苏州外国语学校

苏州外国语学校

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2023年2月12日发(作者：)

苏州外国语学校八年级上册期末数学试卷含答案

一、选择题

1

、下列四个图案都由左、右两部分组成，其中能从左边图形经过一次平移或一次旋转或一

次轴对称而形成右边图形的有（）

A

．

4

个

B

．

3

个

C

．

2

个

D

．

1

个

2

、

2021

年

11

月

3

日揭晓的

2020

年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项

是

“

有序介孔高分子和碳材料的创制应用

”

．有序介孔材料是上世纪

90

年代迅速兴起的新型

纳米材料，孔径在

0.000000002

米～

0.000000005

米范围内．数据

0.000000005

用科学记数

法可表示为（）

A

．

5×10-9B

．

5×10-8C

．

5×10-7D

．

0.5×10-7

3

、下列计算正确的是（）

A

．

a3+a3＝

a6B

．（﹣

ab

）3＝﹣

a3b3

C

．

a6÷a2＝

a3D

．

3a+5b

＝

8ab

4

、函数

3

2

x

y

x







中，自变量

x

的取值范围是（）

A

．3xB

．3xC

．3x且2xD

．3x且2x

5

、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是

()

A

．25525xxx

B

．

1025abab

C

．26969xxxx

D

．2

2211xxx

6

、若

a≠b

，则下列分式化简正确的是（）

A

．

2

2

aa

bb







B

．

maa

mbb





C

．

2

2

aa

bb



D

．

2

aba

bb



7

、如图，点

E

，点

F

在直线

AC

上，

AFCE

，

AD∥BC

，若想利用

“AAS”

说明

ADFCBE△△≌，需要添加的条件是（）

A

．

DB

B

．

ACC

．

BEDF

D

．ADCB

8

、若关于

x

的分式方程

2

3

2

xb

x







的解是非负数，则

b

的取值范围是（）

A

．4bB

．6b

C

．6b且4bD

．6b且4b

9

、如图，ABCADE△≌△，

D

在BC边上，35E，30DAC，则BDA的度数为

（）

A

．

35°B

．

40°C

．

50°D

．

65°

二、填空题

10

、如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关

系，可以直观地得到一个关于

a

、b的恒等式为（）．

A

．

22aababB

．2

222abaabb

C

．

224abababD

．2aabaab

11

、当

x

________

时，分式

1

21

x

x





的值为

0

．

12

、若点1,3P

与点1,3Pa





关于

y

轴对称，则

a

为

____________

．

13

、若

0abab

，则分式

11

ba



___________

．

14

、求值：20212022

1

(2021)()

2021

______

．

15

、如图，在边长为

6

，面积为

93

的等边

△ABC

中，

N

为线段

AB

上的任意一点，

∠BAC

的平分线交

BC

于点

D

，

M

是

AD

上的动点，连结

BM

、

MN

，则

BM+MN

的最小值是

_______

16

、一个正多边形的内角和等于

540°

，则它的边数是

______

．

17

、若

x

＋

y

＝

3

，

x

y

＝

2

，则

x2＋

y2=_______

．

18

、如图，已知

AB

＝

12m

，

CA⊥AB

于点

A

，

DB⊥AB

于点

B

，且

AC

＝

4m

，点

P

从点

B

向

点

A

运动，每分钟走

1m

，点

Q

从点

B

向点

D

运动，每分钟走

2m

．若

P

，

Q

两点同时出

发，运动

_____

分钟后，△

CAP

与△

PQB

全等．

三、解答题

19

、因式分解：

(1)x3y

﹣

xy3；

(2)

（

x

＋

2

）（

x

＋

4

）＋

x2﹣

4

20

、先化简，再求值：

2

11

1

244

x

xxx













，选择一个你喜欢的数代入求值．

21、如图，在

△ABC

和

△ABD

中，

AC

与

BD

相交于点

E

，

AC

＝

BD

，

∠BAC

＝

∠ABD

．求证：

∠C

＝

∠D

．

22

、

Rt

△

ABC

中，

∠C

＝

90°

，点

D

、

E

分别是△

ABC

边

AC

、

BC

上的点，点

P

是一动点．令

∠PDA

＝

∠1

，

∠PEB

＝

∠2

，

∠DPE

＝

∠α

．

（

1

）若点

P

在线段

AB

上，如图（

1

）所示，且

∠α

＝

50°

，则

∠1+∠2

＝

°

；

（

2

）若点

P

在边

AB

上运动，如图（

2

）所示，则

∠α

、

∠1

、

∠2

之间有何关系？

（

3

）若点

P

在

Rt

△

ABC

斜边

BA

的延长线上运动（

CE

＜

CD

），则

∠α

、

∠1

、

∠2

之间有何

关系？猜想并说明理由．

23

、超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品．甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如下

表．

甲乙

进价（元/袋）

m

m－2

售价（元/袋）

2013

已知用

2000

元购进甲种袋装食品的数量与用

1600

元购进乙种袋装食品的数量相同．

(1)

求

m

的值；

(2)

要使购进的甲、乙两种绿色袋装食品共

800

袋，且总利润不少于

4800

元，则该超市至

少购进甲种绿色袋装食品多少袋？

24

、先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公

式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等等，其中十字相乘法在高中应

用较多．

十字相乘法：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数

项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项

系数（如图），如：将式子232xx

和223xx

分解因式，如图：

23212xxxx

；

223123xxxx

．

请你仿照以上方法，探索解决下列问题：

（

1

）分解因式：2712yy

；

（

2

）分解因式：2321xx

．

25

、如图

1

，在平面直角坐标系中，点,0Aa

在

x

轴负半轴上，点

B

在

y

轴正半轴上，设

ABb，且2240ba

．

（

1

）直接写出BAO的度数．

（

2

）如图

2

，点

D

为

AB

的中点，点

P

为

y

轴负半轴上一点，以

AP

为边作等边三角形

APQ

，连接

DQ

并延长交

x

轴于点

M

，若6AB，求点

M

的坐标．

（

3

）如图

3

，点

C

与点

A

关于

y

轴对称，点

E

为

OC

的中点，连接

BE

，过点

B

作

CBFAEB，且

BFBE

，连接

AF

交

BC

于点

P

，求

BP

CP

的值．

一、选择题

1

、

B

【解析】

B

【分析】根据旋转变换，平移变换，轴对称变换的定义一一判断即可．

【详解】解：第一个图，左边的图形可以通过一次旋转得到右边的图形，

第二个图，左边的图形可以通过一次轴对称得到右边的图形，

第三个图，左边的图形可以通过一次平移得到右边的图形，

第四个图，不能通过一次平移或一次旋转或一次轴对称变换得到．

故选：

B

．

【点睛】本题考查了平移变换，轴对称变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，

灵活运用所学知识解决问题．

2

、

A

【解析】

A

【分析】绝对值小于

1

的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为

a×10-n

，与较大数

的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数

字前面的

0

的个数所决定．

【详解】解：数据

0.000000005

用科学记数法表示为

5×10-8、

故选：

A

．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为

a×10-n

，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为

由原数左边起第一个不为零的数字前面的

0

的个数所决定．

3

、

B

【解析】

B

【分析】根据合并同类项的运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则逐项

判断即可解答．

【详解】解：

A

、

a3+a3＝

2a3，故选项

A

计算错误，不符合题意；

B

、（﹣

ab

）3＝﹣

a3b3，故选项

B

计算正确，符合题意；

C

、

a6÷a2＝

a4，故选项

C

计算错误，不符合题意；

D

、

3a

与

5b

不是同类项，不能合并，故选项

D

计算错误，不符合题意，

故选：

B

．

【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答的

关键．

4

、

D

【解析】

D

【分析】根据二次根式与分式有意义的条件列出不等式组即可求解．

【详解】解：由题意得：

x+3≥0

且

2+x≠0

，

∴x≥-3

且

x≠-2

，

故选：

D

．

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式与分式有意义的条件是解

题的关键．

5

、

D

【解析】

D

【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．

【详解】解：

A.25525xxx

，不是因式分解，不符合题意，

B.1025abab

，不是因式分解，不符合题意，

C.26969xxxx

，不是因式分解，不符合题意，

D.2

2211xxx，是因式分解，符合题意，

故选：

D

．

【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形

式．

6

、

D

【解析】

D

【分析】根据分式的基本性质逐一分析即可得到答案．

【详解】解：

∵a≠b,

∴

2

2

aa

bb







，原变形不符合分式的基本性质，故

A

不符合题意；





maa

mbb

，原变形不符合分式的基本性质，故

B

不符合题意；

2

2

aa

bb



，原变形不符合分式的基本性质，故

C

不符合题意；

2

aba

bb



，根据分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，所以正

确；故

D

符合题意；

故选：

D

【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握

“

分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零

的数或整式，分式的值不变

”

是解题的关键．

7

、

A

【解析】

A

【分析】根据

AD∥BC

，可得

∠A=∠C

，再根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．

【详解】解：

∵AD∥BC

，

∴∠A=∠C

，

∵AFCE，

∴A

、添加

DB

，可利用

AAS

说明ADFCBE△△≌，故本选项符合题意；

B

、添加

AC

，不能说明ADFCBE△△≌，故本选项不符合题意；

C

、添加

BEDF

，不能说明ADFCBE△△≌，故本选项不符合题意；

D

、添加ADCB，可利用

SAS

说明ADFCBE△△≌，故本选项不符合题意；

故选：

A

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是

解题的关键．

8

、

D

【解析】

D

【分析】先解分式方程，用含

b

的代数式表示出解，令分式方程的解60b，再根据分

母不为零，还可得

62b

，联立求解即可．

【详解】解：等号两边同时乘以2x

，可得

236xbx

，

解得

6xb

，

∵

分式方程

2

3

2

xb

x







的解是非负数，

∴60b且62b，

解得6b且4b，

故选：

D

．

【点睛】本题考查解分式方程，解含参的分式方程时，一定要注意保证最简公分母不为

零．

9

、

D

【解析】

D

【分析】由

ABCADE△≌△

可知

35EC

，BDA是

△ADC

的一个外角，已知与它

不相邻的两个内角，即可求出BDA的度数．

【详解】

∵ABCADE△≌△

∴35EC

∵

在

△ADC

中，30DAC，35C

∴BDA=30°+35°=65°

故选：

D

【点睛】本题只要你考查了三角形的全等的性质，掌握全等三角形对应角相等以及三角形

的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．

二、填空题

10

、

C

【解析】

C

【分析】根据图形特点，利用等面积法分别表示阴影部分的面积，结合完全平方公式可得

出结论．

【详解】方法一：阴影部分的面积为：2ab

，

方法二：阴影部分的面积为：24abab

，

∴

根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于

a

、

b

的恒等式为

224ababab．

故选：

C

．

【点睛】本题考查完全平方公式与图形面积的关系，熟练掌握完全平方公式是关键．

11

、

1

【分析】由分式的值为

0

，可得

10

210

x

x

，再解方程与不等式即可

.

【详解】解：分式

1

21

x

x





的值为

0

，

10

210

x

x

①

②

由

①

得：

1,x

由

②

得：

1

,

2

x

综上：

1,x

故答案为：

1

【点睛】本题考查的是分式的值为

0

的条件，掌握

“

分式的值为

0

的条件：分子为

0

，分母

不为

0”

是解题的关键

.

12

、

0

【分析】根据关于

y

轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可．

【详解】解：

∵

点

P(−1

，

3)

与点

P′(a+1

，

3)

关于

y

轴对称，

∴-1+a+1=0

，

解得：

a=0

，

故答案为：

0

．

【点睛】题目主要考查关于

y

轴对称的点的特点，熟练掌握关于坐标轴对称的特点是解题

关键．

13

、

1

【分析】利用分式的减法运算将原式写成

ab

ab



，即可得到结果．

【详解】解：

11abab

baababab





，

∵0abab，

∴

原式

1

abab

abab





．

故答案是：

1

．

【点睛】本题考查分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．

14

、

1

2021

【分析】对所求的式子进行变形后，逆用积的乘方的法则运算即可．

【详解】解：20212022

1

(2021)()

2021



＝20212021

11

(2021)()

20212021



＝2021

11

(2021)

20212021



＝2021

1

1

2021



＝

1

1

2021



＝

1

2021

故答案为：

1

2021

．

【点睛】此题主要考查积的乘方，解题的关键是熟记积的乘方法则并逆用法则．

15

、【分析】由等边三角形的对称性得到

MC=BM

，再利用垂线段最段解题．

【详解】解：过点

C

作于点

N

，

平分

∠BAC

，

△ABC

为等边三角形，

BM+MN

，

当时，最小

等边

△ABC

面积为，边长为

6

，

【解析】

33

【分析】由等边三角形的对称性得到

MC=BM

，再利用垂线段最段解题．

【详解】解：过点

C

作

CNAB

于点

N

，

BD平分

∠BAC

，

△ABC

为等边三角形，

BMMC



BM+MNMCMN，

当

CNAB

时，

=MCMNCN

最小

等边

△ABC

面积为

93

，边长为

6

，

293

==33

6

CN





故答案为：33．

【点睛】本题考查轴对称

—

最短路径问题、等边三角形的性质等知识，是重要考点，掌握

相关知识是解题关键．

16

、

5

【分析】根据

n

边形的内角和为（

n-2

）

•180°

得到（

n-2

）

•180°=540°

，然后解

方程即可．

【详解】解：设这个多边形的边数为

n

，

∴

（

n-2

）

•180°=540°

，

∴n=4

、

故答案

【解析】

5

【分析】根据

n

边形的内角和为（

n-2

）

•180°

得到（

n-2

）

•180°=540°

，然后解方程即可．

【详解】解：设这个多边形的边数为

n

，

∴

（

n-2

）

•180°=540°

，

∴n=4

、

故答案为：

4

、

【点睛】本题考查了多边行的内角和定理，掌握

n

边形的内角和为（

n-2

）

•180°

是解决此

题关键．

17

、

5

【分析】根据完全平方公式的变式进行求解即可．

【详解】解：

∵x

＋

y

＝

3

，

xy

＝

2

，

∴x2

＋

y2=(x+y)2-2xy

=32-2×2

=9-5

=5

，

故答案为：

4

、

【点睛】本题考查利用完全

【解析】

5

【分析】根据完全平方公式的变式进行求解即可．

【详解】解：

∵x

＋

y

＝

3

，

xy

＝

2

，

∴x2＋

y2=(x+y)2-2xy

=32-2×2

=9-5

=5

，

故答案为：

4

、

【点睛】本题考查利用完全平方公式的变形求代数式的值，解题关键是掌握完全平方公及

其变式．

18

、

4

【分析】根据题意

CA⊥AB

，

DB⊥AB

，则，则分或两种情况讨论，根据路程等

于速度乘以时间求得的长，根据全等列出一元一次方程解方程求解即可

【详解】解：

CA⊥AB

，

DB⊥AB

，

点

P

从点

B

向点

A

【解析】

4

【分析】根据题意

CA⊥AB

，

DB⊥AB

，则

90AB

，则分

CAPPBQ≌△△

或

CAPQBP≌

两种情况讨论，根据路程等于速度乘以时间求得

,PBBQ

的长，根据全等列出

一元一次方程解方程求解即可

【详解】解：

CA⊥AB

，

DB⊥AB



90AB

，

点

P

从点

B

向点

A

运动，每分钟走

1m

，点

Q

从点

B

向点

D

运动，每分钟走

2m

，设运

动时间为

t

，且

AC

＝

4m

，

,12,2PBtPAABPBtBQt

，

当

CAPPBQ≌△△

时

则

PABQ

，

4PBAC

即

122tt

，

4t

解得

4t

当

CAPQBP≌

时，

则

PAPB

，

4ACQB

即

12tt

，

42t

解得

6t

且2t

不符合题意，故舍去

综上所述

4t

即4分钟后，△

CAP

与△

PQB

全等．

故答案为：4

【点睛】本题考查了三角形全等的性质，根据全等的性质列出方程是解题的关键．

三、解答题

19

、

(1)xy

（

x+y

）（

x

﹣

y

）

(2)2

（

x+2

）（

x+1

）

【分析】（

1

）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解；

（

2

）先根据平方公式因式分解，然后提公因式，即可求解．

(1)

解：原式＝

【解析】

(1)xy

（

x+y

）（

x

﹣

y

）

(2)2

（

x+2

）（

x+1

）

【分析】（

1

）先提公因式

xy

，再根据平方差公式因式分解即可求解；

（

2

）先根据平方公式因式分解，然后提公因式2x

，即可求解．

(1)

解：原式＝22xyxy

xyxyxy

；

(2)

解：原式＝2422xxxx

242xxx

222xx

221xx

．

【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．

20

、化简结果为；代入值为

-2

【分析】先通分，因式分解，然后进行除法运算，最后选取使分式有意义的值

代入求解即可．

【详解】解：

∵

，

∴

当时，原式

∴

化简结果为，值为．

【点睛】本题考查了分式的化简

【解析】化简结果为2x；代入0x值为

-2

【分析】先通分，因式分解，然后进行除法运算，最后选取使分式有意义的值代入求解即

可．

【详解】解：

2

11

1

244

x

xxx













22

21

21

x

x

xx









2x

∵2x，1x

∴

当0x时，原式

2022x

∴

化简结果为2x，值为

2

．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握完全

平方公式与通分．

21

、见解析

【分析】根据

“SAS”

可证明

△ADB≌△BCA

，由全等三角形的性质即可证明

∠C

＝

∠D

．

【详解】证明：在

△ADB

和

△BAC

中，

，

∴△ADB≌△BCA

（

SAS

），

∴∠C

＝

∠D

．

【点睛】

【解析】见解析

【分析】根据

“SAS”

可证明

△ADB≌△BCA

，由全等三角形的性质即可证明

∠C

＝

∠D

．

【详解】证明：在

△ADB

和

△BAC

中，

BDAC

ABDBAC

ABBA

















，

∴△ADB≌△BCA

（

SAS

），

∴∠C

＝

∠D

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性

质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

22

、（

1

）

140

；（

2

）

∠1+∠2

＝

90°+∠α

；（

3

）

∠1

﹣

∠2

＝

∠α

﹣

90°

．理由见

解析．

【分析】（

1

）连接

PC

，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和可得

∠1=∠PCD+∠CPD

，

∠2

【解析】（

1

）

140

；（

2

）

∠1+∠2

＝

90°+∠α

；（

3

）∠

1

﹣∠

2

＝∠

α

﹣

90

°．理由见解

析．

【分析】（

1

）连接

PC

，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得

∠1=∠PCD+∠CPD

，

∠2=∠PCE+∠CPE

，再表示出

∠1+∠2

即可；

（

2

）连接

PC

，方法与（

1

）相同；

（

3

）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解即可．

【详解】解：（

1

）如图，连接

PC

，

由三角形的外角性质，

∠1

＝

∠PCD+∠CPD

，

∠2

＝

∠PCE+∠CPE

，

∴∠1+∠2

＝

∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE

＝

∠DPE+∠ACB

，

∵∠DPE

＝

∠α

＝

50°

，

∠ACB

＝

90°

，

∴∠1+∠2

＝

50°+90°

＝

140°

，

故答案为：140

（

2

）连接

PC

，

由三角形的外角性质，

∠1

＝

∠PCD+∠CPD

，

∠2

＝

∠PCE+∠CPE

，

∴∠1+∠2

＝

∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE

＝

∠DPE+∠ACB

，

∵∠ACB

＝

90°

，

∠DPE

＝

∠α

，

∴∠1+∠2

＝

90°+∠α.

（

3

）如图

1

，由三角形的外角性质，∠

2

＝∠

C+

∠

1+

∠

α

，

∴∠

2

﹣∠

1

＝

90

°

+

∠

α

；

如图

2

，∠

α

＝

0

°，∠

2

＝∠

1+90

°；

如图

3

，∠

2

＝∠

1

﹣∠

α+

∠

C

，

∴∠

1

﹣∠

2

＝∠

α

﹣

90

°．

【点睛】此题主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角

的定义，解本题的关键是将

∠1

，

∠2

，

∠α

转化到一个三角形或四边形中．

23

、

(1)m

的值为

10

(2)

至少购进甲种绿色贷装食品

160

袋

【分析】（

1

）利用

2000

元购进甲种袋装食品的数量与用

1600

元购进乙种袋

装食品的数量相同列分式方程，再解分式方程即可；

（

2

）设购进甲

【解析】

(1)m

的值为

10

(2)

至少购进甲种绿色贷装食品

160

袋

【分析】（

1

）利用

2000

元购进甲种袋装食品的数量与用

1600

元购进乙种袋装食品的数

量相同列分式方程，再解分式方程即可；

（

2

）设购进甲种绿色贷装食品

x

袋，由两种绿色袋装食品的利润之和不少于

4800

元，列

不等式，再解不等式即可．

（

1

）解：由题意得：

20001600

2mm





解得：

m

＝

10

，经检验，

m

＝

10

为原方程的解，所以

m

的值为

10

（

2

）设购进甲种绿色贷装食品

x

袋，由题意得：（

20

－

10

）

x

＋（

13

－

8

）（

800

－

x

）

≥4800

，解得

x≥160

，答：至少购进甲种绿色贷装食品

160

袋．

【点睛】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关

系列方程或不等式是解本题的关键．

24

、（

1

）（

x

﹣

3

）（

x

﹣

4

）；（

2

）（

x

﹣

1

）（

3x+1

）．

【分析】（

1

）将

1

分成

1

乘以

1

，

12

分成

-3

乘以

-4

，交叉相乘的结果为

-7

，即

可得到答案；

（

2

）将

3

分成

1

乘以

3

，

-1

分成

-1

乘以

1

，由

【解析】（

1

）（

x

﹣

3

）（

x

﹣

4

）；（

2

）（

x

﹣

1

）（

3x+1

）．

【分析】（

1

）将

1

分成

1

乘以

1

，

12

分成

-3

乘以

-4

，交叉相乘的结果为

-7

，即可得到答

案；

（

2

）将

3

分成

1

乘以

3

，

-1

分成

-1

乘以

1

，由此得到分解因式的结果

.

【详解】（

1

）

y2﹣

7y+12=

（

x

﹣

3

）（

x

﹣

4

）；

（

2

）

3x2﹣

2x

﹣

1=

（

x

﹣

1

）（

3x+1

）

.

【点睛】此题考查十字相乘法分解因式，将二次项系数及常数项分解成两个因数相乘，交

叉相乘的结果相加得到一次项的系数，能准确分解因数是解题的关键

.

25

、（

1

）；（

2

）；（

3

）．

【分析】（

1

）根据坐标系写出的坐标，进而根据，因式分解可得，进而可得，

在

x

轴的正半轴上取点

C

，使，连接

BC

，证明是等边三角形，进而即可求得；

（

2

）连接

BM

，，进而证明为等

【解析】（

1

）

60BAO

；（

2

）3,0M

；（

3

）

3

5

BP

CP



．

【分析】（

1

）根据坐标系写出

,AB

的坐标，进而根据2240ba

，因式分解可得

20ba，进而可得2ABOA，在

x

轴的正半轴上取点

C

，使OCOA，连接

BC

，证明

ABC是等边三角形，进而即可求得60BAO；

（

2

）连接

BM

，

AQDAPO≌

，进而证明

ABM

为等边三角形，根据含

30

度角的直角三

角形的性质即可求得

1

3

2

OMAB

（

3

）过点

F

作FNx∥轴交

CB

的延长线于点

N

，证明BECFBN≌，PACPFN≌，设

2OCa，则等边三角形

ABC

的边长是

4a

，OEECaBN，进而计算可得

13

22

BPNCBNa

，

15

22

PCNCa

，即可求得

BP

CP

的值．

【详解】（

1

）

∵

点,0Aa

在

x

轴负半轴上，

∴AOa，0a，

∵2240ba

，ABb，

∴220baba

，

∵20ba，

∴20ba，

∴2ABOA，

如答图

1

，在

x

轴的正半轴上取点

C

，使OCOA，连接

BC

，

∵OBAC，

∴ABBC，

又

∵2ACOA

，

∴ACAB，

∴ACBCAB，

∴ABC是等边三角形，

∴60BAO；

（

2

）如答图

2

，连接

BM

，

∴APQ

是等边三角形，

∵60PAQ

，

AQAP

，

∵∠60BAO，

∴PAQOAQBAOOAQ

，

∴

OAPDAQ

，

∵D

为

AB

的中点，

∴

1

2

ADAB

，

∵30ABO，

∴

1

2

AOAB

，

∴ADAO，在AQD

和APO中，

,

,

,

AQAP

DAQOAP

ADAO

















∴AQDAPOSAS≌

，

∴90ADQAOP

，即

DQAB

，

∴

AMBM

，

∴

ABM

为等边三角形，

∴

1

3

2

OMAB

，

∴3,0M

；

（

3

）如答图

3

，过点

F

作FNx∥轴交

CB

的延长线于点

N

，

则

BCAFNB

，

∵CBFAEB，

∴BECNBF，

在BEC和FBN中，

,

,

,

BCEFNB

BECNBF

BEBF

















∴BECFBNAAS≌

，

∴ECBN，BCNF，

∵ACBC，

∴ACNF，

又

∵E

是

OC

的中点，设2OCa，

∴

等边三角形

ABC

的边长是

4a

，OEECaBN，

∵NFAC∥，

∴ACPPNF，

在PAC和PFN中，

,

,

,

APCNPF

ACPPNF

ACNF

















∴PACPFNAAS≌

，

∴PNPC，

又

∵5NCa，

∴

13

22

BPNCBNa

，

15

22

PCNCa

，

∴

3

3

2

5

5

2

a

BP

CP

a



．

【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，

因式分解的应用，掌握三角形全等的性质与判定并正确的添加辅助线是解题的关键．