arctanx的原函数

arctanx的原函数

-樊琪

2023年2月15日发(作者：问卷的结构)

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第五章不定积分

学习目标：1．理解原函数、不定积分的概念

2．掌握不定积分的性质及基本积分表

3．理解第一类换元法的基本思想

4．掌握第一类换元法的内容及其证明方法

5．掌握凑微分的技巧和方法

6．掌握第二类换元法的内容及其证明

7．会用第二类换元法计算不定积分

8．熟练地应用分部积分法计算不定积分

学习重点：1.不定积分的性质

2.第一类换元积分法

3.凑微分

4.用第二类换元法计算不定积分

学习难点：1．第一类换元积分法

2．凑微分

3．第二类换元法中的变量替换

4．分部积分公式中u与dv的选取

教学方法：讲授法，辅以练习

计划学时：10学时

新课导入：上一章我们学习了已知原函数求导数的运算，这一章我们进行已知导函数求原函数——不定

积分的运算问题。

§5.1不定积分的概念与性质

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一、原函数与不定积分的概念

1定义设)(xf是定义在区间I上的函数，如果存在函数)(xF，对于Ix,都有)()(xfxF



或

dxxfxdF)()(,

则称函数)(xF为函数)(xf在区间I上的一个原函数.

例如，xsin是

xcos

的原函数,因为xxcos)(sin



.又因为xx2)(2



,xx2)1(2



,所

以2x和12x都是2

x

的原函数.

2．问题1：一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）

问题2：同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？

如果)(xF，)(xG为函数)(xf在区间I上的任意两个原函数,)())((xfxF



,

)())((xfxG



,

于是有0)()()()())()((











xfxfxFxGxFxG.

所以CxFxG)()(,或CxFxG)()(.

回答：任意两个原函数相差一个常数。

3．不定积分函数)(xf的所有原函数称为)(xf的不定积分，记作:dxxf)(.

其中“”称为积分号，)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，

x

称为积分变量.由前面的讨

论可知：

如果)(xF是)(xf的一个原函数,那么CxFdxxf)()(.

例1求

21x

dx

.

解由于

21

1

)(arctan

x

x







，所以xarctan是

21

1

x

的一个原函数，因此

Cx

x

dx





arctan

12

.

例2求x

dx.

解当1时,我们知道，xx)1()(1

，亦有



xx





)

1

1

(1,即1

1

1









x是x的

一个原函数，因此Cxdxx



1

1

1





;

当1时，我们所要求的不定积分为dx

x



1

.因为

x

x

1

)(ln



，因此

Cxxd

x

ln

1

．

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性质：1）)()(xfdxxf

dx

d

或dxxfdxxfd)()(;

2）CxFdxxF

)()(或CxFxdF)()(.

4．可积函数类：

如果函数)(xf在某一区间上连续，则在这区间上函数)(xf可积

二、基本积分公式

(1)Ckxdxk,（k是常数）;(2))1(

1

1













C

x

dxx;

(3)Cxdx

x

ln

1

;(4)Cxdx

x





arctan

1

1

2

;

(5)

Cx

x

dx





arcsin

12

;(6)Cxdxxsincos;

(7)Cxxdxcossin;(8)Cxxdx

x

dx

tansec

cos

2

2

;

(9)Cxdxx

x

dx

cotcsc

sin

2

2

;(10)Cxdxxxsectansec;

（11）Cxdxxxcsccotcsc;（12）Cedxexx;

（13）C

a

a

dxa

x

x

ln

)1(a;（14）Cchxxdxsh;

（15）Cshxxdxch.

三、不定积分的性质

性质1dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([（1）

事实上，)()(])([])([])()([xgxfdxxgdxxfdxxgdxxf











.

推广：有限个函数的和的情况也有这一性质.

性质2dxxfkdxxkf)()(（k为常数，0k）.

例3求dxx

x

x]sin5

1

23[

2

.

解xdx

x

dx

dxxdxdxx

x

xsin523]sin5

1

23[

22

)cos(5)

12

()

2

(2)(3

43

12

2

2

1

CxC

x

C

x

Cx









Cx

x

xxcos5

1

32.

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例4dx

xx

xx







)1(

1

2

2

.

解dx

xx

xx







)1(

1

2

2

dx

x

dx

x

dx

x

x











1

1

1

)

1

1

1

(

22



xxlnarctan

C.

例5求dx

x

x



2

4

1

.

解dx

x

x



2

4

1

=dx

x

x







2

4

1

11

=dx

x

xx







2

22

1

1)1)(1(



dx

x

x)

1

1

1(

2

2



dx

x

dxdxx





2

2

1

1

Cxx

x

arctan

3

3

.

例6求dx

x

2

sin2

解dx

x

2

sin2dxxdxx)cos1(

2

1

)cos1(

2

1





Cxxxdxdx)sin(

2

1

]cos[

2

1

.

例7已知曲线在其上点),(yxP的切线斜率xk

4

1

，且曲线经过点2(,)

2

5

，求此曲线方程．

解设曲线方程为)(xfy，由假设xxf

4

1

)(



，

故dxxdxxfxf





4

1

=Cx2

8

1

即C

x

y

8

2

，C为常数，曲线经过点（2，

2

5

），以此点坐标代入方程，得

C

8

4

2

5

，解得C

2.因此所求方程为2

8

2



x

y.

例8已知某产品的边际收入函数为22260)(xxxR



(

x

为销售量),求总收入函数)(xR.

解dxxxdxxRxR)2260()()(2





Cxxx32

3

2

60.

当0x时,0R,从而0C,于是

图5.1-1

x

y

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32

3

2

60)(xxxxR

§5.2换元积分法

一、第一类换元法

1．引例求xdx2cos．

解)2(2cos

2

1

2cosxxdxdx，令2

ux

，得

Cuduuxxdsin

2

1

cos

2

1

)2(2cos

2

1

,

代回原变量，得Cxxdx2sin

2

1

2cos.

一般的我们有如下结论：

2．定理设)(uf是

u

的连续函数，且CuFduuf)()(，

设)(xu有连续的导数)(x

，则dxxxf)()]([=CxF)]([．

证明只需证明)()]([

)]([

xxf

dx

xdF







即可．

)()]([

)]([

xxF

dx

xdF







，又由)()(ufuF



，故)()]([

)]([

xxf

dx

xdF









例1求dx

x



23

1

.

解令xu23，则dxdu2，故

CxCu

u

du

x

xd

x

dx











23ln

2

1

ln

2

1

2

1

23

)23(

2

1

23

.

例2求

xdxtan

．

解xdxtan=dx

x

x



cos

sin

因为xdxdxcossin，

设

cosu

x，则xdxdusin，因此，

xdxtan

dx

x

x



cos

sin

=CxCu

u

du

coslnln.

练习：Cxxdxsinlncot．

熟练以后，可直接写出结果:

例3求dx

xa



22

1

.

解dx

xa



22

1

=

C

a

x

aa

x

d

a

x

a

dx

a

x

a









arctan

1

)(

)(1

11

)(1

11

22

2

.

例4求

a

xa

dx

(

22





>0）.

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解

C

a

x

a

x

a

x

d

a

x

dx

a

xa

dx













arcsin

)(1

)(

)(1

1

22

22

.

例5求dx

ax



22

1

.

解由于)

11

(

2

11

22axaxa

ax











,所以

)

11

(

2

1

)

11

(

2

1

22

dx

ax

dx

axa

dx

axaxa

ax

dx





















)](

1

)(

1

[

2

1

axd

ax

axd

axa













a2

1

Caxax]ln[ln

C

ax

ax

a







ln

2

1

.

例6求xdx3sin.

解xdx3sin)(cos)cos1(sinsin22xdxxdxx



)(coscos)(cos2xxdxd=Cxx3cos

3

1

cos.

例7求xdx2cos与xdx2sin.

解xdx2cos=Cx

x

xdxdxdx

x





2sin

4

1

2

2cos

2

1

2

1

2

2cos1

.

Cx

x

dx

x

xdx



2sin

4

1

22

2cos1

sin2.

例8求xdxcsc.

解xdxcsc

2

tan

)

2

(

2

sec

2

cos

2

tan

)

2

(

2

cos

2

sin2

sin

2

2

x

x

d

x

xx

x

d

xx

dx

x

dx



C

x

x

x

d



2

tanln

2

tan

)

2

(tan

.

又

2

cos

2

sin

2

tan

x

x

x

=xx

x

x

x

x

cotcsc

sin

cos1

sin

2

sin22





.

所以上述不定积分又可表示为

Cxxxdxcotcsclncsc.

练习：Cxxxdxtanseclnsec

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例9求xdxx3cos2sin.

解利用积化和差公式

)sin()sin(

2

1

cossin,

得xxxxsin5sin

2

1

3cos2sin,

所以xdxx3cos2sin

xdxxdxdxxxsin

2

1

5sin

2

1

)sin5(sin

2

1



Cxxcos

2

1

5cos

10

1

.

二、第二类换元法

定理设函数)(tx严格单调、可导且0)(



t，设)()]([ttf

具有原函数.则

[)(dxxf

)(1])()]([

xt

dtttf



，其中)(1x是)(tx的反函数.

证设CtFdtttf

)()()]([，只需证)(]))(([1xfCxF





而

dx

dt

dt

tdF

xF

dx

d



)(

))((1)()]([

)(

1

)()]([xftf

t

ttf











.

去根号

例1求

x

dx

1

.

解作变量代换2tx(以消去根式)，于是

tx

，tdtdx2,从而

dt

t

dt

t

t

x

dx

)

1

1

1(2

1

2

1













CxxCtt)1ln(22)1ln(22

.

例2求dxxa22(

a

>0).

解积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令

taxsin，

22



t,则tdtadxcos,taxacos22,

tdtoscatdtatadxxa2222coscos



















Ctt

a

dt

t

a2sin

2

1

22

2cos12

2,

回代变量，由

a

x

tsin，得

a

x

tarcsin,

a

xa

t

22

cos





,

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故有

C

a

xax

a

xa

dxxa



)(arcsin

22

222

22

Cxa

x

a

xa

22

2

2

arcsin

2

.

例3求

22ax

dx

a(>)0

解利用三角公式tt22sectan1来化去根式，

设taxtan

2

(





2



,则tdtadx2sec,

tatataaaxsectan1tan222222,于是



22ax

dx

tdtdt

ta

ta

sec

sec

sec2

Ctttansecln.

由

a

x

ttan，得

a

ax

t

22

sec





,因此,



22ax

dx

C

a

ax

a

x





)ln(

22

1

22)ln(Caxx,其中aCCln

1

.

例4求

a

ax

dx

(

22





>)0

解设

x

>0，令achtx，

利用公式122tshtch有

ashttshatchaax222222)1(，ashtdtdx

于是有

Ctdt

asht

asht

ax

dx







22

，

注意：

a

x

a

ax

chtshtet





22

两边取导数得

aaxxtln)ln(22

所以

1

22

22

)ln(Caxx

ax

dx





,其中aCCln

1

.

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例5求

xe

dx

1

解为化去根式，令tex，则ttxln2ln2，

t

dt

dx

2

，



xe

dx

1

dt

tt

tt

dt

tt













)1(

1

2

)1(

2

Cttdt

tt

















]1ln[ln2

1

11

2

C

t

t



















2

1

ln.

将xet回代得

xe

dx

1

C

e

e

x

x























2

1

ln.

例6求

3422xx

dx

.

解

3422xx

dx











2

1

)1(

2

1

2

3

2

2

1

22x

dx

xx

dx

)1(

)

2

1

()1(

1

2

1

22





xd

x

C

x







2

1

1

arctan2

2

1

Cx)1(2arctan

2

2

.

例7求

942x

dx

.

解

942x

dx











22223)2(

)2(

2

1

3)2(x

xd

x

dx

Cxx)942ln(

2

1

2.

§5.3分部积分法

vuvuuv











)(，移项得,vuuvvu











)(.

对这个等式两边求不定积分，得vdxuuvdxvu





.（1）

简便起见,公式（1）常写成下面的形式：

duvuvdvu.（2）

例1．求xdxxcos.

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解这个积分用换元积分法不易求得结果。现在试用分部积分法来求它。

设

xu

，xdxdvcos,则dxdu，xvsin，利用分部积分公式（2）得

xdxxcosCxxxxdxxxcossinsinsin.

注意：恰当选取

u

和dv，一般要考虑下面两点：

（1）

v

要容易求得；（2）duv要比dvu容易积出.

例2.求dxxex.

解设

xu

，dxedvx,则dxdu，xev,于是

Cexedxexedxxexxxxx.

例3.求dxexx2.

解设2xu，dxedvx,则xdxdu2，xev,利用公式（2）得

dxexx2dxxeexxx22.

dxexx2dxexexxx22

CexxCexeexxxxx)22()(222.

熟练以后，不必写出

u

、

v

，只要在心里想着就可以了.

例4.求xdxln.

解xdxln

Cxxxdx

x

xxxxxdxxln

1

lnlnln.

例5.求xdxxarctan.

解xdxxarctan)(arctan

2

arctan

2

)

2

(tan

222

xd

x

x

xx

xdrca

dx

x

x

x

x







2

22

1

2

1

arctan

2

dx

x

x

x

x









2

22

1

11

2

1

arctan

2

dx

x

x

x

)

1

1

1(

2

1

arctan

22

2





Cxxx

x

)arctan(

2

1

arctan

2

2

.

例6.求xdxexsin.

解xdxexsinxdxexexdexexdexxxxxcossinsinsinsin

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注意到xdxexcos与所求积分是同一类型的，需再用一次分部积分，

xdxexsin)coscos(sincossinxdexexedexxex

xxxx

xdxexexexxxsincossin.

xdxe

xsinCxxex)cos(sin

2

1

.

例7.求xdx3sec.

解xdx3secxxdxxxxdxdxxsectantansectansecsecsec2

dxxxxxxdxxxx)1(secsectansectansectansec22

dxxdxxxxdxxxxxsecsectansec)secsec(tansec33

xdxxxxx3sectanseclntansec,

dxx3sec

Cxxxx)tanseclntan(sec

2

1

.

例8.求





n

nax

dx

I

)(22

（其中

n

为正整数）.

解当n>1时,

]

)(

1

[

)()(122122122

1













nnn

nax

dx

ax

x

ax

dx

I

dx

ax

xaxnx

ax

x

n

n

n













2222

222

122)(

2]))(1([

)(

122)(



nax

x

dx

ax

x

n

n





)(

)1(2

22

2



122)(nax

x

dx

ax

aax

n

n







)(

)1(2

22

222

122)(



nax

x

]

)()(

)[1(2

22

2

122

dx

ax

a

ax

dx

n

nn











122)(



nax

x

))(1(22

1nn

IaIn



于是])32(

)(

[

)1(2

1

1

1222











n

n

n

In

ax

x

na

I

由此作递推公式，并由C

a

x

a

Iarctan

1

1

,即得

n

I.

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§5.4几种特殊类型的函数的积分

一、有理函数的积分

1．有理函数

)(

)(

)(

xQ

xP

xR

m

n

,（1）

其中)(xP

n

、)(xQ

m

分别是关于

x

的

n

次和

m

次的实系数多项式.

当

mn

时，称为有理真分式;mn时,称为有理假分式.

对于有理假分式,)(xP

n

的次数大于)(xQ

m

的次数，应用多项式的除法，

)(

)(

)(

)(

)(

)(

xQ

xP

xr

xQ

xP

xR

m

l

m

n

,（2）

即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得,故只需讨论有理真分式的积

分.

2．将有理真分式写成简单真分式的和设

)(

)(

)(

xQ

xP

xR

m

n

n



,

n

<

m

.如果

)()()(

0

bxaxaxQ

m

...)(2qPxxusrxx)(2....，

其中



、、...、、...是正整数，各二次多项式无实根，则)(xR可唯一地分解成下面形式的

部分分式之和











2

21

0

)(

{

1

)(

)(

)(

ax

A

ax

A

axQ

xP

xR

m

n...





)(ax

A





2

21

)(bx

B

bx

B











...+





)(bx

B

...















22

22

2

11

)(qpxx

NxM

qpxx

NxM

...





)(2qpxx

NxM





















22

22

2

11

)(srxx

SxR

srxx

SxR

...









u

uu

srxx

SxR

)(2

...}（3）

其中：

1

A,

2

A,...,

1

B,

2

B,...,

1

M,

2

M...,

1

N,

2

N...,

1

R,

2

R,...,

1

S,

2

S,...,都是实常数.

3．求简单真分式的积分：最终归结为求下面四类部分分式的积分：

（1）

ax

A



,（2）

nax

A

)(

（

n

3,2......）,

（3）

qpxx

CBx





2

,（4）

nqpxx

CBx

)(2



（

n

3,2......）.

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其中,,,,,,qpaCBA为常数，且二次式qpxx2无实根.

所以，有关有理函数积分问题得以全部解决.

例1.求dx

xx

x







2

4

2

.

解设

12)1)(2(

4

2

4

2

















x

B

x

A

xx

x

xx

x

，

有ABxBAxBxAx2)()2()1(4

由于此式为恒等式，故两端同次幂的系数应相等.

即











42

1

AB

BA

，解得











1

2

B

A

，

故

1

1

2

2

2

4

2











xx

xx

x

，从而

dx

xx

x







2

4

2









12

2

x

dx

x

dx

Cxx1ln2ln2.

例2.求xd

x

xx







1

3

.

解分子多项式的次数高于分母多项式的次数，由

2)1)(2(23xxxxx，有

1

2

2

1

2

3









x

xx

x

xx

，于是

xd

x

xx







1

3

dx

x

xx]

1

2

2[2





Cxx

xx

1ln22

23

23

。

例3.求dx

xx

xx







22

2

)1)(2(

1322

.

解设

22222

2

)1(1

2

)1)(2(

1322





















x

EDx

x

CBx

x

A

xx

xx

,

解得4,3,2,1,1EDCBA,

有

22222

2

)1(

43

1

2

2

1

)1)(2(

1322





















x

x

x

x

x

xx

xx

,

于是dx

x

x

dx

x

x

x

dx

dx

xx

xx























22222

2

)1(

43

1

2

2

)1)(2(

1322

.

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分别求上式等号右端的每一个不定积分:

1

2ln

2

1

Cxdx

x





.















2

2

222

arctan2)1ln(

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

Cxx

x

dx

dx

x

x

dx

x

x

.























222222222)1(

4

)1(2

3

)1(

4

)1(

3

)1(

43

x

dx

xx

dx

x

xdx

dx

x

x

由递推公式有

3

222

2

arctan

2

1

)1(2)1(

1

Cx

x

x

dx

x

I







.

有

3

2222

4arctan2

1

2

)1(2

3

)1(

43

Cx

x

x

x

dx

x

x

















3

2

4arctan2

)1(2

34

Cx

x

x







.

于是dx

xx

xx







22

2

)1)(2(

1322

Cx

x

x

xxx





arctan2

)1(2

34

arctan2)1ln(

2

1

2ln

2

2

Cx

x

x

x

x













arctan4

)1(2

34

1

)2(

ln

2

1

22

2

.

二、三角函数的积分

1．定义：由xsin及

xcos

经过有限次四则运算所构成的函数,记做)cos,(sinxxR.

2．计算：

dxxxR)cos,(sin

有多种方法,其中有一种是万能的

设)(

2

tanxt

x

，则有txarctan2，dt

t

dx

21

2



，

2

2221

2

2

tan1

2

tan2

2

cos

2

sin

2

cos

2

sin2

sin

t

t

x

x

xx

xx

x











，

2

2

2

2

22

22

1

1

2

tan1

2

tan1

2

sin

2

cos

2

sin

2

cos

cos

t

t

x

x

xx

xx

x

















，

有

dxxxR)cos,(sin

=dt

tt

t

t

t

R

22

2

21

2

)

1

1

,

1

2

(







.

换元t

x



2

tan称为万能换元.

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例1求

x

dx

cos53

.

解令t

x



2

tan，则dt

t

dx

21

2



，

2

2

1

1

cos

t

t

x









x

dx

cos53

dt

t

t

t2

2

21

2

1

)1(5

3

1











dt

tt







225533

2

dt

t







24

1

dt

tt





















2

1

2

1

4

1

Ctt)2ln2(ln

4

1

C

x

x









2

2

tan

2

2

tan

ln

4

1

.

例2求dx

xx

xx







)cos1)(sin2(

cossin1

.

解令t

x



2

tan，则dt

t

dx

21

2



，

2

2

1

1

cos

t

t

x





,

21

2

sin

t

t

x



.

dx

xx

xx







)cos1)(sin2(

cossin1

dt

t

t

t

t

t

t

t

t

t

2

2

2

2

2

2

2

1

2

)

1

1

1)(

1

2

2(

1

1

1

2

1



























Ctttdt

tt

t

dt

tt

tt













1ln]

1

12

1[

1

2

22

2

1

2

tan

2

tanln

2

tan2

xxx

C.

注：尽管“万能公式”在求三角函数有理式的积分时是万能的，但有时不是最好的

例3求dx

x

xx



4sin1

cossin

.

解dx

x

xx



4sin1

cossin

xd

x

x

sin

sin1

sin

4



令,sintx得

dx

x

xx



4sin1

cossin

Ct

t

td

dt

t

t









2

22

2

4

arctan

2

1

)(1

)(

2

1

1

Cx)arctan(sin

2

1

2.

例4求dx

x

x

4

5

cos

sin

.

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解dx

x

x

4

5

cos

sin

)(cos

cos

sin

cos

sinsin

4

4

4

4

xd

x

x

dx

x

xx

，

令txcos，则

dx

x

x

4

5

cos

sin

dt

tt

dt

t

tt

dt

t

t

)

12

1(

21)1(

424

42

4

22











Cx

x

x

C

t

t

tcos

cos

2

cos3

1

)

3

12

(

33

.

三、简单无理函数的积分

dx

dcx

bax

xRn),(





，

设

t

dcx

bax

n





,有dttdxt

cta

bdt

x

n

n

)(),(







.

于是,







dttttRdx

dcx

bax

xRn)(]),([),(.

例1求dx

x

x







3

2

.

解设

tx2

，则

,2,22tdtdxtx

dx

x

x







3

2

Cttdt

t

tdt

t

t









arctan22)

1

2

2(2

122

Cxx2arctan222

.

例2求

321x

dx

.

解设

tx32，则dttdxtx233,2,



321x

dx

dt

t

tdt

t

t

dt

t

t

)

1

1

1(3

1

11

3

1

322















Ctt

t

)1ln

2

(3

2

Cxxx33

3

221ln323)2(

2

3

.

例3求

xx

dx

)1(3

.

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解被积函数中出现了两个根式

x

和3x,为了能同时消去两个根式，设

6tx,则dttdx56,



xx

dx

)1(3

dt

t

dt

t

t

dt

tt

t

)

1

1

1(6

1

6

)1(

6

22

2

32

5













Ctt)arctan(6Cxx)arctan(666.

例4求

4

53)1()2(xx

dx

.

解3

4

2

4

83

4

3

4

53

)

2

1

(

)1(

1

)1()2(

)1(

)1()2(

1

















x

x

x

xx

x

xx

令4

2

1







x

x

t

，则dt

t

t

dx

t

t

x

24

3

4

4

)1(

12

,

1

12















4

53)1()2(xx

dx

dx

x

x

x

4

3

2

)

2

1

(

)1(

1











dt

t

t

t

t

t24

3

3

2

4

4)1(

12

)1

1

12

(

1

















23

4

t

dt

C

t



3

4

C

x

x







4

1

2

3

4

.

复习题：习题四1-8

第六章定积分及其应用

学习目标：1.理解并掌握定积分的概念，几何意义

2.掌握定积分的性质及其证明方法

3.掌握上限函数的导数及其推导过程

4.掌握Newton—Leibniz公式

5.熟练应用换元积分法与分部积分法计算定积分

6.能够熟练地计算定积分的近似值

7.掌握无穷限的广义积分与无界函数的广义积分的收敛与发散的定义

8.会计算广义积分的值，会判断广义积分的敛散性

学习重点：1.定积分的定义、性质

2.积分中值定理1．

—Leibniz公式

4.换元法和分部积分法

学习难点：1.积分中值定理

2.积分上限函数的导数

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—Leibniz公式

3.换元法和分部积分法

4.无穷限的广义积分

5.无界函数的广义积分

教学方法：讲授法，练习法

计划学时：12学时

新课导入：我们以上一章——不定积分的内容为基础，来学习定定积分及其应用。本章将学习一个重要

定理即牛顿——莱布尼兹公式。这个公式建立了定积分与原函数的重要关系。使得我们在上一章中

所学的不定积分具有实质性的意义。

第六章定积分

§6.1定积分的概念

一、定积分的定义

1.引例1设函数)(xfy在闭区间[

a

，b]上有定义且非负曲线)(xfy与直线

0,,ybxax围成一个图形——曲边梯形，来其面积

求近似值：用一串分点

bxxxa

n



10

把[

a

，b]分成

n

段，

相应地把曲边梯形分成

n

个条形，其中第j个条形为

).(0,

1

xfyxxx

jj





曲边梯形面积的近似值





n

j

jj

xf

1

)(．

划分越细，近似效果越好。

B

A

)(xfy

y

bxxxxxxaO

nniii



1110



图1.3-3

x

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例2设物体作变速直线运动，其速度

v

是时间

t

的函数)(tfv.我们来计算这物体从时刻

a

到时刻b

经过的路程．为此，用一串分点bttta

n



10

,

把这段时间分成

n

小段．总路程近似等于





n

j

jj

tf

1

)(

当分割的时间间隔越来越短时，上述和式的极限值即为所求的路程．

2．定义设)(xf在区间],[ba有定义,在],[ba内任意插入1n个分点：

bxxxxxa

nn



1210

，此分法表为T.分法T将],[ba分成

n

个小区间：

],,[

10

xx],,[

21

xx,],,[,

1



ii

xx



],[

1nn

xx



.第i个小区间],[

1ii

xx



的长度表为

1



iii

xxx,)(Td是

这

n

个小区间的长度的最大者：

},,,max{)(

21n

xxxTd.在],[

1ii

xx



中任取一点

i



3,2,1(i…)n，作和数





n

i

ii

xfS

1

)(，称为)(xf在],[ba上的积分和.如果当0)(Td时，和

数S趋于确定的极限I，且I与分法T无关，也与

i

在],[

1ii

xx



中的取法无关，则称)(xf在],[ba上可

积，极限I称为)(xf在],[ba上的定积分，简称为积分，记作b

a

dxxf)(.即：

b

a

dxxf)(

i

n

i

i

Td

xf





)(lim

1

0)(



其中)(xf叫做被积函数，dxxf)(叫做被积表达式，

x

叫做积分变量，

a

与b叫做积分的下限与上限，

符号是积分符号.

如果当0)(Td时，积分和S不存在极限，则称)(xf在],[ba上不可积.

注意：（1）定积分的值只与被积函数)(xf以及积分区间],[ba有关，而与积分变量写成什么字母无关，

即

b

a

dxxf)(b

a

dttf)(.

（2）与不定积分区别；

二、定积分的几何意义及可积函数类

1．几何意义：（1）若在],[ba上，0)(xf，则定积分b

a

dxxf)(

表示由曲线xxfy),(轴及直线

bxax,所围成的曲边梯形的面积（图6.1-1a）；

（2）0)(xf，表示上述曲边梯形的面积的相反数（如图6.1-1b）；

（3）若函数)(xf在],[ba上有正有负各部分面积的代数和。

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2．可积函数类：（1）若函数)(xf在],[ba上连续，则)(xf在],[ba上可积.

（2）若函数)(xf在],[ba上有界，且只有有限个间断点，则)(xf在],[ba上可积.

三、例计算定积分b

a

xdxsin.

解因为xxfsin)(在],[ba上连续，故xsin在],[ba上可积，因此可以对],[ba采用特殊的分法，

（只要0)(Td）以及选取特殊的点

i

，取极限

i

n

i

i

Td

xf





)(lim

1

0)(

即得到积分值.

将],[ba

n

等分，则

n

ab

x

i



，取

i



n

abi

a

))(1(

，ni,2,1则有

n

ab

n

abi

axdxb

a

n

i

n















]

)(

sin[limsin

1

0

.

为了书写方便，令

n

ab

h



,利用积化和差公式有：







1

0

2

sinsin2[

2

sin2

1

)sin(

n

i

h

a

h

iha



2

sin)sin(2

h

ha

]

2

sin])1(sin[2

h

hna

)

2

cos()

2

[cos(

2

sin2

1h

a

h

a

h

))

2

3

cos()

2

(cos(

h

a

h

a

))]

2

12

cos()

2

32

(cos(h

n

ah

n

a











2

sin2

1

h

)]

2

12

cos()

2

[cos(h

n

a

h

a



，

所以















1

0

]

)(

sin[limsin

n

i

n

b

an

ab

n

abi

axdx

bacoscos.

y

+

o

y

-

o

abx

y

+

o

a

bx

+

-

图6.1-1a

图6.1-1b

图6.1-1c

a

bx

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§6.2定积分的基本性质

一、定义推广：

二、性质

1b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([.

证

ii

b

a

n

i

i

Td

xgfdxxgxf







)]()([lim)]()([

1

0)(











n

i

ii

Td

xf

1

0)(

)(lim







n

i

ii

Td

xg

1

0)(

)(lim

b

a

b

a

dxxgdxxf)()(.

2b

a

b

a

dxxfkdxxkf)()(（k为常数）.

3（积分区间的可加性）如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定

积分之和，即设bca，则b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf)()()(

证因为函数)(xf在],[ba上可积，所以不论],[ba怎样划分，不论

i

怎样选取，当0)(Td时，

积分和的极限是不变的，所以我们可以选取)(bcac永远是个分点，









n

icabc

iiii

Td

ii

Td

xfxfxf

1],[],[

0)(0)(

])()([lim)(lim





],[],[

0)(0)(

)(lim)(lim

cabc

ii

Td

ii

Td

xfxf，

即b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf)()()(

.

推广：不论cba,,的相对位置如何，b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf)()()(

成立.

例如,当cba时，由于

c

a

b

a

c

b

dxxfdxxfdxxf)()()(

，则

b

a

dxxf)(c

a

c

b

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(

.

4如果1)(xf,则b

a

b

a

abdxdxxf)(

.

5如果在区间],[ba上0)(xf，则b

a

dxxf0)(

a(<)b.

证







b

a

n

i

ii

Td

xfdxxf

1

0)(

)(lim)(，

因为0)(xf，故

0)(

i

f(ni,2,1)，

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又0

i

x(ni,2,1)，因此0)(

1





i

n

i

i

xf，

所以，0)(lim

1

0)(







i

n

i

i

Td

xf,即:b

a

dxxf0)(.

推论1如果在区间],[ba上,)()(xgxf,则

b

a

b

a

dxxgdxxf)()((ba).

推论2b

a

b

a

dxxfdxxf)()(，(ba).

证因为)()()(xfxfxf，

则b

a

b

a

b

a

dxxfdxxfdxxf)()()(，

即b

a

b

a

dxxfdxxf)()(.

6设mM,分别是函数)(xf在],[ba上的最大值和最小值，则

)(abmb

a

abMdxxf)()(.

证因为Mxfm)(，由推论1得

b

a

b

a

b

a

Mdxdxxfmdx)(

，

再由性质2及性质4可得

b

a

abMdxxfabm)()()(

.

性质7如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一点，使下式成

立:b

a

abfdxxf)()()(.

证因)(xf在],[ba上连续，故必存在最大值M与最小值

m

，由性质6，

b

a

abMdxxfabm)()()(

，

或



b

a

Mdxxf

ab

m)(

1

.

这说明，数



b

a

dxxf

ab

)(

1

介于M与

m

之间，根据闭区间连续函数的介值定理，在区间],[ba内存在一

点，使





b

a

dxxf

ab

f)(

1

)(,即

b

a

abfdxxf)()()(.

y

o

ab

x

图6.2-1

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此性质称为积分中值定理.

积分中值定理有其明显的几何意义:

设0)(xf，由曲线xxfy),(轴及直

线bxax,所围成的曲边梯形的面积等于

以区间[ba,]为底，某一函数值)(f为高的

矩形面积.

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§6.3微积分基本定理

一、引例做直线运动的物体的位置函数为)(tSS,速度函数为)()(tStvv





物体从at到bt这段时间所经过的距离为b

a

dttv)(.

b

a

aSbSdttv)()()(（1）

说明，b

a

dttv)(，等于)(tv的原函数在区间],[ba的增量

问题：是不是普遍规律？

二、积分上限函数

1．定义：设)(tf在区间],[ba上连续，

x

为],[ba上任意一点，则)(tf在区间],[xa也连续，故定积分

x

a

dttf)(存在.于是,x],[ba,有唯一确定的数x

a

dttf)(与之对应，所以在],[ba上定义了一个函数，

记作)(x:

)(xx

a

dttf)(（bxa）（2）

我们把（2）式定义的函数称为积分上限的函数.

2．性质：如果函数)(xf在区间],[ba上连续，则积分上

限的函数

)(xx

a

dttf)(

在],[ba上可导，并且它的导数是



x

a

xfdttf

dx

d

x)()()(（bxa）.（3）

证设自变量

x

有增量x，使],[baxx，则函数)(x具有增量

xx

a

x

a

dttfdttfxxx)()()()(

x

a

xx

x

x

a

xx

x

dttfdttfdttfdttf)()()()(

.

利用积分中值定理，则有xf)(，介于

x

与xx之间.

于是,有)(f

x







(介于

x

与xx之间),（4）

由于)(xf在],[ba上连续，且当0x时，x，有

)()(limlim

0

xff

xxx













.

三、牛顿—莱布尼兹公式

定理3如果函数)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原数，则

y

)(x

O

a

x

b

图6.3-1

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b

a

aFbFdxxf)()()(.（5）

证已知)(xF是)(xf的一个原函数，积分上限的函数)(xx

a

dttf)(

也是)(xf的一个原函数，于是这两个原函数之差)()(xxF在],[ba上必定是某一常数

C:)()(xxF=C()bxa,（6）

在上式中,令

ax

,则CaaF)()(，

又a

a

dttfa0)()(，因此)(aFC,代入(6)式,有

x

a

aFxFdttf)()()(,在上式中令bx，即得b

a

aFbFdxxf)()()(.

b

a

b

a

xFdxxf)]([)(或b

a

xFdxxf)()(|b

a

例1计算定积分b

a

xdxsin.

解b

a

xdxsin=baxb

a

coscos]cos[.

例2计算dx

x





3

1

21

1

.

解dx

x





3

1

21

1

xarctan|3

1

1arctan3arctan=

1243



.

例3计算

dxx3

1

2.

解要去掉绝对值符号，必须分区间积分，显然点2x为区间的分界点,

dxx3

1

2

dxx2

1

2dxx3

2

2

2

1

3

2

)2()2(dxxdxx

2

1

2

2

1

2













xx

3

2

22

2

1













xx

1.

例4计算2

0

)(dxxf，其中













).21(,1

),10(,

)(

2

xx

xx

xf

解2

0

)(dxxf1

0

2

1

)()(dxxfdxxf

2

1

)(dxxf2

1

)1(dxx

于是

1

0

2

0

1

0

2

1

32

3

1

)1()(xdxxdxxdxxf2

1

2)1(

2

1

x

6

5

.

例5求极限

x

dttx

x





0

2

0

cos

lim.

解

x

dttx

x





0

2

0

cos

lim

1

1

cos

lim

2

0





x

x

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例6求21

sin

21x

x

dtt

dx

d

.

解221

sin

1

sin

1

1

222111x

xx

xdttdttdtt

dttdtt

xx21

1

2

sin

1

211

令xusin,21xv为中间变量，则上式变为

21

sin11

222111x

x

uvdttdttdtt

)()(vu，

21

sin

21x

x

dtt

dx

d

))()((vu

dx

d



dx

dv

dv

vd

dx

du

du

ud

dx

vd

dx

ud



)()()()(

)2(1cos122xvxu

422222cossin1xxxxx.

§6.4定积分的换元积分法

一、定理若函数)(xf在区间],[ba上连续,函数)(tx在区间],[上具有连续的导数,当t在区间

],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，又ba)(,)(,则



b

a

dtttfdxxf





)()]([)(

(1)

证设)(xF是)(xf在],[ba上的一个原函数，则

b

a

aFbFdxxf)()()(

，

再设)],([)(tFt对)(t求导，得

)()]([)()()(ttftxf

dt

dx

dx

dF

t









即)(t是)()]([ttf

的一个原函数，因此有

)()()()]([







dtttf

.

又)(t)]([tF，ba)(,)(，可知

)]([)]([)()(FF)()(aFbF，

所以

b

a

bdtttfdxxf



)()]([)(

.

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推广：1。ab)(,)(,定理同样成立.

2．此定理也可反过来使用，b

a

dxxxf)()]([





dttf)(.

例1计算



3

1ln1

e

xx

dx

.

解令xtln，则dtedxextt,，

于是



3

1ln1

e

xx

dx

t

t

dt

te

dte

t

t









12

11

3

0

3

0

|23

0

.

例2计算

dxx1

0

32)1(.

解令)

2

0(sin



ttx,则tdtdxcos，

于是

dxx1

0

32)1(



2

0

2

0

23)

2

2cos1

(coscos



dt

t

tdtt

2

0

2)2cos2cos21(

4

1

dttt

2

0

2

0

)4cos1(

8

1

]2sin[

4

1



dtttt





16

3

4sin

32

1

8

1

8

2

0

2

0

tt.

例3设函数)(xf在],[aa上连续，证明：

（1）若)(xf是偶函数，则

a

a

adxxfdxxf

0

)(2)(

;

（2）若)(xf是奇函数，则

a

a

xf0)(

.

证因为

a

aa

adxxfdxxfdxxf0

0

)()()(

在上式右端第一项中，令tx，则有



00

0

)()1()()(

aa

adttfdttfdxxf

，所以



a

a

aadxxfdxxfdxxf

00

)()()(adxxfxf

0

)]()([

;

当)(xf为偶函数时，)()(xfxf,则

a

a

adxxfdxxf

0

)(2)(

；

当)(xf为奇函数时，即)()(xfxf，则

a

a

adxdxxf

0

00)(

.

例4若)(xf在]1,0[上连续，证明2

0

2

0

)(cos)(sin



dxxfdxxf

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证设tx

2



，2

0

0

2

)]

2

[sin()(sin







dttfdxxf

2

0

2

0

)(cos)(cos



dxxfdttf.

例5若)(xf在]1,0[上连续，证明:









0

2

0

)(sin)(sindxxfdxxxf,并由此计算





0

2cos1

sin

dx

x

xx

.

证明









0

2

0

2

)(sin)(sin)(sindxxxfdxxxfdxxxf，

对于上式右端第二项的积分，设,tx则,dtdx











0

2

0

0

2

))((sin)()(sin)(sindttftdxxxfdxxxf

2

0

2

0

)(sin)()(sin



dttftdxxxf

2

0

2

0

)(sin)()(sin



dxxfxdxxxf

2

0

)(sin



dxxf.

练习：









00

22sin2

sin

cos1

sin

dx

x

xx

dx

x

xx

dx

x

x





2

0

2sin2

sin







2

0

2cos1

)(cos



x

xd

4

)

4

0()]s[arctan(co

2

2

0







x.

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§6.5定积分的分部积分法

一、公式：vuvuuv











)(，





b

a

b

a

b

a

vdxuuvdxvu][或b

a

b

a

b

a

vduuvudv][.

二、例

例1计算2

0

cos



xdxx.

解2

0

2

0

2

0

2

0

sin]sin[)(sincos





xdxxxxxdxdxx



2



xcos|1

2

2

0





.

例2计算1

0

dxex.

解令

tx

，则2tx，tdtdx2，于是

1

0

dxex1

0

1

0

22dttetdtett,

1

0

1

0

1

0

1

0

][222][22tttteedtetetde

2)1(22ee.

例3计算2

0

2cos



xdxex.

解设I2

0

2cos



xdxex,即

I2

0

2

0

2

2

0

22sin2]sin[sin





xdxexexdexxx

2

0

2cos2



xdeex2

0

2

2

0

2}cos2]cos{[2





xdxexeexx

Ie42

移项，解得)2(

5

1

eI.

例4求2

0

sin



xdxIn

n

,其中

n

为非负整数.

解2

0

02



dxI，2

0

1

1sin



xdxI.

当2n时,



2

0

1cossin



xdxIn

n

)(sincos]cos[sin1

2

0

2

0

1xxdxxnn





xdxxnn2

2

0

2sincos)1(

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2

0

22sin)sin1()1(



xdxxnn



2

0

2

0

2sin)1(sin)1(



xdxnxdxnnn

nn

InIn)1()1(

2





.

移项，得到积分

n

I的递推公式

2

1









nn

I

n

n

I.

1)当

n

为偶数时,设mn2,有











2

0

2

22!)!2(

!)!12(

224)22)(2(

13)32)(12(

sin



m

m

mm

mm

xdxIm

m



,

2)当

n

为奇数时,设12mn,有

!)!12(

!)!2(

35)12)(12(

24)22)(2(

sin2

0

12

12









m

m

mm

mm

xdxIm

m



.

练习：

35

16

357

246

sin2

0

7







xdx．

32

5

2246

135

cos2

0

6









xdx

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§6.6广义积分——（普通积分的极限）

一、无穷限的广义积分

1．定义设函数)(xf在区间),[a上连续，取ab，如果极限





b

a

b

dxxf)(lim存在，则称此极限值为函数)(xf在无穷区间),[a上的广义积分,记作

a

dxxf)(，

即

a

dxxf)(



b

a

b

dxxf)(lim.

这时也称广义积分

a

dxxf)(收敛.反之，则称广义积分

a

dxxf)(发散.

同样，可以定义)(xf在),(],,(b上的广义积分.

2同理，设)(xf在区间],(b上连续,取

a



b

a

a

dxxf)(lim

存在，则称此极限值为函数)(xf在无穷区间],(b上的广义积分，记作

bdxxf)(，即



bdxxf)(



b

a

a

dxxf)(lim

.也称广义积分

bdxxf)(收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分



bdxxf)(发散.

3设函数)(xf在区间),(连续，如果广义积分

0)(dxxf和

0

)(dxxf都收敛，则称上述两广

义积分之和为函数)(xf在无穷区间),(上的广义积分，记作



dxxf)(，即





dxxf)(

0)(dxxf

+

0

)(dxxf

.

这时也称广义积分



dxxf)(

收敛.否则，就称广义积分



dxxf)(

发散.

4．设函数)(xf在),[a上连续，)(xF是)(xf的原函数，为了方便，分别记

b

a

b

xF)]([lim



为

a

xF)]([，b

a

a

xF)]([lim



为bxF



)]([.

则无穷限的广义积分

a

dxxf)(

a

xF)]([，

bdxxf)(bxF



)]([.

例1求

0

21x

dx

，

0

21x

dx

，

21x

dx

.

解

0

21x

dx

x

x

dx

b

b

b

arctanlim

1

lim

0

2







|b

02

arctanlim







b

b

;



0

21x

dx

xarctan|

2

0







;



21x

dx

xarctan|







)

2

(

2

.

例2求

exx

dx

2)(ln

.

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解

exx

dx

2)(ln

1]

ln

1

[

)(ln

)(ln

2





e

ex

x

xd

.

例3求



0

dttet.

解



0

dttet}]{[limlim

0

0

0







b

tbt

b

b

t

b

dtetedtte

bt

b

b

b

e

e

b

0

][limlim





1)10(0.

例4讨论广义积分)0(adx

x

dx

a

p

的收敛性.

解当1p时











































).1(,

),1(,

1

1

1

1

p

p

p

a

p

x

x

dx

p

a

p

a

p

又当p=1时



a

a

x

x

dx

][ln.

因此，广义积分



a

p

dx

x

1

当1p时收敛于

1

1





p

ap

,当p

1时发散.

二、无界函数的广义积分

1．瑕点：若

0

x是函数)(xf的无穷间断点,即



)(lim

0

xf

xx

,则

0

x是)(xf的瑕点.

2．定义设函数)(xf在区间],(ba上连续，且

a

为瑕点.取>0，如果极限





b

a

dxxf





)(lim

0

存在，则称此极限值为无界函数)(xf在],[ba上的广义积分或瑕积分，记作b

a

dxxf)(，

即b

a

dxxf)(=



b

a

dxxf





)(lim

0

.

也称广义积分b

a

dxxf)(

收敛.若上述极限不存在，则称广义积分b

a

dxxf)(

发散.

3．当b为瑕点或),(bac为瑕点时，可类似地定义)(xf在],[ba上的瑕积分:

b

a

dxxf)(

=







b

a

dxxf)(lim

0

.

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf)()()(















c

a

b

c

dxxfdxxf)(lim)(lim

00

.

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当)(xf在],[ba内有两个以上瑕点时，也可类似地定义瑕积分。

例5计算1

0

lnxdx.

解因为



x

x

lnlim

0

，所以点0x是瑕点.

1

0

lnxdx



1

1

00

]ln[limlnlim







xxxxdx

1]ln1[lim

0









例6计算



2

01x

dx

.

解因为

1

1

lim

1xx

，所以点1x是瑕点，

分别考察下列两个广义积分:



1

01x

dx

和



2

11x

dx

.





1

01x

dx





















1

0

1

0

00

1lnlim

1

limx

x

dx





)1ln(lnlim

0





.

所以广义积分



2

01x

dx

发散.（不必再考察



2

11x

dx

）.

例7讨论广义积分



b

a

qax

dx

)(

的敛散性（0,0qab）.

解显然点

ax

是瑕点，当1q时，





b

a

qax

dx

)(

b

a

q

b

a

qq

ax

ax

dx



























]

1

)(

[lim

)(

lim

1

00

])[(

1

1

lim11

0

qqab

q





































).1(

),1(

1

)(1

q

q

q

abq

当q=1时，





b

a

qax

dx

)(

b

a

b

a

b

a

ax

ax

dx

ax

dx



























)][ln(limlim

00





]ln)[ln(lim

0





ab.

因此，广义积分



b

a

qax

dx

)(

，当1q时收敛；当q

1时发散.

同样可得，广义积分



b

a

qxb

dx

)(

，当1q时收敛，当q

1时发散.

三、--函数

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1．定义式：)(



0

1)0(dxexx.

2．公式：（1）递推公式)()1(.

证xxexdxex



0

)1(|



0

1

0

dxexx

dxexx





0

1

)(.

)1(!...)1()1()()1(nnnnnnn，又





0

)1(xxedxe|1

0

，所以

!)1(nn.

（2）dtet

















0

22

2

1

.

















dtet

0

22

2

1

.

例8计算

dxexx

0

5.

解

dxexx

0

5120!5)6(.

例9计算

dxexx

0

.

解



















































0

1

2

3

02

1

2

1

2

1

1

2

1

2

3

dxexdxexxx.

腹泻提：复习题五