复合函数奇偶性

复合函数奇偶性

-荧光原理

2023年2月15日发(作者：生态系统的概念)

高一数学基础教材（A）—01

第一章集合与函数

1-1函数的奇偶性

基础知识：

1．奇偶性的定义

设函数y＝f(x)的定义域为D，若对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝(或f(－x)＝

)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数)．

2．关于奇偶性的结论与注意事项

(1)函数的奇偶性是函数______________________的性质；函数定义域关于________对称是函数具有奇

偶性的必要条件．

(2)函数按奇偶性分类可分为：___________________、_____________________、_________________

_____、_____________________________．

(3)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么f(0)＝____；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，

则其值域为________，但逆命题不成立．若f(x)为偶函数，则恒有f(x)＝__________．

(4)奇函数的图象关于_________对称；偶函数的图象关于__________对称．

3．判别函数奇偶性的方法

(1)定义法：第一步先看_______________________________，若不对称，则为______________________．

第二步直接或间接利用____________________________来判断．

即若有：f(－x)＝_________(或____________________，__________________)，则f(x)为奇函数．

若有f(－x)＝__________(或____________________，__________________)，则f(x)为偶函数．

(2)图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．

(3)复合函数奇偶性的判断

若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为

奇，一偶则偶”．

注意区分：复合函数和函数的乘积

4．函数奇偶性的应用

(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．

抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可

得f(x)的解析式．

(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0产

生关于x的恒等式，利用对应项系数相等或赋值法求得字母的值．例题讲解：

例1．判断下列函数的奇偶性：

(1)xxf2)(;(2)2)(xxf;

(3)21)(xxf;

例2．已知函数

53()8fxxaxbx

若

(2)10f

，求

(2)f

的值。

课堂练习

)2,2[,8)()4(46xxxxf

一、选择题

1．若)(xf是奇函数，则其图象关于（）

A．x轴对称

B．

y

轴对称

C．原点对称

D．直线

xy

对称

2．若函数yfxxR()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数yfx()图象上的是

（）

A．(())afa，B．(())afa，

C．(())afa，D．(())afa，

3．下列函数中为偶函数的是（）

A．xy

B．

xy

C．2xyD．13xy

4.如果奇函数)(xf在7,3

上是增函数，且最小值是5，那么)(xf在3,7

上是（）

A．增函数，最小值是-5B．增函数，最大值是-5

C．减函数，最小值是-5D．减函数，最大值是-5

5.已知函数)(

12

22

)(Rx

aa

xf

x

x







是奇函数，则a的值为（）

A．

1

B．

2

C．

1

D．

2

6.已知偶函数)(xf在],0[上单调递增，则下列关系式成立的是()

A．

)2()

2

()(fff



B．)()

2

()2(



fff

C．

)

2

()2()(



fffD．)()2()

2

(



fff

二、填空题

7．若函数)(xfy是奇函数，3)1(f，则)1(f的值为____________.

8．若函数)(xfy)(Rx是偶函数，且)3()1(ff，则)3(f与)1(f的大小关系为

__________________________.

9．已知)(xf是定义在2,00,2上的奇函数，当

0x

时，)(xf的图象如右图所示，那么f(x)的值域是.

10．已知分段函数)(xf是奇函数，当),0[x时的解析式为

2xy，则这个函数在区间)0,(上的解析式为．

三、解答题

11.判断下列函数是否具有奇偶性：

(1)35()fxxxx；

(2)2(),(1,3)fxxx；

(3)2)(xxf；

(4)25)(xxf；

(5))1)(1()(xxxf.

12．判断函数122xxy的奇偶性，并指出它的单调区间.

13．已知二次函数222)1(2)(mmxmxxf的图象关于

y

轴对称，写出函数的解析表达

3

2

2

x

y

O

式，并求出函数)(xf的单调递增区间.

四、能力题

14．设fx是定义在

R

上的偶函数,且在)0,(上是增函数,则2f与223faa

（

aR

）的大小关系是（）

A．2f223faaB．2f223faa

C．2f223faa

D．与a的取值无关若函数

15．已知)(xf是奇函数，)(xg是偶函数，且在公共定义域1,|xRxx上有

1

1

)()(





x

xgxf，求)(xf的解析式.

强化练习

一、选择题

1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）

A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数

2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）

A．

3

1

a，b＝0B．a＝－1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝3，b＝0

3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（）

A．y＝x（x－2）B．y＝x（｜x｜－1）C．y＝｜x｜（x－2）D．y＝x（｜x｜－2）

4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（）

A．－26B．－18C．－10D．10

5．函数

11

11

)(

2

2







xx

xx

xf

是（）

A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数

6．若)(x，g（x）都是奇函数，2)()(xbgaxf在（0，＋∞）上有最大值5，

则f（x）在（－∞，0）上有（）

A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－3

二、填空题

7．函数

21

22

)(

x

x

xf







的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．

8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．

9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若

1

1

)()(





x

xgxf，则f（x）的解析式为_______．

10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．

三、解答题

11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求

实数m的取值范围．

12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，

试证f（x）是偶函数．

13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

14.f（x）是定义在（－∞，－5］



［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，

试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），

求证f（x）是偶函数．

课后练习

一、选择题

1.设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于()

A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5

2.已知定义域为(－1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a－3)+f(9－a2)<0,则a的取值范围

是()

二、填空题

3.若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.

4.如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f(x+2)=－f(x),试比较

f(

3

1

),f(

3

2

),f(1)的大小关系_________.

三、解答题

5.已知f(x)是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f(x)在(－∞,0)上的增减性并加以证明.