sinx

sinx

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2023年2月23日发(作者：毕业设计论文)

【本讲教育信息】

一.教学内容：

1.3.1正弦函数的图象和性质

二.教学目的

1、掌握用几何法绘制正弦函数

ysinx,xR

的图象的方法；掌握用五点法画正弦函数

的简图的方法及意义；

2、掌握正弦函数

ysinx,xR

的性质及应用；

3、掌握正弦型函数

yAsin(x),xR

的图象（特别是用五点法画函数

yAsin(x),xR

的图象）、性质及应用。

三.教学重点、难点

重点：

1、用五点法画函数

yAsin(x),xR

的简图；

2、函数

yAsin(x),xR

的性质及应用；

3、函数

ysinx,xR

与

yAsin(x),xR

的图象的关系。

难点：

1、正弦函数

ysinx,xR

的周期性和单调性的理解；

2、函数

ysinx,xR

与

yAsin(x),xR

的图象的关系。

四.知识分析

1、正弦函数图象的几何作法

采用弧度制，x、y均为实数，步骤如下：

（1）在x轴上任取一点O

1

，以O

l

为圆心作单位圆；

（2）从这个圆与x轴交点A起把圆分成12等份；

（3）过圆上各点作x轴的垂线，可得对应于0、

6



、

3



、、

2

的正弦线；

（4）相应的再把x轴上从原点O开始，把这0～

2

这段分成12等份；

（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与x轴上对应的点重合；

（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。

2、五点法作图

描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，

ysinx,x[0,2]

的图象上有五

点起决定作用，它们是

3

(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)

22





。描出这五点后，其图象的形状

基本上就确定了。

因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连

接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。

注意：

（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位

置，因此作出的图象不够精确。

（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。

（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的

问题曾出现在历届高考试题中。

（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在x轴、

y轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。

（5）如果函数表达式不是

ysinx

，则那五点就可能不是

3

(0,0),(,1),(,0),(,1),

22





(2,0)

如：用“五点法”作函数

y1sinx,x[0,2]

的简图，所用的五个关键点列表就是：

而用“五点法”作函数

ysin(2x)

3





的简图，开始的一段图象所用的五个关键点列

表就是：

x

6





12



3

7

12

5

6



2x

3





0

2



π

3

2



2π

y010

－1

0

3、正弦曲线

下面是正弦函数

ysinx,xR

的图象的一部分：

2

-2

-15-10-551015

4、正弦函数的值域

从正弦线可以看出：正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度；

从正弦曲线也可以看出：正弦曲线分布在y=1和y＝－1之间，说明|sinx|≤1，即正

弦函数的值域是［－1,1］。

注意：这里所说的正弦函数的值域是[－l,1]，是指整个正弦曲线或一个周期内的正弦曲

线。如果定义域不为全体实数，那么正弦函数的值域就可能不是［－1,1］。如

ysinx,x0,

2











，则值域就是[0，1]，因而在确定正弦函数的值域时，要特别注意其

定义域。

5、周期函数的定义

一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内

的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数

T叫做这个函数的周期。

注意：(1)定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值

满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说T是f(x)的周期。

例如：

4

sin)

24

sin(











但是

3

sin)

23

sin(











就是说，

2



不能对x的定义域内的每一个值都有

sin(x)sinx

2





,因此

2



不是sinx

的周期。

（2）从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是与自变量x本身相加的常数才是周期，如

f(2x+T)=f(2x),T不是f(2x)的周期，而应写成f(2x+T)＝

T

f[2(x)]

2



＝f(2x)，则

T

2

是f(2x)的周期。

（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正

周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期。

（4）并不是所有周期函数都存在最小正周期．例知，常数函数f(x)=C(C为常数),

x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每

一个值x，都有f(x+T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常

数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期。

再如函数









)(0

)(1

)(

是无理数

是有理数

x

x

xD

设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x为无理数

时，x+r也是无理数，就是说D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于O，因此在两种

情况下，都有D(x+r)＝D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r

可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小者，所以D(x)没有最小正周期。

（5）“f(x+T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T

是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值。

（6）周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期。

（7）在周期函数y＝f（x）中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x+kT也

一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集。

6、正弦函数的周期性

（1）从正弦线的变化规律可以看出，正弦函数是周期函数，

2k(kZk0)且

是它

的周期，最小正周期是2π。

（2）正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2kπ)＝sinx(k∈Z)得到。

7、正弦函数的奇偶性

正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数。

（1）由诱导公式sin（－x）＝－sinx可知上述结论成立，

（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称；

（3）正弦曲线是中心对称图形，其所有的对称中心为（kπ,0）。正弦曲线也是轴对

称图形，其所有的对称轴方程为

xk,xZ

2





。

注意：正弦曲线的对称轴一定是经过正弦曲线的最高点或最低点，此时正弦值为最大值

或最小值。

8、正弦函数的单调性

由正弦曲线可以看出：当x由





2增大到



2时，曲线逐渐上升，sinx由－1增大到1；

当x由



2增大到

3

2



时，曲线逐渐下降，sinx由1减小到－1。

由正弦函数的周期性知道：

正弦函数

yxsin

在每一个闭区间［











2

2

2

2kk，

］（kZ）上都从－1增

大到1，是增函数；在每一个闭区间［









2

2

3

2

2kk，

］（kZ）上，都从1减小到

－1，是减函数。也就是说正弦函数

yxsin

的单调区间是：［











2

2

2

2kk，

］及

［









2

2

3

2

2kk，

］（kZ）

9、函数图象的左右平移变换

如在同一坐标系下，作出函数

yxsin()



3

和

yxsin()



4

的简图，并指出它们

与

yxsin

图象之间的关系。

解析：函数

yxsin()



3

的周期为

2

，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区

间上的简图。

设

xZ



3

，那么

sin()sinxZ



3

，

xZ



3

当Z取0、





2

3

2

2、、、

时，x取





36

2

3

7

6

5

3

、、、、

。所对应的五点

是函数

yxsin()



3

，

x[]



3

5

3

，

图象上起关键作用的点。

列表：

x





3



6

2

3

7

6

5

3



x



3

0



2



3

2



2

sin()x



3

010

－1

0

类似地，对于函数

yxsin()



4，可列出下表：

x



4

3

4

5

4

7

4

9

4



x



4

0



2



3

2



2

sin()x



4

010

－1

0

描点作图（如下）

利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出

yxsin()



3

，xR

及

yxsin()



4，xR的简图（图略）。

由图可以看出，

yxsin()



3

的图象可以看作是把

yxsin

的图象上所有的点向左

平行移动



3

个单位而得到的，

yxsin()



4

的图象可以看作是把

yxsin

的图象上所有

的点向右平行移动



4

个单位得到的。

注意：一般地，函数

yxsin()()0

的图象，可以看作是把

yxsin

的图象上

所有的点向左（当

0

时）或向右（当

0

时）平行移动

||

个单位而得到的。

推广到一般有：

将函数

yfx()

的图象沿x轴方向平移

||a

个单位后得到函数

yfxaa()()0

的

图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。

10、函数图象的横向伸缩变换

如作函数

yxsin2

及

yxsin

1

2的简图，并指出它们与

yxsin

图象间的关系。

解析：函数

yxsin2

的周期

T

2

2





，我们来作

x[]0，

时函数的简图。

设2xZ，那么sinsin2xZ，当Z取0、









2

3

2

2、、、

时，所对应的五点是

函数

yZZsin[]，，02

图象上起关键作用的五点，这里

x

Z



2，所以当x取0、



4

、





2

3

4

、、

时，所对应的五点是函数

yxxsin[]20，，

的图象上起关键作用的五

点。

列表：

x0



4



2

3

4





2x0



2



3

2



2

sin2x

010

－1

0

函数

yxsin

1

2的周期

T

2

1

2

4





，我们来作

x[]04，

时函数的简图。

列表：

x0

234

1

2

x

0



2



3

2



2

sin

1

2

x

010

－1

0

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出

yxsin2

，xR

及

yxsin

1

2

，xR的简图（图略）。

从上图可以看出，在函数

yxsin2

的图象上横坐标为

x

0

2

（

xR

0



）的点的纵坐标同

yxsin

上横坐标为

x

0的点的纵坐标相同（例如，当

x

02





时，

sin()sin2

22

10

x

，

sinsinx

02

1



）。因此，

yxsin2

的图象可以看作是把

yxsin

的图象上所有点的横

坐标缩短到原来的

1

2倍（纵坐标不变）而得到的。

类似地，

yxsin

1

2的图象可以看作是把

yxsin

的图象上所有点的横坐标伸长到原

来的2倍（纵坐标不变）而得到的。

注意：一般地，函数

yxsin()01且

的图象，可以看作是把

yxsin

的图

象上所有点的横坐标缩短（当

1

时）或伸长（当

01

时）到原来的

1

倍（纵坐标

不变）而得到的。

推广到一般有：

函数

yfx()()01，

的图象，可以看作是把函数

yfx()

的图象上的点的

横坐标缩短（当

1

）或伸长（当

01

）到原来的

1

倍（纵坐标不变）而得到。

11、函数图象的纵向伸缩变换

如在同一坐标系中作出

yx2sin

及

yx

1

2

sin

的简图，并指出它们的图象与

yxsin

的关系。

解析：函数

yx2sin

及

yx

1

2

sin

的周期

T2

，我们先来作

x[]02，

时函数

的简图。

列表：

x0



2



3

2



2

sinx010

－1

0

2sinx020

－2

0

1

2

sinx

0

1

2

0



1

2

0

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到

yxxR2sin，

及

yxxR

1

2

sin，

的简图（图略）。

从上图可以看出，对于同一个x值，

yx2sin

的图象上点的纵坐标等于

yxsin

的

图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而

yxxR2sin，

的值域为［－2，2］，最

大值为2，最小值为－2。

类似地，

yx

1

2

sin

的图象，可以看作是把

yxsin

的图象上所有点的纵坐标缩短到

原来的

1

2

倍（横坐标不变）而得到的，从而

yxxR

1

2

sin，

的值域是［



1

2

1

2

，

］，最

大值为

1

2，最小值为



1

2。

注意：对于函数

yAxsin

（A>0且A≠1）的图象，可以看作是把

yxsin

的图象

上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

而得到的，

yAxxRsin，

的值域为［－A，A］，最大值为A，最小值为－A。

推广到一般有：

函数

yAfx()

（A>0且A≠1）的图象，可以看作是把函数

yfx()

图象上的点的

纵坐标伸长（当A>1）或缩短（当0

12、函数

yAxsin()

的图象

作函数

yAxsin()

的图象主要有以下两种方法：

（1）用“五点法”作图

用“五点法”作

yAxsin()

的简图，主要是通过变量代换，设

zx

，由

z取0，



2

，



，

3

2



，

2

来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出

图象。

（2）由函数

yxsin

的图象通过变换得到

yAxsin()

的图象，有两种主要途

径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

法一：先平移后伸缩

yxyxsinsin()()()

||

向左或向右

平移个单位





00

横坐标变为原来的倍

纵坐标不变

1

yxsin()

纵坐标变为原来的倍

横坐标不变

AyAxsin()

法二：先伸缩后平移

yxsin

横坐标变为原来的倍

纵坐标不变

1



yxyxsinsin()()()

||







向左或向右

平移个单位

00

纵坐标变为原来的倍

横坐标不变

AyAxsin()

可以看出，前者平移

||

个单位，后者平移

||



个单位。原因在于相位变换和周期变换

都是针对变量x而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则

必然会出现错误。

当函数

yAxsin()

（A>0，

0

，

x[)0，

）表示一个振动量时，A就

表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次

所需要的时间

T

2

，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数

f

T



1

2



，它

叫做振动的频率；

x

叫做相位，



叫做初相（即当x＝0时的相位）。

【典型例题】

例1.作出函数

yx12cos

的图象

分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作出函数的图象。

解析：

yx12cos

化为

yx|sin|

即

y

xkxk

xkxk













sin()

sin()

22

222





()kZ

其图象如图：

点评：画

yx|sin|

的图象可分为两步完成，第一步先画出

yxxsin[]，，0

和

yxsin

，

x()，2

的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的

曲线。

例2.求下列函数的周期

（1）

yxsin

1

2

（2）

y

x

2

36

sin()



分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量替换将它们归结为基本三角函

数去处理。

解析：（1）如果令

mx

1

2

，则

sinsin

1

2

xm

是周期函数，且周期为

2

sin()sin

1

2

2

1

2

xx

即

sin[()]sin

1

2

4

1

2

xx

sin

1

2

x

的周期是

4

（2）

2

36

22

36

sin()sin()

xx









即

2

1

3

6

6

2

36

sin[()]sin()x

x





2

36

sin()

x

的周期是

6

。

点评：由上例我们可以看到函数周期的变换仅与自变量x的系数有关。一般地，函数

yAxsin()

或

yAxcos()

（其中A、

、

为常数，A≠0，x∈R）的周期

T

2

||

。

例3.比较下列各组数的大小。

（1）sin194°和cos160°；（2）

sin

7

4

和

cos

5

3

；

（3）

sin(sin)

3

8



和

sin(cos)

3

8



分析：先化为同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。

解析：（1）

sinsin()sin1941801414

coscos()cossin16

0147090

，

sinsin1470

从而

sinsin1470

即

sincos194160

（2）

cossin()

5

32

5

3





又





2

7

42

5

3

3

2



yxsin

在［





2

3

2

，

］上是减函数

sinsin()cos

7

42

5

3

5

3



即

sincos

7

4

5

3



（3）

cossin

3

88





0

3

8

3

8

1

2

cossin



而

yxsin

在（0，



2

）内递增

sin(cos)sin(sin)

3

8

3

8



点评：

（1）比较同名的三角函数值的大小，首先把三角函数转化为同一单调区间上的同名三

角函数，利用单调性，由自变量的大小确定函数值的大小。

（2）比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较。

例4.求下列函数的最大值和最小值

（1）

yx1

1

2

sin

（2）

yx322

3

sin()



（3）

yxx22

366

sin()()



分析：可利用sinx与cosx的值域求解，求解过程中要注意自变量的取值范围。

解析：（1）



1

1

2

0

11















sin

sin

x

x

11sinx



当sinx1时，

y

max



6

2

当sinx1时，

y

min



2

2

（2）

12

2

3

1sin()x



当

sin()2

3

1x



时，

y

max

5

；

当

sin()2

3

1x



时，

y

min

1

。

（3）





66

x

，

02

3

2

3

x



02

3

1sin()x





当

sin()2

3

1x



时，

y

max

2

；

当

sin()2

3

0x



时，

y

min

0

。

点评：求三角函数的值域或最大值、最小值问题主要得利用sinx与cosx的有界性，以

及复合函数的有关性质。

例5.用两种方法将函数

yxsin

的图象变换为函数

yxsin()2

3



的图象。

分析1：

xxxx22

6

2

3

()



解法1：

yxsin

横坐标缩短到原来的

纵坐标不变

1

2

yxsin26

向左平移个单位



yxxsin[()]sin()2

6

2

3



分析2：

xxx



3

2

3

解法2：

yxsin

向左平移个单位



3

yxsin()



3

1

2

横坐标缩短到原来的

纵坐标不变

yxsin()2

3



点评：在解法1中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两

种变换方法中的平移是不同的（即

6



和

3



），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得

到的结果是一致的。

例6.用五点法作出函数

yx22

3

sin()



的图象，并指出函数的单调区间。

分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。

解析：（1）列表

列表时

2

3

x



取值为0、



2、



、

3

2



、

2

，再求出相应的x值和y值。

x





6



12



3

7

12

5

6



2

3

x



0



2



3

2



2

y020-20

（2）描点

（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到

yx22

3

sin()



，xR的简图（图略）。

可见在一个周期内，函数在［





12

7

12

，

］上递减，又因函数的周期为



，所以函数

的递减区间为

kkkZ







12

7

12

，]()

。同理，增区间为

[]()kkkZ





5

1212

，

。

点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的

x

取0、



2

、



、

3

2



、

2

，然后求出相应的x，y值。

例7.如图是函数

yAxsin()

的图象，确定A、



、



的值。

解析：显然A＝2

T

5

66





()







22

2

T

yx22sin()

解法1：由图知当

x



6时，y＝0

故有

22

6

0x



()

，





3



所求函数解析式为

yx22

3

sin()



解法2：由图象可知将

yx22sin

的图象向左移



6

即得

yx22

6

sin()



，即

yx22

3

sin()







3

点评：求函数

yAxsin()

的解析式难点在于确定初相



，一般可利用图象变换

关系和特殊值法。

【模拟试题】

1、已知

fxx(sin)

，且

x[]0

2

，



，则

f()

1

2

的值等于

A.

sin

1

2

B.

1

2

C.





6

D.



6

2、函数

y

x

a

asin()0

的定义域为

.［－1，1］

C.［



1

3

1

3

，

］D.［－3，3］

3、在［0，

2］上，满足

sinx

1

2

的x取值范围是

A.

[]0

6

，



B.

[]



6

5

6

，

C.

[]



6

2

3

，

D.

[]

5

6



，

4、如图所示，函数

yxxcos|tan|

（

0

3

2

x



且

x



2）的图象是

5、若

x[,]

63





，则函数

2f(x)2cosxsinx1

的值域是

A.

1,2

B.

2,0

C.

19

(31),

28









D.

1

(31),1

2









6、已知函数

yAxsin()

在同一周期内，当

x



12

时，

y

最大

2

，当

x

7

12



时，

y

最小

2

，那么函数的解析式为（）

A.

yx22

3

sin()



B.

yx22

6

sin()



C.

yx22

6

sin()



D.

yx22

3

sin()



7、下列命题正确的是

A.

yxsin

的图象向右平移



2

得

yxcos

的图象

B.

yxsin

的图象向右平移



2

得

yxcos

的图象

C.当

0

时，

yxsin

向左平移

||

个单位可得

yxsin()

的图象

D.

yxsin()2

3



的图象由

yxsin2

的图象向左平移



3

个单位得到

8、函数

yx32

3

sin()



的图象，可由函数

yxsin

的图象经过下述_________变换而

得到

A.向右平移



3个单位，横坐标缩小到原来的

1

2

，纵坐标扩大到原来的3倍

B.向左平移



3

个单位，横坐标缩小到原来的

1

2，纵坐标扩大到原来的3倍

C.向右平移



6

个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的

1

3

D.向左平移



6

个单位，横坐标缩小到原来的

1

2

，纵坐标缩小到原来的

1

3

9、若

sinx

m

m







21

32

，且xR，则m的取值范围是___________

10、函数

yx3

1

24

sin()



的最小正周期是_________

振幅是_________，当

x

_________时，

y

max



__________

当

x

___________时，

y

min



__________

11、函数

yxsin()2

5

2



的图象的对称轴方程为____________

12、若函数

yabsinx

的最大值为

3

2

，最小值为

1

2



，求函数

y4asinbx

的最值

和最小正周期。

13、求函数

ysin(4x)

6





的振幅、周期、相位和单调区间。

14、如图为某三角函数图象的一段：

（1）用正弦函数写出其解析式；（2）求与这个函数关于直线

x2

对称的函数解析式。

x

y

0

－3

3

3



13

3



【试题答案】

1～8：DABCDAAB

9、

1

m3,m

5

或

10、

3

4,3,4k(kZ),3,4k(kZ),3

22





11、

k

x(kZ)

2





12、由题意，得：

3

a|b|

2

1

a|b|

2



















，解得

1

a,|b|1

2



，所以

y4asinbx

的最大值是2，

最小值是－2，最小正周期T＝2π

13、振幅是1，周期是

2



，相位是

4x

6





，单调增区间是

kk

[,](kZ)

26212





,单

调减区间是

kk

[,](kZ)

21223





14、（1）

1

y3sin(x)

26





（2）

1

y3sin(x)

26



