地球的直径是多少千米

地球的直径是多少千米

-故乡教学设计

还原问题

还原问题是逆解应用题，还原问题先提出一个未知量，经过一系列的运算，最后给出另一个已

知量，要求求出原来的未知数量。解题时，从最后一个已知量出发，逐步进行逆推性运算，即原来

是加的，运算时就减；原来是减的，运算时就加；原来是乘的，运算时就除；原来是除的，运算时

就乘。列综合算式时，要特别注意运算顺序，为此要正确使用括号。

如小莉要把一个包装精美的盒子打开。她先拆开最外层的彩纸；接着打开纸盒，纸盒里有一个

绒布盒；再打开绒布盒一看，里面是两支“派克”金笔。妈妈说，这礼物是送给大学老师的，要小

莉把它重新包装起来。小莉是按这样的顺序做的：先把两支笔放入绒布盒→盖上绒布盒，并把它放

进纸盒→盖上纸盒，并用彩纸封好。

小莉重新包装的步骤（顺序）恰好与她打开这盒礼物的顺序相反。这是生活中常会遇到的“还

原问题”。在数学中，还原问题也很多。

【例1】★小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。

小刚的奶奶今年多少岁？

【解析】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是

100÷10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10－2=8岁；没有缩小9倍之前应是8×9=72

岁；减去7之后是72岁，没有减去7前应是72＋7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。

【小试牛刀】某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还

剩95台。这个商场原来有洗衣机多少台？

【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下

的95台和下午多卖的20台合起来，即95＋20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230

台就是上午售出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230＋10=240台又正好是总数的一半。

那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数。

【例2】★小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，

结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？

【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，

可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25

本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本。

【小试牛刀】甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙

桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？

【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油36÷2=18千克，乙桶应有

油36＋18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为54÷2=27

千克，甲桶原有油18＋27=45千克。

【例3】★两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴

不服，又从乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴

最初准备拿几个？

【解析】先求出两个猴现在各拿多少，根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴

现在拿（26＋2）÷2=14个，甲猴现在拿26－14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半，又还给乙猴5

个后有12个，如果甲猴不还给乙猴，那么甲猴有12＋5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴

现在有（26－17）×2=18个。乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个，如果不抢，那么

甲猴最初准备拿（26－18）×2=16个。

【例4】★小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的

9

看作

6

，十位上的

6

看作

9

，结果和是

174

，那么正确的结果应该是多少呢？

【解析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数(正确答案)，由于小马虎两次错误的计算，变成

了另一个数(错误结果)，我们知道引起这种变化的原因是：

①把个位上的

9

看作

6

，这就相当于把正确答案减少了

963

②把十位上的

6

看作

9

，这就相当于把正确答案增加了：

109630（）

这样原题就变成了“一个数减去

3

，再加上

30

，所得结果是

174

，求这个数．”我们只要把

少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果

174961（）（）

【小试牛刀】淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结

果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?

【解析】

164(7349)188

或

164630188

.

【例5】★学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次

用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有多少米呢？

【解析】根据题意，画图倒推分析：

15924

(米)

2410228（）

(米)

282260（）

(米)

所以，这根绳子全长60米．

【小试牛刀】一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次

用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？

【解析】为了帮助同学们分析数量关系，

可依照题意画出右图。从线段图上可以看出：

（1）（米），就是第一次用去后余下的一半。

（2）（米），就是余下的电线长度。

（3）（米），就是全长的一半。

（4）（米），就是原来电线的长度。

综合列式计算：71510232





(1223)2

272

（米）

【例6】★★桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子

的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么

园中原有多少桃？

【解析】第三群猴没吃，相应有桃

(1000.5)2201

(个)

第二群猴没吃，相应有桃

(2010.5)2403

(个)

第一群猴没吃，相应有桃(即桃园中原有桃)

(4030.5)2807

(个)

【小试牛刀】山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷

吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？

【解析】

2[1222]16（）

(个).

【例7】★★袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中

还有3个球。问：袋中原有多少个球？

【解析】利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2

7151012

12224

24327

27254

54

余下的一半

第一次用去的

3米

图2

10米

第二次用去的

全长的一半

7米

第三次用去的15米

全长？米

＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下：

所以原来袋中有34个球。

【小试牛刀】三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二

堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹

果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？

【解析】由题意知，最后每堆苹果都是48÷3＝16（个），由此向前逆推如下表：

原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。

【例8】★★★甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现

有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多

少棵？

【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树

28214

（棵），乙班有

281442

（棵），

如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42221（棵），甲班原有树

142135

（棵）．列表倒推如下:

甲班乙班

3521

1442

2828

【小试牛刀】一班、二班、三班各有不同数目的图书．如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、

三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的

图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍．这

时，三个班的图书数目都是48本．求三个班原来各有图书多少本？

【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理．在每一次重新变化后，三个班的图书总

数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变

化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目．依据题意可知，一班、二班的图书数

目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三

班．其余各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：

一班二班三班

结果484848

第三次242496

第二次128448

第一次784224

【例9】★★★3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再

从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各

养了多少只鹦鹉?

【解析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，

可以求出现在每个笼里的是

78326

（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，

可以知道第1个笼子里原来养了

26834

（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼

子里”，得出第2个笼子里有：

266824

（只），第3个笼子里原有

26620

（只）．

【小试牛刀】甲、乙、丙3人共有192张邮票．从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票

中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、

乙、丙原来各有多少张？

【解析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人

邮票数相同，即3人各有邮票：

192364

（张）．第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说

明这次交换前甲有邮票

64232

（张），丙有邮票：

643296

（张），依此类推，就可以推出答

案了．最后相等时各有

192364

（张），列表倒推如下：

甲(张)乙(张)丙(张)

最后646464

前次326496

再前次3211248

原来885648

【例10】★★一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋．如果甲组先给

乙组5只，乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等．两个组原来各有沙袋多少只?

【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换．第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，

所以这时两组各有沙袋70只．解答时可以从

70

开始倒推．列表倒推如下：

甲组乙组

最后结果

140270140270

第二次交换前7086270878

第一次交换前(原来)6256778573

解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推．因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量

相等，所以应从两组各有沙袋70只开始倒推．

【小试牛刀】科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等

于水星直径，水星直径加上2000千米是火星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，

月亮直径是3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？

【解析】先求土星直径：

[(3000500)22000]24120000

(千米)

再求地球直径：

(1200004800)912800

(千米)，即：地球的直径是12800千米.

【例11】★★★有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从

甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲

堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋

子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？

【解析】我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆

棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有

32216

(个)棋子，而甲堆的棋子数

是

321648

(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所

以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．

采用列表法非常清楚．

甲乙

结果3232

第三次交换前4816

第二次交换前2440

第一次交换前4420

1.某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的

存折上还剩1250元。他原有存款多少元？

【解析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。

由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”

是1250+100=1350（元）

余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元）

用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：

[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）

2.食堂买进一批大米，第一天吃了全部的一半少

28

千克，第二天吃了余下的一半少

8

千克，最后剩

下122千克．这批大米共有多少千克？

【解析】列式为：

[1228228]22002400（）

(千克)

3.山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的

一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？

【解析】

2[1222]16（）

(个).

4.某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的

水果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？

÷2

÷2

40

20

44

24

16

2

＋

＋

32

32

24

48

16

÷

＋

32

原有棋子

第一次移动后

第二次移动后

第三次移动后

甲堆棋子

乙堆棋子

【解析】可逐步算出：运进水果（千克），现有水果（千克），原有

蔬菜（千克）。

5.有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，

就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，

这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？

【解析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑“（26+2）

÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。

6.兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子

的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔

子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？

【解析】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）

桔子。由此列表逆推如下表：

由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。

80024008004001200

120022400