二次函数最值
-公务文书
2023年2月15日发(作者：快速记忆法)第1页
二次函数最值问题
【知识版块一】二次函数应用题
（例1）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为了投资商在甲、乙两地生产并销
售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用y（万元）与
x
满
足关系式905
10
1
2++=xxy，投入市场后当年能全部
x
售出，且在甲、乙两地每吨的售价
甲
P、
乙
P（万元）均与
x
满足一次函数关系。（注：年利润=年销售额-全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售
x
吨时，14
20
1
+=xP
甲
，请你用含
x
的代数式表
示甲地当年的年销售额，并求年利润
甲
W（万元）与
x
之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售
x
吨时，nxP+=
10
1
乙
（
n
为常数），且在乙地当
年的最大年利润为35万元。试确定
n
的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18
吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得
较大的年利润？
（变式1）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专
业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润
1
y与投资量
x
成正
比例关系，如图①所示；种植花卉的利润
2
y与投资量
x
成二次函数关系，如图②所示（注：
利润与投资量的单位：万元）
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图①图②
（1）分别求出利润
1
y与
2
y关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取
的最大利润是多少？
（变式2）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬
菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩
数y（亩）与补贴数额
x
（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额
x
的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与
x
之间也
大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额
x
之
间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益
w
（元）最大，政府应将每亩补贴数额
x
定为多少？并求
出总收益
w
的最大值．
【知识版块二】距离类最值问题
（例2）知识技能：三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边
如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，
BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（﹣1，0），B（﹣
l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c
经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
图1
x/元
50
1200
800
y/亩
O
图2
x/元
100
3000
2700
z/元
O
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（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在
什么位置时有|QE﹣QC|最大？并求出最大值．
（变式）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2
cm
，点A、C分
别在y轴的负半轴和
x
轴的正半轴上，抛物线cbxaxy++=2经过点A、B和)
3
2
-,4(D
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同
时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点
也随之停止运动．设
)(22cmPQS=
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取
4
5
，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四
边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、的距A离之差最大，求出点M的坐标．
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（例3）知识技能：面积恒定，根据底最短求高最长。
已知直线)0(3<+=kkxy分别交
x
轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点
O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作
x
轴的垂线交直线AB于点C，设运
动时间为t秒．
（1）当1-=k时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时
出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．
①直接写出1=t秒时C、Q两点的坐标；
②若以Q、C、A为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
（2）当时，设以C为顶点的抛物线
nmxy++=2)(与直线AB的另一交点为D（如图2），
①求CD的长；
②设CODΔ的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？
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（例4）知识技能：两点之间直线最短
如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得
到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为
1
d，点P到点A的距离为
2
d，试说明
1
12
+=dd；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC
的周长的最小值．
（例5）知识技能：将军饮马
在平面直角坐标系中，已知抛物线cbxxy++=2
2
1
-（,bc为常数）的顶点为P，等腰直
角三角形ABC的定点A的坐标为)1-,0(，C的坐标为(4,3)，直角顶点B在第四象限.
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.
i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以MPQ、、
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三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
ii）取BC的中点N，连接,NPBQ.试探究
BQNP
PQ
+
是否存在最大值？若存在，求出该最
大值；若不存在，请说明理由.
（变式1）已知，如图，二次函数
)0(3-22≠+=aaaxaxy
图象的顶点为H，与x轴交于A、
B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，
连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
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（变式2）如图1，抛物线)0(2≠++=acbxaxy的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，
交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，
若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，
使D、G，H、F四点所围成的四边形周长最小．若存在，求出这个最小值及点G、H的坐
标；若不存在，请说明理由；
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【知识版块三】面积类最值问题
知识技能：①规则图形直接利用面积公式②不规则图形面积分解为规则图形再表示
（例6）如图，抛物线kxy++=2)1(与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时
点的坐标．
（变式1）如图，抛物线
cbxxy++=2-与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC
的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，
求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.
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（变式2）如图1，抛物线)0(2411-2<+=mmmxmxy与x轴交于B、C两点（点B在点
C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）填空：OB=_________，OC=_________；
（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物
线的解析式；
（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于
点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探
究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．
（
【知识版块四】构造二次函数求最值
（例8）如图，抛物线
cbxaxy++=2交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点
E（0，﹣3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y
轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．
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（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于
点G，求线段HG长度的最大值；
（变式）如图，抛物线cbxxy++=2
4
1
-与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直
线
2
3
-kxy=过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线cbxxy++=2
4
1
-与直线
2
3
-kxy=的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平
行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC
是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求
l与x的函数关系式，并求出l的最大值．
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（例9）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线cbxaxy++=2经过A、B、C三点，已
知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，
垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最
大，求出此时P点的坐标；
（变式）如图，抛物线
1-2
1
xy=交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右
平移4个单位得抛物线
2
y，两条抛物线相交于点C．
（1）请直接写出抛物线
2
y的解析式；
（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；
（3）在第四象限内抛物线y
2
上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？
若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．
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