椭圆形面积公式
-债务转移
2023年2月14日发(作者：柴胡种植)椭圆
1.点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角.
平分△PF
1
F
2
在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为
直径的圆，除去长轴的两个端点.
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.若
000
(,)Pxy在椭圆
22
22
1
xy
ab
上，则过
0
P的椭圆的切线方程是00
22
1
xxyy
ab
.
6.若
000
(,)Pxy在椭圆
22
22
1
xy
ab
外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2
，则切
点弦P
1
P
2
的直线方程是00
22
1
xxyy
ab
.
7.椭圆
22
22
1
xy
ab
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上任意一点
12
FPF，则椭圆的焦点角形的面积为
12
2tan
2FPF
Sb
.
8.椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的焦半径公式：
10
||MFaex,
20
||MFaex(
1
(,0)Fc,
2
(,0)Fc
00
(,)Mxy).
9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和
AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A
1
、A
2
为椭圆长轴上的顶点，A
1
P和
A
2
Q交于点M，A
2
P和A
1
Q交于点N，则MF⊥NF.
是椭圆
22
22
1
xy
ab
的不平行于对称轴的弦，M),(
00
yx为AB的中点，则
2
2
OMAB
b
kk
a
，
即
0
2
0
2
ya
xb
K
AB
。
12.若
000
(,)Pxy在椭圆
22
22
1
xy
ab
内，则被Po所平分的中点弦的方程是
22
0000
2222
xxyyxy
abab
.
13.若
000
(,)Pxy在椭圆
22
22
1
xy
ab
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
22
00
2222
xxyy
xy
abab
.
推导
1.椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞o）的两个顶点为
1
(,0)Aa,
2
(,0)Aa，与y轴平行的直
线交椭圆于P
1、P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
22
22
1
xy
ab
.
2.过椭圆
22
22
1
xy
ab
(a＞0,b＞0)上任一点
00
(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直
线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
2
0
2
0
BC
bx
k
ay
（常数）.
3.若P为椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
,F
2
是焦点,
12
PFF,
21
PFF，则tant
22
ac
co
ac
.
4.设椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的两个焦点为F
1
、F
2
,P（异于长轴端点）为椭圆
上任意一点，在△PF
1
F
2
中，记
12
FPF,
12
PFF,
12
FFP，则有
sin
sinsin
c
e
a
.
5.若椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为L，则当0
＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d与PF
2
的
比例中项.
6.P为椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）上任一点,F
1
,F
2
为二焦点，A为椭圆内一定点，
则
211
2||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当
2
,,AFP三点共线时，等号成
立.
7.椭圆
22
00
22
()()
1
xxyy
ab
与直线0AxByC有公共点的充要条件是
22222
00
()AaBbAxByC
.
8.已知椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
OPOQ.（1）
2222
1111
||||OPOQab
;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为
22
22
4ab
ab
;
（3）
OPQ
S
的最小值是
22
22
ab
ab
.
9.过椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦
MN的垂直平分线交x轴于P，则
||
||2
PFe
MN
.
10.已知椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平
分线与x轴相交于点
0
(,0)Px,则
2222
0
abab
x
aa
.
11.设P点是椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
、F
2
为其焦点
记
12
FPF，则(1)
2
12
2
||||
1cos
b
PFPF
.(2)
12
2tan
2PFF
Sb
.
12.设A、B是椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
PAB,PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
(1)
2
222
2|cos|
||
s
ab
PA
acco
.(2)2tantan1e.(3)
22
22
2
cot
PAB
ab
S
ba
.
13.已知椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F
的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经
过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相
应焦点的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与
焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.