三角函数周期
-运动稿
2023年2月15日发(作者：it服务管理体系)如何求三角函数的周期
三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一
个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．
1、定义法
例1．求下列函数的周期xy2sin)1(,
3
2
tan)2(
x
y．
(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T，对于函数定义域内的每一个
x
值
都能使xTx2sin)(2sin＝成立，同时考虑到正弦函数xysin的周期是2．
解：∵)(2sin)22sin(2sinxxx,即xx2sin)(2sin．
∴当自变量由
x
增加到x时，函数值重复出现，因此xy2sin的周期是．
(2)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T，对于函数定义域内的每一个
x
值
都能使
3
2
tan)(
3
2
tan
x
Tx成立，同时考虑到正切函数xytan的周期是．
解：∵)
2
3
(
3
2
tan)
3
2
tan(
3
2
tanx
xx
,即
3
2
tan)
2
3
(
3
2
tan
x
x．
∴函数
3
2
tan
x
y的周期是
2
3
．
例2.求函数（m≠0）的最小正周期。
解：因为
所以函数（m≠0）的最小正周期
例3.求函数的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.
解:∵)(xf＝｜sinx｜＋｜cosx｜
＝｜－sinx｜＋｜cosx｜
＝｜cos(x＋
2
)｜＋｜sin(x＋
2
)｜
＝｜sin(x＋
2
)｜＋｜cos(x＋
2
)｜
＝)
2
(
xf
对定义域内的每一个x，当x增加到x＋
2
时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是
2
.
注意：1、根据周期函数的定义，周期T是使函数值重复出现的自变量
x
的增加值，
如),2()2(xfTxf周期不是T，而是T
2
1
；2、”“)()(xfTxf是定义域内的恒等式，
即对于自变量
x
取定义域内的每个值时，上式都成立．
直接利用周期函数的定义求出周期。
2、公式法
对于函数BxAy)sin(或BxAy)cos(的周期公式是
||
2
T，
对于函数BxAy)tan(或Bxy)cot(的周期公式是
||
T．
例1．求函数)
62
3
sin(3
xy的周期
解：
3
4
2
3
2
T．
例2．求函数的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例3．求函数的最小正周期。
解：因为，
所以函数的最小正周期为。
3、同角函数法
例4．求函数
xxxy2sin2cossin32的周期
解：
12cos2sin3sin2cossin322xxxxxy
1)
6
2sin(21)2cos
2
1
2sin
2
3
(2
xxx
∴
2
2
T．
例5．求函数的最小正周期。
解：因为
所以函数的最小正周期为。
例5．已知函数),
3
cos
3
(sin
3
sin)(
xxx
xf求周期
解：∵
3
2
sin
2
1
)
3
2
cos1(
2
1
3
cos
3
sin
3
sin)(2
xxxxx
xf
)
43
2
sin(
2
2
2
1
)
3
2
cos
3
2
(sin
2
1
2
1
xxx
∴
3
3
2
2
T．
4、转化法：遇到绝对值时，可利用公式2||aa,化去绝对值符号再求周期
例6.求函数|cos|xy的周期
解：∵
2
2cos1
cos|cos|2
x
xxy
∴
2
2
T．
例7．求函数|cos||sin|xxy的周期
解：∵xxxxxxy2sin1|2sin|1|cos||sin||cos||sin|2
2
)4cos1(
2
1
1
2
4cos1
1x
x
∴函数|cos||sin|xxy的最小正周期
24
2
T．
5、最小公倍数罚:若函数
)()()(
21
xfxfxfy
k
，且)(,),(),(
21
xfxfxf
k
，都是周期函
数，且最小正周期分别为
k
TTT,,
21
，如果找到一个正常数T,使
kk
TnTnTnT
2211
，
(
k
nnn,,,
21
均为正整数且互质)，则T就是)()()(
21
xfxfxfy
k
的最小正周期．
例1．求函数xxy
2
1
cossin的周期
解：∵xsin的最小正周期是2
1
T，x
2
1
cos的最小正周期是4
2
T．
∴函数y的周期
2211
TnTnT，把
21
TT，代入得
21
42nn，即
21
2nn，
因为
21
,nn为正整数且互质，所以1,2
21
nn．
函数xxy
2
1
cossin的周期422
11
TnT．
例2．求函数xxy
4
3
cos
3
2
sin的周期
解：∵x
3
2
sin的最小正周期是
3
3
2
2
1
T，x
4
3
cos的最小正周期是
3
8
4
3
2
2
T，
由
2211
TnTn，
213
8
3nn
，
21
89nn(
21
,nn为正整数且互质),
得9,8
21
nn．
所以函数xxy
4
3
cos
3
2
sin的周期是2438
11
TnT．
例3.求函数的最小正周期。
解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和的最
小公倍数是。
所以函数的最小正周期为。
例4.求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的
最小公倍数是，
所以函数的最小正周期为T＝。
例5.求函数的最小正周期。
解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期，
sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。
所以函数的最小正周期为T＝。
例6.求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期.
解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则
5
2
,
3
2
21
TT，所以y＝sin3x＋cos5x
的最小正周期T＝2π／1＝2π.
例7.求y＝sin3x＋tan
5
2x
的最小正周期.
解：∵sin3x与tan
5
2x
的最小正周期是
3
2
与
2
5
，其最小公倍数是
1
10
＝10π.
∴y＝sin3x＋tan
5
2x
的最小正周期是10π.
注：1.分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2.对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
6、图像法利用函数图像直接求出函数的周期。
例1.求函数的最小正周期。
解：函数的图像为图1。
图1
由图1可知：函数的最小正周期为。
例2.求y＝｜sinx｜的最小正周期.
解：由y＝｜sinx｜的图象：
可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.
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