sinx的反函数

sinx的反函数

-非金

2023年2月15日发(作者：日用品英文)

南京市鼓楼中等专业学校教案

授课日期年月日第周授课时数2课型新授课

课题§8.3.2反余弦函数、反正切函数

教学

目标

知识目标：①理解反余弦函数，反正切函数的概念；

②掌握反余弦函数、反正切函数的定义域、值域；

③知道反余弦函数和反正切函数的图象.

能力目标：①能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用

反余弦函数值和反正切函数值表示角.

②会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.

情感目标：渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发

现能力.

教学

重点

难点

重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.

难点：能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值.

板书

设计

§8.3.2反余弦函数、反正切函数

1、反余弦函数例1例2

2、反正切函数

3、图象

4、求值

学情

分析

由于学生刚刚学完反正弦函数，本节课在巩固原有知识的基础上，通过类比

由学生自己来得出反余弦、反正切函数的概念，并仿照反正弦函数的图象来

探究反余弦、反正切函数的图象.

教后记

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动

一、情境导入

1、复习

我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx，x∈R，不存在

反函数；但在[



,

22

]存在反函数.

2、思考：那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？

分析：因为对于任一余弦值y和正切值y都有无数个角值

x

与之对应.

余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.

3、讨论：应该选取什么区间，使得xycos或y=tanx存在反函数呢？

这个区间的选择依据两个原则：

（1）xycos和y=tanx在所取对应区间上存在反函数；

（2）能取到xycos的一切函数值1,1，y=tanx一切函数值R.

可以选取闭区间[0，π]，使得xycos在该区间上存在反函数；

可以选取闭区间（-

2



，

2



），使得y=tanx在该区间上存在反函数，

这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.

二、新课讲解

1、反余弦函数和反正切函数的定义：

余弦函数y=cosx，x∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，

记作y=arccosx，x∈[-1，1]；

正切函数y=tanx，x∈（-

2



，

2



）的反函数叫做反正切函数，

记作y=arctanx，x∈（-∞，∞）.

（2）反正弦函数的性质：

①图象

y=arccosxy=arctanx

②定义域：函数y=arccosx的定义域是[-1，1]；

函数y=arctanx的定义域是R.

师：复习提问

生：口答

生讨论，得出区

间的选择.

生：仿照反正弦

函数的定义给出

反余弦、反正切

函数的定义.

师：提示

师：根据反函数

的定义画出两个

反函数的图象.

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动

③值域：函数y=arccosx的值域是[0，π]；

函数y=arctanx的值域是（-

2



，

2



）.

④奇偶性：函数y=arccosx既不是奇函数也不是偶函数，

但有arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1]；

函数y=arctanx是奇函数，即arctan（-x）=-arctanx.

⑤单调性：函数y=arccosx是减函数；函数y=arctanx是增函数.

结论：函数y=cosx，x∈[0，π]与函数y=arccosx，x∈[-1，1]的图象

关于直线xy对称；

函数y=tanx，x∈（-

2



，

2



）与函数y=arctanx，x∈R的图象

关于直线xy对称.

三、例题讲解

例1．求下列反三角函数的值：

（1）arccos

2

2

；（2）arccos)

2

1

(；（3）arctan（-1）；（4）arctan

3

解：（1）因为在[0，π]上，cos

4



=

2

2

，，所以arccos

2

2

=

4



.

（2）因为在[0，π]上，cos

3

2

=

2

1

，，所以arccos)

2

1

(=

3

2

.

（3）因为在（-

2



，

2



）上，tan（-

4



）=-1，

所以arctan（-1）=-

4



.

（4）因为在（-

2



，

2



）上，tan

3



=

3

，所以arctan

3

=

3



.

例2用反余弦函数表示适合下列条件的角x

（1）

4

3

cosx，],0[x（2）

4

3

cosx，]2,0[x

解：（1）因为

4

3

cosx，],0[x，所以

4

3

arccosx

（2）因为

4

3

cosx，]2,0[x，所以],

2

[



x或]

2

3

,[



x

当],

2

[



x，)

4

3

arccos(x，

当]

2

3

,[



x，

4

3

arccosx.

生：观察图像得

出两个反三角函

数的性质.

师：板书（1）（3）

生：尝试做（2）

（4）

师：x的范围超

出反函数的定义

域，需要注意分

类.

教学程序和教学内容（包括课外作业和板书设计）师生活动

例3已知等腰三角形的两腰AB=AC=13cm，高AD=12cm，试用反正切函数

表示各内角.

解：如图，在△ABC中，作高AD交BC于D

则

5

12

tanB，

12

5

tanBAD

5

12

arctanCB，

12

5

arctan22BADA.

四、巩固练习

1、教材P82练习8.3.2第1、2、3

2、求下列反三角函数的值：

（1）arccos

2

1

；（2）arccos（-

2

3

）；（3）arccos0；

（4）arctan1；（5）arctan（-

3

3

）.

五、课堂小结

1、反余弦函数和反正切函数的定义；

2、反余弦函数和反正切函数的图象与性质.

六、布置作业

教材P83习题8.3A组1（3）（4）（5）（6）2（2）

生：板演练习

师：点评，订正

师：回顾小结

生：集体口答

A

B

CD