反函数怎么求例题

反函数怎么求例题

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2023年2月23日发(作者：教师法颁布时间)

反函数求导法则

刘云

（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班甘肃天水741000）

摘要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微

分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。

关键词：反函数；基本初等函数；求导

引言

除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出

导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列

的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。

1.反函数求导定理

若函数)(xfy在ba,上连续、严格单调、可导并且0)(



xf,记



))(),(min(bfaf,))(),(max(bfaf,则它的反函数)(yfx



在

ba,上可

导，且有



)(

1

)(1

xf

yf







.

证明：

因为函数)(xfy在

ba,上连续且严格单调，由反函数连续定理，

它的反函数)(1yfx在),(上存在、连续、且严格单调，这时

0)()(xfxxfy等价于0)()(11yfyyfx，并且当0y时有

0x。

因此



y

yfyyf

yf

y











)()(

lim)(

11

0

1

)()(

lim

0xfxxf

x

x







)(

1

)()(

lim

1

0

xf

x

xfxxf

x













.

2.基本初等函数的导数和微分公式：

0)(



C0*0)(dxCd

1)(

aaaxxdxaxxdaa1)(

xxcos)(sin



xdxxdcos)(sin

xxsin)(cos



xdxxdsin)(cos

xx2sec)(tan



xdxxd2sec)(tan

xx2csc)(cot



xdxxd2csc)(cot

xxxsectan)(sec



xdxxxdsectan)(sec

xxxcsccot)(csc



xdxxxdcsccot)(csc

3.求导定理的推广

(1)多个函数线性组合的导函数





















n

i

ii

n

i

ii

xfcxfc

11

)()(，

其中),,3,2,1(nic

i

为常数。

（2）多个函数乘积的导函数













































n

j

n

ji

i

ij

n

i

i

xfxfxf

1

11

)()()(.

总结

通过反函数求导法则，可以简捷快速的求出反函数的导数，以及反

函数的导数和原函数的导数及原函数之间的关系。

参考文献

[1]陈纪修，於崇华，金路。数学分析（第二版）[M],北京：北京教育出版社，2004.6.