幂函数性质
-我的性启蒙袁老师
2023年2月15日发(作者：蒋宅口)1
幂函数复习
一、幂函数定义：形如
)(Rxy
的函数称为幂函数，其中
x
是自变量，
是
常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？
【思考·提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位
置，而指数函数的自变量在指数位置．
观察图：
归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：
二、幂函数的性质
2
归纳：幂函数在第一象限的性质：
0
，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（
,0
）上单调递增。
0
，图像过定点（1,1），在区间（
,0
）上单调递减。
探究：整数m,n的奇偶与幂函数
n
m
xy),,,(互质且nmZnm
的定义域以及奇偶
性有什么关系？
结果：形如
n
m
xy),,,(互质且nmZnm
的幂函数的奇偶性
（1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；
（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；
（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.
三、幂函数的图像画法：
关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1,在第一象限为抛物线型（凹）；
指数等于1,在第一象限为上升的射线；
指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）；
指数等于0,在第一象限为水平的射线；
指数小于0,在第一象限为双曲线型；
四、规律方法总结：
1、幂函数
)1,0(xy
的图像：
2、幂函数
),,,,(互质qpZqp
p
q
xy
的图像：
3
3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作
为桥梁来比较大小．
题型一：幂函数解析式特征
例1.下列函数是幂函数的是（）
A．y=xxB.y=3x2C.y=x2
1
+1D.y=x3
练习1：已知函数
2221(1)mmymmx
是幂函数，求此函数的解析式．
练习2：若函数
29()(919)afxaax
是幂函数，且图象不经过原点，求函数的
解析式．
题型二：幂函数性质
例2：下列命题中正确的是（）
A．当
0
时，函数
yx
的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．幂函数的
yx
图象不可能在第四象限内
4
y
x0
c1
c2
D．若幂函数
yx
为奇函数，则在定义域内是增函数
练习3：如图，曲线c1,c2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，那么
一定有（）
A．n
练习4：．（1）函数y＝5
2
x
的单调递减区间为（）
A．（－∞，1）B．（－∞，0）C．［0，＋∞)D．（－∞，＋∞）
（2）．函数y＝x4
3
在区间上是减函数．
（3）．幂函数的图象过点(2,4
1
),则它的单调递增区间是．
题型三：比较大小
.利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）4
3
3.2
，4
3
4.2
;
（2）5
6
31.0
，5
6
35.0
；
（3）
2
3
)2(
，
2
3
)3(
；
（4）2
1
1.1
，2
1
9.0
．
.经典例题：
例1、已知函数223()()mmfxxmZ为偶函数，且(3)(5)ff，求m的值，
并确定()fx的解析式．
例2、若11(1)(32)mm，试求实数m的取值范围．
例3、若33(1)(32)mm，试求实数m的取值范围．
例4、若44(1)(32)mm，试求实数m的取值范围．
例5、函数
1
22
4(42)(1)ymxxmmmx的定义域是全体实数，求m的
取值范围。