正方体有多少个面
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2023年2月15日发(作者：一堂好课的标准是什么)“给你一个正方体,您能看到几个面”引发的思考
摘要：通过教学设计让孩子能够有意识地、主动地
变换角度看待问题，通过体验式教学让孩子感受到在同样的
学习环境下，不同的孩子的不同的认识方式产生不同的认知
效果。
关键词：提出问题;变换角度;走进数学
中图分类号：G633.6文献标识码：A文
章编号：1992-7711（2015）24-095-1
“给你一个正方体，您能看到几个面？”这是我喜欢给
每一届新学生出的一个问题。我请班长作为观察员，观察班
级中发生的现象。能看到一个面的同学请举手，所有孩子都
不假思索地举起手。能看到两个面的孩子请举手，坐在两侧
的孩子举起了手。能看到三个面的孩子请举手，有些孩子调
整了姿势，举起了手。我悄悄地收起正方体，问道：“给你
一个正方体，你能看到几个面？能看到四个面的孩子请举
手。”所有的孩子都皱起了眉头。等了一会，有三个孩子举
起了手。能看到五个面的孩子请举手，那三个孩子继续保持
举手的姿势，能看到六个面的孩子呢？有一个孩子放下了手，
却又有一个孩子举起了手。
“班长，刚才这个活动，你看到了什么？你有什么感想？”
我问。“老师：您想告诉我们，只要参与，人人都能看到一
个面。角度不同，你能看到两个面，调整我们的视角，也能
看到三个面。但后面看到四个面，五个面甚至是六个面就是
个人的素养了，不是每个人都能看到的，我也不知道为什么
能看到四个面，五个面，六个面。”我说，“你说的相当好，
数学就是这样有一些数学知识是大家都能掌握的，有一些是
需要换个角度去思考后才能掌握的。从看到三个面开始就需
要大家主动地去换角度去看待问题了？”我们采访一下这几
个能看到四个面的同学是如何看到的，第一位同学说，“老
师，你让我们看，并没有说怎么看，我拿着正方体转着看六
个面都能看得到。”第二位同学说“老师，我和他的想法一
样，就是我动起来绕着正方转一圈，五个面是没有问题的。
但第六个就不一定了。”这两位说完，学生们的表情有点奇
怪，都在皱眉头，似乎觉得不符合我的要求。“为什么不能
动呢？给您一个正方体，主动权在你们的手里啊！现在我们
就要求不许动。给你一个正方体，您能看到几个面？”刚才
的这两位放下了手，却有三个同学举起了手。“你们谈谈方
法吧，”一个孩子说：“老师，您的一个动作给了我暗示，您
第二次问的时候悄悄地收起了那个正方体。我就想，正方体
可以不是您给的这个正方体，您在这里设下了一个陷阱。我
看大家都在思考，我就四处看看。突然，我就想到我坐在的
这个教室不就是一个正方体吗？一开始，我就看到了五个面，
然后我调整了一下姿势，果然六个面都能看到了。”另一个
孩子说，“老师，我就是看到他的动作后，就知道答案了。”
再一个孩子说，“前面两个同学，告诉我们只要转变观念就
可以实现不一样的想法。我突然想到，原先我是从外看，能
不能从里面看。我们对正方体的认识是实心的，其实未必。
然后我也想到了教室。就知道了答案了。”
“班长，你听了有何感受。”我问。“老师，我知道，您
是想让我说说如何学好数学，我的想法就是要动起来。从不
同的视角去看待知识。”“说的很好，我想谈谈看到六个面是
意味着什么，学到最好需要什么？“六个面是大多数同学看
不到的，学到最好需要你真正的走进数学里面去。”这是我
想让学生能够有所领悟的道理。
没想到这节课的功效却在一节数列课后首先让我自己
有很大的感悟。
在教授等差数列这部分内容后，做为拓展知识，我介绍
了自然数平方前n项和公式的证明：（略）
晚上十一点钟，我的手机响了。耳边传来学生激动的话
语：“老师，我们几个人算了好多个了！我们班的学霸准备
算到三点。明天问你一个数列的通项公式，你要准备好哦！”
这么一来，我这就睡不好了，赶紧起床上网搜索相关资料，
仔细地读了一读，也算了半天，然后带着满脑子的数字走进
了梦乡。
第二天，昨天打电话那几个同学带着一叠他们计算的稿
纸拿来给我看，也给了我一串式子。（略）
学生们问：“这是我们按照您给的方法计算出来的结果，
你不是让我们要用不同的视角看待问题的吗？第一列、第二
列、第三列、第四我们都找出了规律了，但第五列我们看不
出规律。老师，这个自然数的幂的前n项和有通项公式吗？
这个通项公式怎样求呢？第四列0怎么解释呢？纵向构成的
数列可以写通项公式吗？”他们一连串问了我好多的问题。
中午，我带着这几个孩子又用倒序相加方法再次推导了
公式（由于篇幅原因，证明过程略去）。“这是用倒序相加的
想法推倒的自然数的2次与二次以上幂的求和方法。这个简
单的你们能够听懂的，关键是这个方法推导公式我们会发现
可以借助今后我们学的知识二项式定理去解决你所困惑的
系数的规律问题。”其实，我讲这段话的时候，对后面学生
提出的问题还是不能完全解答，只是我知道我可以找到解决
的方法与方向。这些孩子如果保持对这个问题的热情，到了
高二学到二项式定理的时候会继续和我探讨这个问题的。那
时，他们会看到二项式定理神奇的作用。这会是其他孩子不
能体会到的。我也有一些担忧，我自己有这样的热情与能力
吗？如果我的孩子都对这样的问题着迷，我恐怕要寝食难安
了。对这个问题的研究我是既兴奋也头疼。作为他的数学老
师，孩子能对数学如此的热爱，着实不易。头疼的是，想把
这个问题讲清楚可真不是一件简单的事。原先自己报考数学
系的原因就是喜欢数学，小时侯也问过老师很多稀奇古怪的
问题。当年我的老师上课时补充了很多课外的数学知识给我。
现在我的学生大多数已经在现有的知识体系中满足了，他们
常常问，老师这道题怎么做。很难得提出一个有价值的研究
方向。学生研究数学的时间与空间都太小了。我们要求学生
变换角度，转换思想去看问题，最好能走进数学看问题。我
自己走进数学里了吗？