向为x轴正方向，OA
→
的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(如图)，
则A(0，1)，B(2，0)，C
1，
1
2
，P
1
2
，
1
4
，所以OP
→
＝
1
2
，
1
4
，AP
→
＝
1
2
，－
3
4
，故AP
→
·OP
→
＝
1
2
×
1
2
－
3
4
×
1
4
＝
1
16
．
(9)如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝
1
3
AB，则DM
→
·DB
→
＝________．
答案1解析因为DM
→
＝DA
→
＋AM
→
＝DA
→
＋
1
3
AB
→
，DB
→
＝DA
→
＋AB
→
，所以DM
→
·DB
→
＝(DA
→
＋
1
3
AB
→
)·(DA
→
＋AB
→
)
＝|DA
→
|2＋
1
3
|AB
→
|2＋
4
3
DA
→
·AB
→
＝1＋
4
3
－
4
3
AD
→
·AB
→
＝
7
3
－
4
3
|AD
→
|·|AB
→
|·cos60°＝
7
3
－
4
3
×1×2×
1
2
＝1．
(10)如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(
AB
＋DC)·(AC＋
BD
)＝________．
答案5解析由于AB
→
＝AC
→
＋CB
→
，DC
→
＝DB
→
＋BC
→
，所以AB
→
＋DC
→
＝AC
→
＋CB
→
＋DB
→
＋BC
→
＝AC
→
－BD
→
．(AB
→
＋DC
→
)·(AC
→
＋BD
→
)＝(AC
→
－BD
→
)·(AC
→
＋BD
→
)＝|AC
→
|2－|BD
→
|2＝9－4＝5．
(11)在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，DC＝2，点E，F分别在边AD，BC上，且AD
→
＝3AE
→
，BC
→
＝
3BF
→
，若向量AB
→
与DC
→
的夹角为60°，则AB
→
·EF
→
的值为________．
答案7解析EF
→
＝EA
→
＋AB
→
＋BF
→
①，EF
→
＝ED
→
＋DC
→
＋CF
→
②，由AD
→
＝3AE
→
，BC
→
＝3BF
→
，有2EA
→
＋
ED
→
＝0，，2BF
→
＋CF
→
＝0，，①×2＋②得2AB
→
＋DC
→
＝3EF
→
，所以EF
→
＝
2
3
AB
→
＋
1
3
DC
→
，则AB
→
·EF
→
＝AB
→
·(
2
3
AB
→
＋
1
3
DC
→
)
＝
2
3
AB
→
2＋
1
3
AB
→
·DC
→
＝
2
3
×32＋
1
3
×3×2cos60°＝7．
(12)如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设AD
→
·BC
→
＝m，AC
→
·BD
→
＝n．若AB
＝2，EF＝1，CD＝3，则()
A．2m－n＝1B．2m－2n＝1C．m－2n＝1D．2n－2m＝1
答案D解析AC
→
·BD
→
＝(AB
→
＋BC
→
)·(－AB
→
＋AD
→
)＝－AB
→
2＋AB
→
·AD
→
－AB
→
·BC
→
＋AD
→
·BC
→
＝－AB
→
2＋
AB
→
·(AD
→
－BC
→
)＋m＝－AB
→
2＋AB
→
·(AB
→
＋BC
→
＋CD
→
－BC
→
)＋m＝AB
→
·CD
→
＋m．又EF
→
＝EA
→
＋AB
→
＋BF
→
，EF
→
＝ED
→
＋DC
→
＋CF
→
，两式相加，再根据点E，F分别是边AD，BC的中点，化简得2EF
→
＝AB
→
＋DC
→
，两边同时平方得4
＝2＋3＋2AB
→
·DC
→
，所以AB
→
·DC
→
＝－
1
2
，则AB
→
·CD
→
＝
1
2
，所以n＝
1
2
＋m，即2n－2m＝1，故选D．
(13)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于
点O．记I
1
＝OA
→
·OB
→
，I
2
＝OB
→
·OC
→
，I
3
＝OC
→
·OD
→
，则()
A．I
1
＜I
2
＜I
3
B．I
1
＜I
3
＜I
2
C．I
3
＜I
1
＜I
2
D．I
2
＜I
1
＜I
3
答案C解析如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO
∠AFB＝90°，∴∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角，根据题意，I
1
－I
2
＝OA
→
·OB
→
－OB
→
·OC
→
＝
OB
→
·(OA
→
－OC
→
)＝OB
→
·CA
→
＝|OB
→
||CA
→
|·cos∠AOB<0，∴I
1
2 ，同理I 2 >I 3 ，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OB ＝GD ||OB → |<|OC → ||OD → |，而cos∠AOB＝cos∠COD<0，∴OA → ·OB → >OC → ·OD → ， 即I 1 >I 3 ．∴I 3 1 2 ． (14)已知扇形OAB的半径为2，圆心角为 2π 3 ，点C是弧AB的中点，OD → ＝－ 1 2 OB → ，则CD → ·AB → 的值为() A．3B．4C．－3D．－4 答案C解析如图，连接CO，∵点C是弧AB的中点，∴CO⊥AB，又∵OA＝OB＝2，OD → ＝－ 1 2 OB → ，∠AOB＝ 2π 3 ，∴CD → ·AB → ＝(OD → －OC → )·AB → ＝－ 1 2 OB → ·AB → ＝－ 1 2 OB → ·(OB → －OA → )＝ 1 2 OA → ·OB → － 1 2 OB → 2＝ 1 2 ×2×2× － 1 2 － 1 2 ×4＝－3． 【对点训练】 1．已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________． 1．答案1＋2解析因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋ 2|a|·|b|cos45°＝1＋2． 2．已知向量a，b的夹角为 3π 4 ，|a|＝2，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________． 2．答案6解析a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2×2×2× － 2 2 ＝6． 3．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为() A．12B．8C．－8D．2 3．答案A解析∵|a|cos＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos＝3×4＝12． 4．设x∈R，向量a＝(1，x)，b＝(2，－4)，且a∥b，则a·b＝() A．－6B．10C．5D．10 4．答案D解析∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)且a∥b，∴－4－2x＝0，x＝－2，∴a＝(1，－2)，a·b＝ 10，故选D． 5．(2014·全国Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝() A．1B．2C．3D．5 5．答案A解析由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1． 6．在边长为1的等边三角形ABC中，设BC → ＝a，CA → ＝b，AB → ＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝() A．－ 3 2 B．0C． 3 2 D．3 6．答案A解析依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1× － 1 2 ＋1×1× － 1 2 ＋1×1× － 1 2 ＝－ 3 2 ． 7．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3 C 3 上有10个不同的点P 1 ，P 2 ，…， P 10 ，记m i ＝AB 2 → ·AP i → (i＝1,2，…，10)，则m 1 ＋m 2 ＋…＋m 10 的值为() A．180B．603C．45D．153 7．答案A解析由题意可知，∠B 2 AC 3 ＝30°，∠AC 3 B 3 ＝60°，∴AB 2 → ⊥B 3 C 3 → ，即AB 2 → ·B 3 C 3 → ＝0．则m i ＝AB 2 → ·AP i → ＝AB 2 → ·(AC 3 → ＋C 3 P i → )＝AB 2 → ·AC 3 → ＝23×6× 3 2 ＝18，∴m 1 ＋m 2 ＋…＋m 10 ＝18×10＝180． 8．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB → ·AC → 等于() A．－ 3 2 B．－ 2 3 C． 2 3 D． 3 2 8．答案D解析在△ABC中，cos∠BAC＝ AB2＋AC2－BC2 2AB·AC ＝ 9＋4－10 2×3×2 ＝ 1 4 ，∴AB → ·AC → ＝|AB → ||AC → |cos∠BAC ＝3×2× 1 4 ＝ 3 2 ． 9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若AE → ＝2EC → ，则DE → ·AC → ＝________． 9．答案 1 3 解析如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐 标系，则B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以AC → ＝(－1，2)． 因为D为BC的中点，所以D(0，1)，因为AE → ＝2EC → ，所以E 1 3 ， 4 3 ，所以DE → ＝ 1 3 ， 1 3 ，所以DE → ·AC → ＝ 1 3 ， 1 3 ·(－1，2)＝－ 1 3 ＋ 2 3 ＝ 1 3 ． 10．已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP → ·(AB → ＋AC → )＝________． 10．答案6解析如图，设BC的中点为D，则AD⊥BC，∴|AP|cos∠PAD＝AD，AB → ＋AC → ＝2AD ―→ ．∵ △ABC是边长为2的等边三角形，∴AD＝3，∴AP → ·(AB → ＋AC → )＝AP → ·2AD → ＝2×|AD → |×|AP → |×cos∠PAD＝ 2|AD → |2＝2×(3)2＝6． 11．在△ABC中，|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则AE → ·AF → 等于() A． 8 9 B． 10 9 C． 25 9 D． 26 9 11．答案B解析由|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，化简得AB → ·AC → ＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它 们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所在直线为 x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)．不妨 令E为BC的靠近C的三等分点，则E 2 3 ， 2 3 ，F 1 3 ， 4 3 ，所以AE → ＝ 2 3 ， 2 3 ，AF → ＝ 1 3 ， 4 3 ，所以AE → ·AF → ＝ 2 3 × 1 3 ＋ 2 3 × 4 3 ＝ 10 9 ． 12．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若OA → ＋AB → ＋OC → ＝0，且|OA → |＝|AB → |，则CA → ·CB → 等于() A． 3 2 B．3C．3D．23 12．答案C解析∵OA → ＋AB → ＋OC → ＝0，∴OB → ＝－OC → ，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形， 又△ABC的外接圆的半径为1，|OA → |＝|AB → |，∴BC＝2，AB＝1，CA＝3，∠BCA＝30°，∴CA → ·CB → ＝|CA → ||CB → |·cos30°＝3×2× 3 2 ＝3． 13．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC → ＝3BD → ，|AD → |＝1，则AC → ·AD → 的值为() A．23B． 3 2 C． 3 3 D．3 13．答案D解析∵在△ABC中，AD⊥AB，∴AB → ·AD → ＝0，AC → ·AD → ＝(AB → ＋BC → )·AD → ＝AB → ·AD → ＋BC → ·AD → ＝ BC → ·AD → ＝3BD → ·AD → ＝3(AD → －AB → )·AD → ＝3AD → ·AD → －3AB → ·AD → ＝3． 14．在△ABC中，AB＝1，∠ABC＝60°，AC → ·AB → ＝－1，若O是△ABC的重心，则BO → ·AC → ＝________． 14．答案5解析如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． ∵AB＝1，∠ABC＝60°，∴A 1 2 ， 3 2 ．设C(a，0)．∵AC → ·AB → ＝－1，∴ a－ 1 2 ，－ 3 2 · － 1 2 ，－ 3 2 ＝ － 1 2 a－ 1 2 ＋ 3 4 ＝－1，解得a＝4．∵O是△ABC的重心，延长BO交AC于点D，∴BO → ＝ 2 3 BD → ＝ 2 3 × 1 2 (BA → ＋BC → )＝ 1 3 1 2 ， 3 2 ＋(4，0)＝ 3 2 ， 3 6 ．∴BO → ·AC → ＝ 3 2 ， 3 6 · 7 2 ，－ 3 2 ＝5． 15．已知O是△ABC的外心，|AB → |＝4，|AC → |＝2，则AO → ·(AB → ＋AC → )＝() A．10B．9C．8D．6 15．答案A解析作OS⊥AB，OT⊥AC∵O为△ABC的外接圆圆心．∴S、T为AB，AC的中点，且AS → ·SO → ＝0，AT → ·TO → ＝0，AO → ＝AS → ＋SO → ，AO → ＝AT → ＋TO → ，∴AO → ·(AB → ＋AC → )＝AO → ·AB → ＋AO → ·AC → ＝(AS → ＋SO → )·AB → ＋(AT → ＋TO → )·AC → ＝AS → ·AB → ＋SO → ·AB → ＋AT → ·AC → ＋TO → ·AC → ＝ 1 2 AB → ·AB → ＋ 1 2 AC → ·AC → ＝ 1 2 |AB → |2＋ 1 2 |AC → |2＝8＋2＝10．故选A． 优解：不妨设∠A＝90°，建立如图所示平面直角坐标系．设B(4，0)，C(0，2)，则O为BC的中点O(2， 1)，∴AB → ＋AC → ＝2AO → ，∴AO → ·(AB → ＋AC → )＝2|AO → |2＝2(4＋1)＝10．故选A． 16．在△ABC中，已知AB → ·AC → ＝ 9 2 ，|AC → |＝3，|AB → |＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则AM → ·AN → 的值是 () A． 11 2 B． 13 2 C．6D．7 16．答案B解析不妨设AM → ＝ 2 3 AB → ＋ 1 3 AC → ，AN → ＝ 1 3 AB → ＋ 2 3 AC → ，所以AM → ·AN → ＝( 2 3 AB → ＋ 1 3 AC → )·( 1 3 AB → ＋ 2 3 AC → ) ＝ 2 9 AB2 → ＋ 5 9 AB → ·AC → ＋ 2 9 AC2 → ＝ 2 9 (AB2 → ＋AC2 → )＋ 5 9 AB → ·AC → ＝ 2 9 ×(32＋32)＋ 5 9 × 9 2 ＝ 13 2 ，故选B． 17．在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA → ·BC → ＝BA → 2，点P是△ABC所在平面内一点，则当PA → 2＋PB → 2＋PC → 2取得 最小值时，AP → ·BC → ＝________． 17．答案－9解析∵BA → ·BC → ＝|BA → |·|BC → |·cosB＝|BA → |2，∴|BC → |·cosB＝|BA → |＝6，∴CA → ⊥AB → ，即A＝ π 2 ， 以A为坐标原点建立如图所示的坐标系， 则B(6，0)，C(0，3)，设P(x，y)，则PA → 2＋PB → 2＋PC → 2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋ 3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]∴当x＝2，y＝1时，PA → 2＋PB → 2＋PC → 2取得最小值，此时P(2，1)， AP → ＝(2，1)，此时AP → ·BC → ＝(2，1)·(－6，3)＝－9． 18．已知在△ABC所在平面内有两点P，Q，满足PA → ＋PC → ＝0，QA → ＋QB → ＋QC → ＝BC → ，若|AB → |＝4，|AC → |＝2， S△APQ ＝ 2 3 ，则AB → ·AC → 的值为______． 18．答案±43解析由PA → ＋PC → ＝0知，P是AC的中点，由QA → ＋QB → ＋QC → ＝BC → ，可得QA → ＋QB → ＝BC → － QC → ，即QA → ＋QB → ＝BQ → ，即QA → ＝2BQ → ，∴Q是AB边靠近B的三等分点，∴S△APQ ＝ 2 3 × 1 2 ×S△ABC ＝ 1 3 S△ABC ， ∴S△ABC ＝3S△APQ ＝3× 2 3 ＝2．∵S△ABC ＝ 1 2 |AB → ||AC → |sinA＝ 1 2 ×4×2×sinA＝2，∴sinA＝ 1 2 ，∴cosA＝± 3 2 ， ∴AB → ·AC → ＝|AB → ||AC → |·cosA＝±43． 19．(2013·全国Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 AE · BD ＝________． 19．答案2解析因为 AE ＝ AD ＋ 1 2 AB ， BD ＝ AD － AB ，所以 AE · BD ＝( AD ＋ 1 2 AB )·( AD － AB ) ＝ AD2－ 1 2 AD · AB － 1 2 AB2＝2． 20．已知平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，∠DAB＝60°，则AC → ·AB → ＝() A．1B．3C．2D．23 20．答案C解析因为AC → ＝AB → ＋AD → ，所以AC → ·AB → ＝(AB → ＋AD → )·AB → ＝|AB → |2＋AD → ·AB → ＝1＋|AD → ||AB → |cos60° ＝2． 21．在平行四边形ABCD中，|AB → |＝8，|AD → |＝6，N为DC的中点，BM → ＝2MC → ，则AM → ·NM → ＝() A．48B．36C．24D．12 21．答案C解析AM → ·NM → ＝(AB → ＋BM → )·(NC → ＋CM → )＝(AB → ＋ 2 3 AD → )·( 1 2 AB → － 1 3 AD → )＝ 1 2 AB → 2－ 2 9 AD → 2＝ 1 2 ×82－ 2 9 ×62＝24． 22．设四边形ABCD为平行四边形，|AB → |＝6，|AD → |＝4，若点M，N满足BM → ＝3MC → ，DN → ＝2NC → ，则AM → ·NM → 等于() A．20B．15C．9D．6 22．答案C解析AM → ＝AB → ＋ 3 4 AD → ，NM → ＝CM → －CN → ＝－ 1 4 AD → ＋ 1 3 AB → ，∴AM → ·NM → ＝ 1 4 (4AB → ＋3AD → )· 1 12 (4AB → － 3AD → )＝ 1 48 (16AB → 2－9AD → 2)＝ 1 48 (16×62－9×42)＝9，故选C． 23．在四边形ABCD中，AB → ＝DC → ，P为CD上一点，已知|AB → |＝8，|AD → |＝5，AB → 与AD → 的夹角为θ，且cosθ ＝ 11 20 ，CP → ＝3PD → ，则AP → ·BP → ＝________． 23．答案2解析∵AB → ＝DC → ，∴四边形ABCD为平行四边形，又CP → ＝3PD → ，∴AP → ＝AD → ＋DP → ＝AD → ＋ 1 4 AB → ，BP → ＝BC → ＋CP → ＝AD → － 3 4 AB → ，又|AB → |＝8，|AD → |＝5，cosθ＝ 11 20 ，∴AD → ·AB → ＝8×5× 11 20 ＝22，∴AP → ·BP → ＝(AD → ＋ 1 4 AB → )·(AD → － 3 4 AB → )＝|AD → |2－ 1 2 AD → ·AB → － 3 16 |AB → |2＝52－11－ 3 16 ×82＝2． 25．在平面四边形ABCD中，|AC|＝3，|BD|＝4，则(AB → ＋DC → )·(BC → ＋AD → )＝________． 25．答案－7解析∵在平面四边形ABCD中，|AC|＝3，|BD|＝4，∴AB → ＋DC → ＝AC → ＋CB → ＋DB → ＋BC → ＝AC → ＋DB → ＝AC → －BD → ，BC → ＋AD → ＝BD → ＋DC → ＋AC → ＋CD → ＝AC → ＋BD → ，∴(AB → ＋DC → )·(BC → ＋AD → )＝(AC → －BD → )(AC → ＋ BD ―→ )＝AC → 2－BD → 2＝9－16＝－7． 26．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，DC → ＝ 1 3 AB → ，AC与BD相交于点O，E是BD的中点，若AO → ·AE → ＝8，则AC → ·BD → ＝() A．－9B．－ 29 3 C．－10D．－ 32 3 26．答案解析由DC → ＝ 1 3 AB → ，可得DC∥AB，且DC＝2，则△AOB∽△COD，AO → ＝ 3 4 AC → ＝ 3 4 (AD → ＋ 1 3 AB → ) ＝ 3 4 AD → ＋ 1 4 AB → ，又E是BD的中点，所以AE → ＝ 1 2 AD → ＋ 1 2 AB → ，则AO → ·AE → ＝( 3 4 AD → ＋ 1 4 AB → )( 1 2 AD → ＋ 1 2 AB → )＝ 3 8 AD2 → ＋ 1 8 AB2 → ＋ 1 2 AD → ·AB → ＝ 3 2 ＋ 9 2 ＋ 1 2 AD → ·AB → ＝8，则AD → ·AB → ＝4，则AC → ·BD → ＝(AD → ＋ 1 3 AB → )·(AD → － 1 3 AB → )＝AD2 → － 1 3 AB2 → － 2 3 AD → ·AB → ＝4－ 1 3 ×36－ 2 3 ×4＝－ 32 3 ． 27．设△ABC的外接圆的圆心为P，半径为3，若PA → ＋PB → ＝CP → ，则PA → ·PB → ＝() A．－ 9 2 B．－ 3 2 C．3D．9 27．答案A解析由题意PA → ＋PB → ＝CP → ，△ABC的外接圆的圆心为P，半径为3，故PA → ，PB → 两向量的和 向量的模是3，由向量加法的平行四边形法则知，PA → ，PB → 的夹角为120°，所以PA → ·PB → ＝3×3×cos120° ＝9× － 1 2 ＝－ 9 2 ．故选A． 28．如图，B，D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB＝t＋1，AD＝t＋2，则AC → ·BD → ＝() A．1B．2C．tD．2t 28．答案A解析因为BD → ＝AD → －AB → ，所以AC → ·BD → ＝AC → ·(AD → －AB → )＝AC → ·AD → －AC → ·AB → ＝|AC → |·|AD → |cos∠ CAD－|AC → |·|AB → |cos∠CAB．又AC为圆的直径，所以连接BC，DC(图略)，则∠ADC＝∠ABC＝ π 2 ，所 以cos∠CAD＝ |AD → | |AC → | ，cos∠CAB＝ |AB → | |AC → | ，则AC → ·BD ―→ ＝|AD → |2－|AB → |2＝t＋2－(t＋1)＝1，故选A． 考点二已知平面向量数量积，求参数的值或判断多边形的形状 【例题选讲】 [例1](1)在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2．设点P，Q满足 AP ＝λ AB ，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R．若 BQ· CP ＝－2，则λ等于() A． 1 3 B． 2 3 C． 4 3 D．2 答案B解析BQ → ＝AQ → －AB → ＝(1－λ)AC → －AB → ，CP → ＝AP → －AC → ＝λAB → －AC → ，BQ → ·CP → ＝(λ－1)AC → 2－λAB → 2＝4(λ－1)－λ＝3λ－4＝－2，即λ＝ 2 3 ． (2)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足 AP ＝λ AB ，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R，若BQ·CP ＝－ 3 2 ，则λ＝() A． 1 2 B． 1±2 2 C． 1±10 2 D． －3±22 2 答案A解析∵BQ＝AQ－ AB ＝(1－λ)AC－ AB ，CP＝ AP －AC＝λ AB －AC，又BQ·CP ＝－ 3 2 ，| AB |＝|AC|＝2，A＝60°， AB ·AC＝| AB |·|AC|cos60°＝2，∴[(1－λ)AC－ AB ]·(λ AB －AC) ＝－ 3 2 ，即λ| AB |2＋(λ2－λ－1) AB ·AC＋(1－λ)|AC|2＝ 3 2 ，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝ 3 2 ，解得λ＝ 1 2 ． (3)已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD＝30°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF．若 AE → ·BF → ＝－9，则λ的值为() A．2B．3C．4D．5 答案B解析依题意得AE → ＝AB → ＋BE → ＝ 1 2 BC → －BA → ，BF → ＝BC → ＋ 1 λ BA → ，因此AE → ·BF → ＝( 1 2 BC → －BA → )(BC → ＋ 1 λ BA → )＝ 1 2 BC → 2－ 1 λ BA → 2＋ 1 2λ －1 BC → ·BA → ，于是有 1 2 － 1 λ ×62＋ 1 2λ －1 ×62×cos60°＝－9．由此解得λ＝3，故选B． (4)已知菱形ABCD边长为2，∠B＝ π 3 ，点P满足AP → ＝λAB → ，λ∈R，若BD → ·CP → ＝－3，则λ的值为() A． 1 2 B．－ 1 2 C． 1 3 D．－ 1 3 答案A解析法一：由题意可得BA → ·BC → ＝2×2cos π 3 ＝2，BD → ·CP → ＝(BA → ＋BC → )·(BP → －BC → )＝(BA → ＋ BC → )·[(AP → －AB → )－BC → ]＝(BA → ＋BC → )·[(λ－1)·AB → －BC → ]＝(1－λ)BA → 2－BA → ·BC → ＋(1－λ)BA → ·BC → －BC → 2＝(1－λ)·4－2 ＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝ 1 2 ，故选A． 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，C(1，3)，D(－1，3)．令P(x，0)，由BD → ·CP → ＝(－3，3)·(x－1，－3)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3得x＝1．∵AP → ＝λAB → ，∴λ＝ 1 2 ．故选A． (5)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB → －OC → )·(OB → ＋OC → －2OA → )＝0，则△ABC的形状为() A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形 答案C解析因为(OB → －OC → )·(OB → ＋OC → －2OA → )＝0，即CB → ·(AB → ＋AC → )＝0，因为AB → －AC → ＝CB → ，所以 (AB → －AC → )·(AB → ＋AC → )＝0，即|AB → |＝|AC → |，所以△ABC是等腰三角形，故选C． (6)若△ABC的三个内角A，B，C的度数成等差数列，且(AB → ＋AC → )·BC → ＝0，则△ABC一定是() A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形 答案C解析因为(AB → ＋AC → )·BC → ＝0，所以(AB → ＋AC → )·(AC → －AB → )＝0，所以AC → 2－AB → 2＝0，即|AC → |＝|AB → |，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，A＋B＋C＝3B＝π，所以B＝ π 3 ，故△ABC是等边三角形． (7)平面四边形ABCD中，AB → ＋CD → ＝0，(AB → －AD → )·AC → ＝0，则四边形ABCD是() A．矩形B．正方形C．菱形D．梯形 答案C解析因为AB → ＋CD → ＝0，所以AB → ＝－CD → ＝DC → ，所以四边形ABCD是平行四边形．又(AB → － AD → )·AC → ＝DB → ·AC → ＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形． (8)已知平面向量a＝(x 1 ，y 1 )，b＝(x 2 ，y 2 )，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6．则 x 1 ＋y 1 x 2 ＋y 2 的值为() A． 2 3 B．－ 2 3 C． 5 6 D．－ 5 6 答案B解析由已知得，向量a＝(x 1 ，y 1 )与b＝(x 2 ，y 2 )反向，3a＋2b＝0，即3(x 1 ，y 1 )＋2(x 2 ，y 2 ) ＝(0，0)，得x 1 ＝－ 2 3 x 2 ，y 1 ＝－ 2 3 y 2 ，故 x 1 ＋y 1 x 2 ＋y 2 ＝－ 2 3 ． 考点三平面向量数量积的最值(范围)问题 【方法总结】 数量积的最值或范围问题的2种求解方法 (1)几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． (2)代数法：即目标函数法，将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用 三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围． 【例题选讲】 [例1](1)若a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最大值为________． 答案1＋2解析依题意可设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(cosθ，sinθ)，则(a－c)·(b－c)＝1－(sinθ ＋cosθ)＝1－2sin θ＋ π 4 ，所以(a－c)·(b－c)的最大值为1＋2． (2)(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2．若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a·b的最 大值是________． 答案 1 2 解析由已知可得6≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|，由于上式对任意单位向量e都成 立．∴6≥|a＋b|成立．∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b．即6≥5＋2a·b，∴a·b≤ 1 2 ．∴a·b的 最大值为 1 2 ． (3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA → ·(PB → ＋PC → )的最小 值是() A．－2B．－ 3 2 C．－ 4 3 D．－1 答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)， B(－1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)， 图① 则PA → ＝(－x，3－y)，PB → ＝(－1－x，－y)，PC → ＝(1－x，－y)，∴PA → ·(PB → ＋PC → )＝(－x，3－y)·(－2x， －2y)＝2(x2＋y2－3y)＝2 x2＋ y－ 3 2 2－ 3 4 ≥2× － 3 4 ＝－ 3 2 ．当且仅当x＝0，y＝ 3 2 时，PA → ·(PB → ＋PC → )取 得最小值，最小值为－ 3 2 ．故选B． 方法二(几何法)如图②所示，PB → ＋PC → ＝2PD → (D为BC的中点)，则PA → ·(PB → ＋PC → )＝2PA → ·PD → ． 图② 要使PA → ·PD → 最小，则PA → 与PD → 方向相反，即点P在线段AD上，则(2PA → ·PD → ) min ＝－2|PA → ||PD → |，问题转化 为求|PA → ||PD → |的最大值．又当点P在线段AD上时，|PA → |＋|PD → |＝|AD → |＝2× 3 2 ＝3，∴|PA → ||PD → |≤ |PA → |＋|PD → | 2 2＝ 3 2 2＝ 3 4 ，∴[PA → ·(PB → ＋PC → )] min ＝(2PA → ·PD → ) min ＝－2× 3 4 ＝－ 3 2 ．故选B． (4)已知AB → ⊥AC → ，|AB → |＝ 1 t ，|AC → |＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP → ＝ AB → |AB → | ＋ 4AC → |AC → | ，则PB → ·PC → 的最大值等于() A．13B．15C．19D．21 答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B 1 t ，0 ，C(0，t)，AB → ＝ 1 t ，0 ，AC → ＝(0，t)， AP → ＝ AB → |AB → | ＋ 4AC → |AC → | ＝t 1 t ，0 ＋ 4 t (0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB → ·PC → ＝ 1 t －1，－4 ·(－1，t－4)＝17－ 1 t ＋4t ≤17 －2 1 t ·4t＝13，当且仅当t＝ 1 2 时等号成立．∴PB → ·PC → 的最大值等于13． (5)如图，已知P是半径为2，圆心角为 π 3 的一段圆弧AB上的一点，若AB → ＝2BC → ，则PC → ·PA → 的最小值为 _____． 答案5－213解析以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所 在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，3)，C(2，3)，设P(2cosθ，2sinθ) π 3 ≤θ≤ 2π 3 ， 则PC → ·PA → ＝(2－2cosθ，3－2sinθ)·(－1－2cosθ，3－2sinθ)＝5－2cosθ－43sinθ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0 3 6 < 3 3 ，所以0<φ< π 6 ，当θ＝ π 2 －φ时，PC → ·PA → 取得最小值，为5－213． 另解：设圆心为O，AB的中点为D，由题得AB＝2×2×sin π 6 ＝2，∴AC＝3．取AC的中点M，由题得 PA → ＋PC → ＝2PM → ， PC → －PA → ＝AC → ， 两方程平方相减并化简得PC → ·PA → ＝PM → 2－ 1 4 AC → 2＝PM → 2－ 9 4 ，要使PC → ·PA → 取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵ 的圆心与点P，M共线时，PM最小．易知DM＝ 1 2 ，∴OM＝ 1 2 2 ＋(3)2＝ 13 2 ，所以 PM有最小值为2－ 13 2 ，代入求得PC → ·PA → 的最小值为5－213． (6)(2020·天津)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD → ＝λBC → ，AD → ·AB → ＝－ 3 2 ，则 实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|MN → |＝1，则DM → ·DN → 的最小值为________． 答案 1 6 13 2 解析因为AD → ＝λBC → ，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，所以AD → ·AB → ＝|AD → |·|AB → |·cos120° ＝－ 3 2 ，解得|AD → |＝1．因为AD → ，BC → 同向，且BC＝6，所以AD → ＝ 1 6 BC → ，即λ＝ 1 6 ．在四边形ABCD中，作AO ⊥BC于点O，则BO＝AB·cos60°＝ 3 2 ，AO＝AB·sin60°＝ 33 2 ．以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分 别为x，y轴建立平面直角坐标系．如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧， 则N(a＋1，0)，且－ 3 2 ≤a≤ 7 2 ．又D 1， 33 2 ，所以DM → ＝ a－1，－ 33 2 ，DN → ＝ a，－ 33 2 ，所以DM → ·DN → ＝a2－a＋ 27 4 ＝ a－ 1 2 2＋ 13 2 ．所以当a＝ 1 2 时，DM → ·DN → 取得最小值 13 2 ． (7)(2020·新高考Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP → ·AB → 的取值范围是() A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6) 答案A解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2， 0)，C(3，3)，F(－1，3)．设P(x，y)，则AP → ＝(x，y)，AB → ＝(2，0)，且－1 → ·AB → ＝(x，y)·(2， 0)＝2x∈(－2，6)． 另解AB → 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP → 在AB → 方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结 合向量数量积的定义式，可知AP → ·AB → 等于AB → 的模与AP → 在AB → 方向上的投影的乘积，所以AP → ·AB → 的取值范围是 (－2，6)，故选A． (8)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则(PA → ＋PB → )·PC → 的最小值为________． 答案－ 9 2 解析∵圆心O是直径AB的中点，∴PA → ＋PB → ＝2PO → ，∴(PA → ＋PB → )·PC → ＝2PO → ·PC → ，∵|PO → |＋|PC → |＝3≥2|PO → |·|PC → |，∴|PO → |·|PC → |≤ 9 4 ，即(PA → ＋PB → )·PC → ＝2PO → ·PC → ＝－2|PO → |·|PC → |≥－ 9 2 ，当且仅当|PO → |＝|PC → |＝ 3 2 时，等号成立，故最小值为－ 9 2 ． 【对点训练】 1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，点P满足CP＝2，则PA → ·PB → 的最大值为() A．9B．16C．18D．25 1．答案B解析∵∠C＝90°，AB＝6，∴CA → ·CB → ＝0，∴|CA → ＋CB → |＝|CA → －CB → |＝|BA → |＝6，∴PA → ·PB → ＝ (PC → ＋CA → )·(PC → ＋CB → )＝PC → 2＋PC → ·(CA → ＋CB → )＋CA → ·CB → ＝PC → ·(CA → ＋CB → )＋4，∴当PC → 与CA → ＋CB → 方向相同时， PC → ·(CA → ＋CB → )取得最大值2×6＝12，∴PA → ·PB → 的最大值为16． 2．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且 满足|MN → |＝2，则BM → ·BN → 的取值范围为() A． 3 2 ，2 B． 3 2 ，2 C． 3 2 ，2 D． 3 2 ，＋∞ 2．答案C解析以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直 角坐标系如图所示，则B(0，0)，直线AC的方程为x＋y＝2，设M(a，2－a)，则0＜a＜1，N(a＋1，1 －a)，∴BM → ＝(a，2－a)，BN → ＝(a＋1，1－a)，∴BM → ·BN → ＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2，∵0＜a ＜1，∴当a＝ 1 2 时，BM → ·BN → 取得最小值 3 2 ，又BM → ·BN → ＜2，故BM → ·BN → 的取值范围为 3 2 ，2 ． 3．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动， 则ME → ·MC → 的取值范围是() A． 7 16 ， 1 2 B． 7 16 ，1 C． 1 2 ，1 D．[0，1] 3．答案B解析如图，以A为坐标原点，AC，AB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(0，1)，C(1，0)，E 1 2 ， 1 2 ．设M(0，m)(0≤m≤1)，则ME → ＝ 1 2 ， 1 2 －m ，MC → ＝(1，－m)．ME → ·MC → ＝ 1 2 －m 1 2 －m ＝m2－ 1 2 m＋ 1 2 ＝ m－ 1 4 2＋ 7 16 ，由于m∈[0，1]，则当m＝ 1 4 时，ME → ·MC → 取得最小值 7 16 ； 当m＝1时，ME → ·MC → 取得最大值1．所以ME → ·MC → 的取值范围是 7 16 ，1 ． 4．在△ABC中，满足AB → ⊥AC → ，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且|AB → |＝|AC → |＝2，则OA → ·(OB → ＋OC → )的最小值为________． 4．答案－ 1 2 解析∵|AB → |＝|AC → |＝2，∴|AM → |＝1．设|OA → |＝x，则|OM → |＝1－x，而OB → ＋OC → ＝2OM → ，∴ OA → ·(OB → ＋OC → )＝2OA → ·OM → ＝2|OA → |·|OM → |cosπ＝－2x(1－x)＝2x2－2x＝2 x－ 1 2 2－ 1 2 ，当且仅当x＝ 1 2 时， OA → ·(OB → ＋OC → )取得最小值，最小值为－ 1 2 ． 5．已知在△ABC中，AB＝4，AC＝2，AC⊥BC，D为AB的中点，点P满足AP → ＝ 1 a AC → ＋ a－1 a AD → ，则PA → ·(PB → ＋PC → )的最小值为() A．－2B．－ 28 9 C．－ 25 8 D．－ 7 2 5．答案C解析由AP → ＝ 1 a AC → ＋ a－1 a AD → 知点P在直线CD上，以点C为坐标原点，CB所在直线为x 轴，CA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(0，2)，B(23，0)，D(3， 1)，∴直线CD的方程为y＝ 3 3 x，设P x， 3 3 x ，则PA → ＝ －x，2－ 3 3 x ，PB → ＝ 23－x，－ 3 3 x ，PC → ＝ －x，－ 3 3 x ，∴PB → ＋PC → ＝ 23－2x，－ 23 3 x ，∴PA → ·(PB → ＋PC → )＝－x(23－2x)＋ 2 3 x2－ 43 3 x＝ 8 3 x2 － 103 3 x＝ 8 3 x－ 53 8 2－ 25 8 ，∴当x＝ 53 8 时，PA → ·(PB → ＋PC → )取得最小值－ 25 8 ． 6．如图，线段AB的长度为2，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，以线段AB为一边， 在第一象限内作等边三角形ABC，O为坐标原点，则OC → ·OB → 的取值范围是________． 6．答案(0，3]解析设∠BAO＝θ，θ∈(0°，90°)，则B(0，2sinθ)，C(2cosθ＋2cos(120°－θ)，2sin(120° －θ))，则OC → ·OB → ＝(0，2sinθ)·(2cosθ＋2cos(120°－θ)，2sin(120°－θ))＝2sinθ·2sin(120°－θ)＝23sinθcos θ＋2sin2θ＝2sin(2θ－30°)＋1．因为θ∈(0°，90°)，所以OC → ·OB → ∈(0，3]． 7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 DE · CB 的值为________； DE · DC 的最大 值为________． 7．答案11解析方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)， B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE → ＝(t，－1)，CB → ＝(0，－1)，所以DE → ·CB → ＝(t， －1)·(0，－1)＝1．因为DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC → ＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，故DE → ·DC → 的最大值为1． 方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE → 在CB → 方向上的投影都是CB＝1，∴DE → ·CB → ＝|CB → |·1＝1，当 E运动到B点时，DE → 在DC → 方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE → ·DC → ) max ＝|DC → |·1＝1． 8．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC· EM 的取值范围是() A． 1 2 ，2 B． 0， 3 2 C． 1 2 ， 3 2 D．[]0，1 8．答案C解析将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1．又M 1， 1 2 ，C(1， 1)，所以 EM ＝ 1－x， 1 2 ，EC＝(1－x，1)，所以 EM ·EC＝ 1－x， 1 2 ·(1－x，1)＝(1－x)2＋ 1 2 ．因为 0≤x≤1，所以 1 2 ≤(1－x)2＋ 1 2 ≤ 3 2 ，即 EM ·EC的取值范围是 1 2 ， 3 2 ． 9．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E从点D出发，按字母顺序D→A→B→C沿线段DA， AB，BC运动到点C，在此过程中DE → ·CD → 的取值范围为________． 9．答案[－1，0]解析以BC，BA所在的直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得 A(0，1)，B(0，0)，C(1，0)，D(1，1)．当E在DA上时，设E(x，1)，其中0≤x≤1，∵DE → ＝(x－1，0)， CD → ＝(0，1)，∴DE → ·CD → ＝0；当E在AB上时，设E(0，y)，其中0≤y≤1，∵DE → ＝(－1，y－1)，CD → ＝(0， 1)，∴DE → ·CD → ＝y－1(0≤y≤1)，此时DE → ·CD → 的取值范围为[－1，0]；当E在BC上时，设E(x，0)，其中0≤x≤1， ∵DE → ＝(x－1，－1)，CD → ＝(0，1)，∴DE → ·CD → ＝－1．综上所述，DE → ·CD → 的取值范围为[－1，0]． 10．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则 AM ·AN的最大值为________． 10．答案9解析设AN＝λ AB ＋μ AD ，因为N在菱形ABCD内，所以0≤λ≤1，0≤μ≤1． AM ＝ AD ＋ 1 2 DC＝ 1 2 AB ＋ AD ．所以 AM ·AN＝ 1 ) 2 ABAD（＋ ·(λ AB ＋μ AD )＝ λ 2 AB2＋ λ＋ μ 2 AB · AD ＋μ AD 2＝ λ 2 ×4＋ λ＋ μ 2 ×2×2× 1 2 ＋4μ＝4λ＋5μ．所以0≤ AM ·AN≤9，所以当λ＝μ＝1时， AM ·AN有最 大值9，此时，N位于C点． 11．在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，AB → ·AD → ＝－1，点M在边CD上，则MA → ·MB → 的最大值为 ________． 11．答案2解析在平行四边形ABCD中，因为AB＝2，AD＝1，AB → ·AD → ＝－1，点M在边CD上，所 以|AB → |·|AD → |·cosA＝－1，所以cosA＝－ 1 2 ，所以A＝120°，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴， AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 所以A(0，0)，B(2，0)，D － 1 2 ， 3 2 ．设M x， 3 2 ，－ 1 2 ≤x≤ 3 2 ，因为MA → ＝ －x，－ 3 2 ，MB → ＝ 2－x，－ 3 2 ， 所以MA → ·MB → ＝x(x－2)＋ 3 4 ＝x2－2x＋ 3 4 ＝(x－1)2－ 1 4 ．设f(x)＝(x－1)2－ 1 4 ，因为x∈ － 1 2 ， 3 2 ，所以当x ＝－ 1 2 时，f(x)取得最大值2． 12．如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则PA → ·BD → 的 取值范围是() A． － 1 2 ，1 B． －1， 1 2 C．[－1，1]D．[－1，0] 12．答案C解析∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝2．如图所示，过点A作 AO⊥BD，垂足为O，则PA → ＝PO → ＋OA → ，OA → ·BD → ＝0，∴PA → ·BD → ＝(PO → ＋OA → )·BD → ＝PO → ·BD → ．∴当点P与 点B重合时，PA → ·BD → 取得最大值，即PA → ·BD → ＝PO → ·BD → ＝ 1 2 ×2×2＝1；当点P与点D重合时，PA → ·BD → 取 得最小值，即PA → ·BD → ＝－ 1 2 ×2×2＝－1．∴PA → ·BD → 的取值范围是[－1，1]． 13．如图，在等腰梯形ABCD中，已知DC∥AB，∠ADC＝120°，AB＝4，CD＝2，动点E和F分别在线 段BC和DC上，且BE → ＝ 1 2λ BC → ，DF → ＝λDC → ，则AE → ·BF → 的最小值是() A．46＋13B．46－13C．46＋ 13 2 D．46－ 13 2 13．答案B解析在等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，∠ADC＝120°，易得AD＝BC＝2．由动点 E和F分别在线段BC和DC上得， 0< 1 2λ <1， 0<λ<1， 所以 1 2 <λ<1．所以AE → ·BF → ＝(AB → ＋BE → )·(BC → ＋CF → )＝AB → ·BC → ＋BE → ·BC → ＋AB → ·CF → ＋BE → ·CF → ＝|AB → |·|BC → |cos120°＋|BE → |·|BC → |－|AB → |·|CF → |＋|BE → |·|CF → |cos60°＝4×2× － 1 2 ＋ 1 λ ×2－4×(1－λ)×2＋ 1 λ ×(1－λ)×2× 1 2 ＝－13＋8λ＋ 3 λ ≥－13＋28λ× 3 λ ＝46－13，当且仅当λ＝ 6 4 时取等 号．所以AE → ·BF → 的最小值是46－13． 14．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E 为边CD上的动点，则AE → ·BE → 的最小值为________． 14．答案 21 16 解析如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°， ∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B 3 2 ， 3 2 ，C(0，3)．设E(0，y)(0≤y≤3)，则AE → ＝ (－1，y)，BE → ＝ － 3 2 ，y－ 3 2 ，所以AE → ·BE → ＝ 3 2 ＋y2－ 3 2 y＝ y－ 3 4 2＋ 21 16 ，所以当y＝ 3 4 时，AE → ·BE → 有 最小值 21 16 ． 15．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且OA → ⊥OB → ，则(OC → －OA → )·(OC → －OB → )的最大值是() A．1＋2B．1－2C．2－1D．1 15．答案A解析如图，作出OD → ，使得OA → ＋OB → ＝OD → ．则(OC → －OA → )·(OC → －OB → )＝OC → 2－OA → ·OC → －OB → ·OC → ＋OA → ·OB → ＝1－(OA → ＋OB → )·OC → ＝1－OD → ·OC → ，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处 时，OD → ·OC → 取得最小值，最小值为－2，此时(OC → －OA → )·(OC → －OB → )取得最大值，最大值为1＋2．故 选A． 16．已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，则a·b的最大值为________． 16．答案－ 5 4 解析不妨设e＝(1，0)，a＝(1，m)，b＝(－2，n)(m，n∈R)，则a＋b＝(－1，m＋n)， 故|a＋b|＝1＋(m＋n)2＝2，所以(m＋n)2＝3，即3＝m2＋n2＋2mn≥2mn＋2mn＝4mn，则mn≤ 3 4 ，所以 a·b＝－2＋mn≤－ 5 4 ，当且仅当m＝n＝ 3 2 时等号成立，所以a·b的最大值为－ 5 4 ．