积分中值定理证明

积分中值定理证明

-水浒传人物图片

中值定理证明不等式

摘要：不等式是初等数学中最基本的内容之一。中值定理是数学分析中最重要的

定理之一，是研究数学问题的重要工具，并且它在数学解题中有着广泛的

应用。本文本文要介绍的是如何利用中值定理证明不等式，对各种不同特

点的问题类型进行分析、总结，并结合典型例子给出恰当的方法，对提高

证明题的能力有很大的帮助。

关键字：中值定理、证明、不等式。

Theidentificationofinequalitybyadoptingisovalue

theorem

Abstracts:Inequalityisthattheelementarymathematicsishitby

valuetheorem

isoneoftheimportanttheorems,whichisanimportant

tooltostudyinmathematicproblems,andhasagreat

er

focusesonhowtoidentifyinequality,analyingand

summarizingthesolutionsaccordingtoproblemswith

differentcharacteristics,combiningtypicalexamplesto

mprovethe

abilityofidentificationgreatly.

Keywords:Isovaluetheorem;identification;inequality.

引言

我们在日常教学中会常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基

本的内容之一。我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，

以方便我们日后的教学研究工作的开展。不等式也是数学中的重要内容，也是数

学中重要方法和工具。中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定

理及泰勒中值定理以及积分中值定理等。以拉格朗日中值定理(也称微分中值定

理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特

殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广。

第一章、微分中值定理部分

1.1、微分中值定理理论

在一般数学分析教材中，拉格朗日定理和柯西定理的证明，通常都以洛尔定

理为其预备定理，证明的关键有于构造出辅助函数来。尽管辅助函数的引入基于

十分明显的几何事实，但是这种新颖的论证方法仍然成为教学上的难点，对于如

何去构造出同时能满足几个条件的辅助函数来，初学者常有不可捉摸之感，犹

以拉格朗日中值定理首当其冲。为此，教学中必须重视突破难点，着力去阐明拉

格朗日中值定理的论证方法。

介值定理：设函数F(x)在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的

函数值F(a)=A及F(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数c，在开区间(a，b)

内至少有一点，使得。ξ()()Fcabξξ=<<

罗尔定理(Roll)：如果函数F(X)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内

可导，且F(a)=F(b)，那么至少有一点,，使得。()abξξ<<'()0Fξ=

拉格朗日中值定理(Lagrange)：如果函数F(X)在闭区间[a，b]上连续，在开

区间(a，b)内可导，那么至少有一点，使()abξξ<<

'()()()()FbFaFbaξ−=−成立。

柯西中值定理（Cauchy）：如果函数F(X)及G(X)在闭区间[a，b]上连续，在

开区间(a，b)内可导，且(X)≠0，那么至少有一点，使等式G，()abξξ<<

,

,

()()()

()()()

FbFaF

GbGaG

ξ

ξ

−

=

−

成立。

证明不等式和等式是涵盖面很大的一类问题，证明的方法又很多，这里要

介绍的是如何针对不同问题的特点利用以上中值定理来证明不等式和等式。

1.2、拉格朗日中值定理证明不等式的巧用

我们知道．证明不等式的常用方法是：比较法、分析法、综合法数学归纳法

等，这些方法是证明不等式的有效方法，但是．它们在证明某些不等式时这些方

法就感到不方便，甚至根本证明不了。例如：

1(0)xexx>−≠求证：

1(0)xexx>−≠求证：

证明这两个等式时，上述方法就无法应用我们再仔细观察上述不等式就会

发觋．它们都有一个共同的特征．不等式进行变形后具有拉格朗日公式的形

式．针对这种情况、给出一种证明方法．使上述不等式就能较快地得出证明，

本文给出的方法就是用拉格朗日中值定理证明不等式的方法．拉格朗日中值定理

是证明不等式一个有力工具．下面我们举例说明．

利用微分中值定理证明的关键在于函数和区间的选取。

例1

1

h

h

≠

+

证明:对一切h>-1，h0成立不等式

∈证明:考虑函数f(x)=ln(1+x),x(0,h)

[]0h显然函数在，上连续，在开区间上得

，

()()ln1ln1ln1.01

1

h

hh

h

θ

θ

+=+−=<<

+

;(1)

11

hh

h

hhθ

∴<<

++

当h>0时，

;(2)

11

hh

h

hh

θ

θ

∴<<

++

当-11+h>0

由（1）（2）知，当h>-1时,且h0时,

≠

。

()ln1

1

h

hh

h

<+<

+

例211()(),nnnnnababanbba−−−〈−〈−求证：当01时成立

1xFx,(1)nnxnxn−′

==>证明：设F（），则（）

'1Fxnnx−=当x>0时，（）为增函数，在区间上应用拉格朗日中值定理:

'

()()

()()

FbFa

Fab

ba

ξξ

−

=<<

−

0,abξ

′

<<<由于F(x)单调递增,且故有

'''11()()(),

nn

nn

ba

FaFFxnanb

ba

ξ−−

−

<<<<

−

即

11()()nnnnnababanbba−−−<−<−移项得

这类证明问题关键是选取F(X)及在某区间上应用拉格朗日中值定理。选对

函数和区间外，有时还要结合增减性来判断。

例3''()0,(0),Fxx<≥函数F(x)满足F(0)=0,

求证：对任何a>0，b>0,有F(a+b)

证明：不妨设0

'

1

()(0)()

()

FaFFa

F

aa

ξ

−

==

'

11

()()FaFξξ=∈即，（0，a）

在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得

'

2

()()

()

FabFb

F

a

ξ

+−

=

'

22

()()(),(,)FabFbaFbabξξ+=+∈+即

''′

由于F（x）<0,得F(x)为减函数,

1212

,()()FFξξξξ

′′

<<又因所以，

12

()()FaFξξ

′′

<即a，

21

()()()()()()().FabFbaFFbaFFaFbξξ

′′

+=+<+=+可得

这类问题应用及F’(x)及F(x)的单调性来证明。

例3

1

.

1

xe

x

≤

−

求证：当x<1时，

1

0,(1)1

1

xex

x

>−<

−

证明：因为x<1，所以只需证

()x(0)1,xxFxeeF=−−令函数，则

'()xxxxFxeexexe−−=−

把x<1分成三种情况加以讨论：x<0，x=0和0

(1)0,()0,(),()(0)xxxxFxxeFxexeFxF

′

=−<当时为增函数可得，

1

;

1

xxx

x

<

−

即e-xe<1，则e

1

(2)1,;

1

xxxxe

x

−==

−

当x=0时，e则e

(3)xxxe

′

当0

1

1,;

1

xxxexee

x

−<<

−

即则

综上所述得：

1

.

1

xe

x

≤

−

综上所述：当x<1时，

这类不等式是利用极值来证明的。归纳成一般规律是：做一个新函数=不等

式左边一不等式右边，求F’(X)、F(x)，由F(x)符号判断F’(x)的增减性(有

必要时把区间分成多个段)，再由F’(x)符号判断F(x)的增减性，得到某极值点，

从而得到大小关系。能简单判断时，就直接由F’(X)符号判断F(X)的增减性，

得到某极值点，从而得到大小关系。有时直接做新函数=不等式左边一不等式右

边，最终得不出F(x)符号或F’(x)符号，或者将某特殊点代入该函数并无意义

时，就尝试把原不等式进行等价变换。

例4

111

ln(2),(0)

122

xx

x

xx

++

<+

+

证明不等式：

证明：设f(t)=lnt。因为f(t)在[x，1+2x]上连续，在(x，1+2X)内可导，

2),xξ∈+所以根据朗日定理知存在（x,1使得

ln(12)ln1

(12)

xx

xxξ

+−

=

+−

111

12xx

ξ

ξ

<<

+

又0

1ln(12)ln1

12(12)

xx

xxxx

+−

<<

++−

于是，

111

ln(2).

122

xx

xx

++

<+<

+

所以，

辅助函数法是数学上常用证明方法之一．在高等效学中应用此法较多的是言

美中煎定理的邵部分题目，一般可分为直接出结论引出辅助函数和由结论引出与

之密切枢关的辅助函数两种类型。

例52

1

arctanln(1)ln2,,1

42

xxx

π

⎡⎤

−+≥−∈

⎢⎥

⎣⎦

证明不等式：

2()arctan,()ln(1),fxxFxx==+证明：令

显然f(x)和F(x)在上满足柯西中值定理条件，[,1]x

(,1),xξ∈故存在使等式

2

2

2

1

arctan1arctan1

1

2

ln2ln(1)2

1

x

x

ξ

ξ

ξ

ξ

−

+

==

−+

+

成立

2

arctan

11

4

1

22ln2ln(1)

x

x

π

ξ

ξ

−

≤<

−+

又x<<1，所以<1，于是有

arctan1ln(11)ln2

4

π

−+=−而当x=1时，

2

1

arctanln(1)ln2,,1

42

xxx

π

⎡⎤

−+≥−∈

⎢⎥

⎣⎦

因此，

在证题中，有时辅助函数难以直接从结论中得出．需要对结论进行适当的分

析．进而技出辅助函数。

例6设函数f(t)在[a,b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0,

f(c)>0(a

''()0fξ<

证明：先对f(x)在[a,c]和[c,b]上应用拉格朗日定理，有

111

()()()

(),()0,(,)(1)

fcfafc

ffac

caca

ξξξ

−

′′

==>∈

−−

即

''

222

()()()

(),()0,(,)(2)

fbfcfc

ffcb

bcbc

ξξξ

−−

==<∈

−−

即

12

()[,]fxξξ

′

再对在上应用拉格朗日定理，有

''

''

12

12

12

()()

()

ff

f

ξξ

ξξξξ

ξξ

−

=∈

−

，（，）

自（1）、（2）式得，

''

2121

()()0,0ffξξξξ−且

12

()0,(,)(,),fabξξξξ

′′

<∈∈于是有

''()0.fξξ<故在内至少存在一点，使得

辅助数的设置无一定之规可循，往往是依题而异，这就需要我们在平时多加

实践，

注意积累总结，这样在簿题时方能做到得心应手，游刃有余。

第二章、积分中值定理

2.1、先给出积分中值定理理论

定理1：(积分第一中值定理)若函数f(x)与g(x)在闭区间[a，b]上连续，

且g(x)在[a，b]上不变号，则在[a，b]上至少存在一点∈，使ξ

()()()()bb

aa

fxgxdxfgxdxξ=∫∫

注：该定理中g(X)在[a，b]是可积，且不变号，结论仍成立。

定理2：(积分第二中值定理)若函数f(x)在区间[a，b]非负单调递减，

g(x)为可积函数，则存在∈[a，b]使得ξ

()()()()b

aa

fxgxdxfagxdxξ=∫∫

定理3：若在[a，b]上f(x)≥0且单调递增，g(x)为可积函数，则存在

∈[a，b]使得

ξ

()()()()bb

a

fxgxdxfbgxdx

ξ

=∫∫

定理4：若在[a，b]上f(x)为单调函数，g(x)为可积函数，

则存在∈∈[a，b]使得

()()()()()()bb

aa

fxgxdxfagxfbgxdxξ

ξ

=+∫∫∫

2.2、积分中值定理证明不等式

积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式，当积分区间相同时，

先合并同一积分区间上的不同积分，根据被积函数所满足的条件，灵活运用积分

中值定理，以达到证明不等式成立的目的。

例7设，f(x)在[a，b]上连续，单调增加。证明

()()

2

bb

aa

ab

xfxdxfxdx

+

≥∫∫

证明：由积分中值定理

2

2

()()()()()()

222

ab

bb

ab

aa

ababab

xfxdxxfxdxxfxdx

+

+

+++

−=−+−∫∫∫

2

12

2

()()()()

22

ab

b

ab

a

abab

fxdxfxdxξξ

+

+

++

=−+−∫∫

2

2112

()

[()()]0,(()

22

baab

fffxabξξξξ

−+

=−≥≤≤≤≤单调性，）

()()

2

bb

aa

ab

xfxdxfxdx

+

≥∫∫故

例8[][]'(),,fxabab设导函数在连续，因为f(x)在连续，

[]

0

,,ab∈所以存在x试证：

1

|()||()||()|maxbb

aa

axb

fxfxdxfxdx

ba

≤≤

′

≤+

−

∫∫

0

max|()||()|,fxfxaxb=≤≤

[],abξ∈又由积分中值定理，存在使

1

|()||()|b

a

ffxdx

ba

ξ=

−

∫

0

0

max|()||()||()()|xfxfxfxdxf

ξ

ξ

′

==+∫所以，

0'()()xfxdtf

ξ

ξ≤+∫

.'

1

|()||()|,.bb

aa

fxdxfxdxaxb

ba

≤+≤≤

−

∫∫

例9[]',()abfxM≤设f(x)在上可导，且，f(a)=0，证明：

.()b

a

fxdx∫≤2()

2

M

ba−

证明:由Lagrange中值定理可得：

'()()()()(),(,)fxfxfafxaaxξξ=−=−∈

a),-M(x≤f(x),M≤(x)f

′

2()()()

2

bb

aa

M

fxdxMxadxba≤−=−∫∫则。

例10，[]

∫∫==

ππ

π

00

0cos)(,0)(0)(dxxfdxxfxf上连续，且，在设函数

试证：在内至少存在两个不同的点使

),0(π

21

,ξξ

0)()(

21

==ξξff

结论显然成立。证明：若],,0[,0)(π∈≡xxf

，使由积分中值定理，存在假使),0(,0)(

1

πξ∈≠xf

∫=−=

π

πξ

0

1

0)0)(()(fdxxf

()

11

0,πξξ若在，内f()只有一个实根

）内异号，，）和（，在（可知，由πξξ

π

11

0

0)(0)(xfdxxf∫=

()()()

11

00,ξξππ不妨设在，内，在，内f(x)<0，而cosx在为单调下降，所以

dxxxfdxxfxdxxf)cos)(cos(cos)(cos)(

1

000

1

ξξ

πππ∫∫∫−=−

∫∫>−+−=1

1

0

11

0)cos)(cos()cos)(cos(

ξ

π

ξ

ξξdxxxfdxxxf

矛盾，这与∫∫==

ππ

00

0)(,0cos)(dxxfxdxxf

()

12

0ξπξ于是除外，在，内至少还有一个实根，

1212

0ξξπξξ∈故至少存在两个相异的实根，（，），使f()=f()=0

证明此类不等式一般需要应用微分中值定理，然后再利用已知条件进行适当

放缩，此类命题的证明思路：

(1)写出含区间端点的Lagrange中值定理；

(2)再根据题意进行放缩，变成不等式；

(3)用定积分的有关性质进行分析处理。

第三章、中值定理证明不等式的拓展

3.1、泰勒(Taylor)中值定理

设f(x)在含有的某个区间(a，b)内具有直到(n+1)阶导数，则对任一x∈

0

x

(a，b)，下式成立：

'''()

0000000

11

()()()()()()()()()

2!!

n

n

fxfxfxxxfxxxfxxxnRx

n

=+−+−+…−+

当时，称之为拉格朗日余项；当

(1)

1

0

0

(())

()()

(1)!

n

n

n

fxxx

Rxxx

n

θ+

+

++

=−

+

时，称之为皮亚诺余项．

0

()(())n

n

RxOxx=−

泰勒中值定理建立了函数f(x)在一个区间上的增量与这个函数在区间内某

点处的高阶导数之间的联系．拉格朗日中值定理为它的特例．基本上，一般教科

书都着重介绍将满足条件的函数如何展开成Taylor级数，但对在微积分中起着

举足轻重作用的Taylor级数的应用讲得甚少．学生学了这一节后对Tay1or级数

到底有什么用，反倒是迷糊了。

例113

1

0sin

3!

xxxx≥≥−当时，证明：

证明：3

1

()sin

3!

fxxxx=−+设

()02fxn=让在点展开，并取

2

()cos1,()sin,()1cos

2

x

fxxfxxxfxx

′′′′′′

=−+=−+=−由于

(0)0,(0)0,(0)

′′′

===故

3

1cos

()000

3!

x

fxx

θ−

=+++所以有

3

1

x0f()0,sin

3!

xxxx≥≥≥−当时，从而有

例12

0

f()

lim1,()f

x

x

fx

x→

′′

=〉≥设二阶可导，且f(x)0,证明：(x)0.

分析：欲证明的不等式中（或题设中）含有一阶以上的导数时，一般用泰

勒公式比较方便。

证明：

0

()

()lim1,(0)0

x

fx

fxf

x→

==由连续和知

00

()(0)()

(0)limlim1

0xx

fxffx

f

xx→→

−

′

===

−

又

2

()(0)(0)()(()0)

2!

x

fxffxfxfxξ

′′′′′

=++≥>由泰勒公式有，因为

例13[]f()a,bx证明：若函数在上存在二阶导数，

2

4

()()0,aff

()

fafb

ba

ξξ

′′′′

==≥

−

且则在（,b）内存在一点，使|()||(b)-f(a)|.

证明：

()ff

2

ab

fab

+

′′

将分别在点和点处展成一阶泰勒公式，并利用(a)=(b)=0,有

2

1

1

()

f()()(),,(1)

22!22

fabbaab

faa

ξ

ξ

′′

+−+

=+<<

2

2

2

()

f()()(),,(2)

22!22

fabbaab

fba

ξ

ξ

′′

+−+

=+<<

由（1）-（2）得

2

12

()

f[()()]0,

8

ba

ffξξ

−

′′′′

−=(a)-f(b)+

2

4

|()||()()|.

()

ffbfa

ba

ξ

′′

≥−

−

故有，

12

fffξξξ

′′′′′′

令|()|=max{(),()}

12

2

8

|()()||()||()|2|()|

()

fbfafff

ba

ξξξ

′′′′′′

−≤+≤

−

2

4

|()||()()|.

()

ffbfa

ba

ξ

′′

≥−

−

故有，

3.2、一些特殊积分不等式的证明

（切比晓夫不等式）：

121212

xx≥若[f(x)-f(x)][g(x)-g(x)]0对一切和均成立，

fg则称和成似序；若反向不等式成立，则称反序。

求证：当f和g成似序时，有

()()()()()bbb

aaa

fxdxgxdxbafxgxdx≤−∫∫∫

fg又若和成反序，则不等号反向。

证明：做辅助函数如下：

()()()()()(),btt

aaa

ttafxgxdxfxdxgxdxatb=−−≤≤∫∫∫令F

()()()()()()()()()()ttt

aaa

Ftfxgxdxtaftgtftgxdxgtfxdx

′

∴=−−−−∫∫∫

()()()()()()()()t

a

fxgxftgtftgxfxgtdx=+−−⎡⎤

⎣⎦∫

()()()()t

a

fxftgxgtdx=−−⎡⎤⎡⎤

⎣⎦⎣⎦∫

()()()()0fxftgxgt−−≥⎡⎤⎡⎤

⎣⎦⎣⎦

若f和g成似序，则

()()()0,,FtFtab

′

∴≥即在上单调递增

()()()0,0FaatbFbFa=∴≤≤≥=又时，

()()()().bb

aa

fxdxbafxgxdx≤−∫∫即

fg若和成反序，类似可推得结果.

（阿达玛Hadamard积分不等式）：()()0,0,xfx

′′′

≤≤〉〉设axb,f证明

()

()()1

22

b

a

fafb

ab

ffxdx

ba

+

+

⎛⎞

<<

⎜⎟

−

⎝⎠

∫

证明：()

1

,

2

b

a

ab

fxdx

ba

+

⎛⎞

<

⎜⎟

−

⎝⎠

∫要证f

()()0

2

b

a

ab

baffxdx

+

⎛⎞

−−<

⎜⎟

⎝⎠

∫需证

bt将变量换作变量，引入辅助函数

()()()(),

2

t

a

at

Fttaffxdxatb

+

=−−≤≤∫

()()()()

222

attaat

Ftffft

+−+

′

∴=+−

2

at

ξ

+

∈当t>a时，由Lagrange中值定理有，存在(,t)使得

222

atatta

ξξ

++−

′′

f()-f(t)=f()(-t)=-f()

()()()

22

taat

Ftffξ

−+

⎡⎤

′′′∴=−

⎢⎥

⎣⎦

()()0

2

at

fξ

+

′′′′′

∴−0，f(x)是单调递增的，有f

′

∴即F(t)a时，有F(b)

1

()0,()

22

bb

aa

abab

fxdxffxdx

ba

++

<<

−

∫∫即(b-a)f()-故()

1()()

()

2

b

a

fafb

fxdx

ba

+

<

−

∫类似可证

3.2、中值定理证明求和不等式

有些求和不等式用数学归纳法很难奏效，但有时候运用中值定理证明确异常

简单、明了。

[]()1,,fx++∞∈设是定义在上的恒正递减（增）函数，F(x)是他的一个原函数，nZ则

(1)(1)()()(fnFnFnfn+<+−<增函数反之）

证明：只证f(x)递减的情况。

[]()1fx+∞∵在，上递减，

1

()xfxdxc∴+∫的黎曼积分存在，它的原函数F(x)=

(1)()

()

(1)

FnFn

f

nn

ξξ

+−

∈=

+−

根据Langrange中值定理，存在(n,n+1)，使

由f(x)递减的假定，得f(n+1)

这就是所要证明的结果，这个最后的不等式或许可以直接证明的，举例说明。

例14

3

1

13

.

2

n

k

k

=

<∑求证：

[]

32

11

1,,

2xx

+∞证明：f(x)=在上递减，f(x)的一个原函数为-

32222

11111

()

(1)2(1)222(1)kkkkk

⎡⎤

∴<−−−=−

⎢⎥

+++

⎣⎦

2n≥不妨设

∑∑

==

+=

n

k

n

k

kk

2

3

1

3

1

1

1

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

++

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+<

222222

1

)1(

1

3

1

2

1

2

1

1

1

2

1

1

nn

⋯

2

3

)

1

1(

2

1

1

2

<−+=

n

例15

时，求证：当2≥n

ennnknnn

n

k

−++<<+−∑

=

)1ln()1(ln1ln

1

[]是它的一个原函数，故上的增函数。是证明：xxxxFxxf−=+∞=ln)(,1ln)(

[])1ln()ln()1()1ln()1(ln+<−−+−++

()[]{}∑∑

==

−−+−++<

n

k

n

k

kkkkkkk

11

)ln()1()1ln(1ln于是

[])11ln.1()1()1ln()1(−−+−++=nnn

;)1ln()1(nnn−++=

∑∑

−=

=

n

k

n

k

kk

21

lnln

()()[]{}∑

=

−−−−−−>

n

k

kkkkkk

2

)1()1ln(1ln

1ln)11ln.1()ln(+−=−−−=nnnnnn

第四章总结

4.1Lagrange中值定理的辅助函数的一般作法

Lagrange中值定理证明中辅助函数的作法各式各样，目前采用的主要有如

下形式：

x

ab

afbf

xfxF

−

−

−=

)()(

)()(1）（

)(

)()(

)()()2(ax

ab

afbf

xfxF−

−

−

−=

)(

)()(

)()()3(bx

ab

afbf

xfxF−

−

−

−=

)](

)()(

)([)()()4(ax

ab

afbf

afxfxF−

−

−

+−=

xafbfxfabxF)]()([)()()()5(−−−=

))](()([)()()()6(axafbfxfabxF−−−−=

)(

1)(

1)(

)()7(

xfx

afa

bfb

xF=

)()(

)()(

)()8(

xfbfxb

afxfax

xF

−−

−−

=

应用（1）-（8）中任何的一种，用Rolle定理立即可以证明Lagrange中值定理。

表面上表面上看作辅助函数要有几分技巧，其实只要用逆向思维来探索，不难发

现这些助辅函数形式并非某人一时“聪明”而作出，却都是出自于一个统一的形

式。事实上，从Lagrange中值公式的形式

baf

ab

afbf

≤≤

′

=

−

−

ξξ),(

)()(

0

)()(

)(=

−

−

−

′

ab

afbf

fξ可知：

处之导数，即有在视为函数若将ξξ)()(xFf

′

0

)()(

)()(=

−

−

−′=′

==ab

afbf

xfxF

xxξξ

的任意性得由ξ

ab

afbf

xfxF

−

−

−

′

=

′

)()(

)()(

两边积分可得：

)1(,

)()(

)()(

1

cx

ab

afbf

xfxF+

−

−

−=

中值定理。定理证明均可以按）中的取何值，用（不论LagrangeRolle)(1

1

xFc

时，；分别取值为特别的当)(

)()(

;

)()(

.;

)()(

.0

1

afa

ab

afbf

ab

afbf

b

ab

afbf

ac−

−

−

−

−

−

−

）的具体形式。）不过是（（）），即（（）助函数（可以得出前面罗列的辅14141−−

0)]()([)()

)()(

)(=−−

′

−

−

−

=

′

afbffab

ab

afbf

fξξ作如下变形：（另一方面，对

得类似于前面的处理，即

)2(,)]()([)()()(

2

cxafbfxfabxF+−−−=

[]）。（）得到辅助的函数（；为分别取85),()();()(;)()(0

2

−−−−bafabfabfbafaafbfc

比较(1)与(2)，容易看出(2)是(1)的简单变形．所以可以说(1)是这些辅助函数

的根式形式。

4.2渗透在中值定理中的数学思想

中值定理是一条重要定理，它在微积分中占有重要的地位，起着重要的作用，

深入挖掘渗透在遮一定理中的数学思想，对于启迪思维，培葬创造能力具有重要

意义．

上述拉格朗日定理的结论是一个等式，等式的左边是区间(a,b)的

ab

afbf

−

−)()(

两个端点所对应的边界值,是区间(a,b)内部的一个点C所对应的内部值．因)(cf′

此等式可以视作边界值与内部值的一个羌系式．它沟通了内部信息与边界信息之

间的联系．伟大的数学家希尔伯特说“数学的生命力在于联系”．数学中存在

着概盎之间的亲缘关系，存在着理论结构各要素之间的联系，存在着方法和理论

之间的联系，存在着这一分支邻域与那一分支邻域等各种各样的联系，因此探

索数学中各种各样曲联系乃是指导数学研究的一个重要思想．实际上，具体地分

析事物的具体联系，是正确认识和改造客观世界必不可少的思维方式在一定的意

义上说，数学的真正任务就在于揭示数学对象之间、数学结梅之间的内在固有联

系，这一任务的解决不断推动数学科学向前发展．饲如把圆和三角形联系起来就

产生了三角学，把数和曲线联系起来产生了解析几何学．在近代数学各个学科邻

域，由于把不同学科韵研究对象或研究方向联系起来，从而涌现出大批新的数

学分支和数学成果．上面通过几何图形的数量表示以及数量问题的几何直观，使

我们获得了拉格朗日中值定理．这一具体的事例，充分体现了数学结合及其转

化思想的重要作用．将一个数学问题通过几何图形表述出来，有着具体直观的

鲜明的特点，它有助于形象化思维的发挥．凡们通过几何图形，就可以直接联想

到现实事物各种形状，并以此体察到数学的具体与抽象之间的关系，了解数学抽

象化与形式化的特点，从而为数学研究打开通道，最终可导致数学的重要发现．形

的问题转化为数的问题，便于祝槭化．数学的问题往往有一定的程序性，这一步

运算完毕就知道下一步应该怎样进行，而且经过有限步可以实现．几何问题机

械化方法曲使用，第一步就在于几何问题代数化．把平面上的点定义为某一固定

域，例如有理数域Q上的有序偶．接着就是把几何关系翻译成代数形式，这就可

以用计算机来证明初等几何定理．吴文俊先生已经利用这种形转化为数的方法

对大部分初等几何定理用计算机给予证明了．不但如此，用机械化方洼还发现了

新的初等几何定理．遮种藏转化形，形转化为数，以及数与形相结合是数学研究

中的一个重要思想．用这种思想为指导探索和发现解题途径的重要作用巳为大家

所熟知，这里就不赘述了．

参考书目

[1]数学分析（上册）华东师范大学数学系2002高等教育出版社

[2]裴礼文数学分析中的典型问题和方法高等教育出版社

[3]刘玉琏数学分析讲义（第四版）高等教育出版社

[4]钱吉林数学分析题解精粹崇文书局

[5]林高丽中值定理在证明中的应用温州职业技术学院报2003年3月

[6]李大元求和不等式和微分中值定理数学教学2004年第5期

[7]邓晓红积分中值定理的应用贵阳金筑大学报2004年9月

[8]蒋志刚微积分在不等式中的应用宁波职业技术学院报2002年3月