求函数值域

求函数值域

-项目实施方案模板范文

2023年2月14日发(作者：高中数学思想方法)

求函数值域典型例题

一、函数点调性法

对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。利

用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例1.求函数

1

y

x

的值域。解：∵

0x

∴显然函数的值域是：

),0()0,(

例2.求函数

x3y

的值域。解：∵

0x

3x3,0x

故函数的值域是：

]3,[

练习1：求函数y=3+23x的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出23x的值域。

解：由算术平方根的性质，知23x≥0，故3+23x≥3。∴函数的值域为[3,＋∞)

点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

练习2：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

练习3：①y=3x+2(-1x1)②xxf42)(③

1



x

x

y④

x

xy

1



解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]

②∵

),0[4x

∴),2[)(xf

即函数xxf42)(的值域是{y|y2}

③

1

1

1

1

11

1













xx

x

x

x

y∵0

1

1



x

∴1y

&

即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）

④当x>0，∴

x

xy

1

=2)

1

(2

x

x2，

当x<0时，)

1

(

x

xy



=－2)

1

(2





x

x2

∴值域是]2,([2，+



).（此法也称为配方法）函数

x

xy

1

的图像为：

例3求函数y=25xlog

3

1x

（2x10）的值域

解：令y

1

=25x，

2

y=log

3

1x

，则y

1

，

2

y在[2，10]上都是增函数。

所以y=y

1

+

2

y在[2，10]上是增函数。

y=x

o

-2

-1

1

2

fx



=x+

1

x

当x=2时，y

min

=32+

log

312=

8

1

，当x=10时，

max

y=52+log

3

9=33。

故所求函数的值域为：[

8

1

，33]。

例4求函数y=

1x

-

1x

的值域。

%

解：原函数可化为：y=

11

2

xx

当x=1时，y=

1

y+

2

y有最小值2，原函数有最大值

2

2

=2。显然y>0，

故原函数的值域为(0,2]。

例5求函数

12yxx

的值域。y

1

,

2











练习：求函数y=3+4x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)求函数y=x-3+√2x+1的值域。

二、反比例函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6.求函数

3x4

y

5x6







值域。

解：由原函数式可得：

2

-xx2则其反函数为：

46x

y

5x3







，其定义域为：

3

x

5



故所求函数的值域为：

3

y

5









当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例7求函数

x+1

y

x+2

的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数

x+1

y

x+2

的反函数为:

12y

x

y-1



,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，

是数学解题的重要方法之一。

练习2：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y1｝）

三、函数有界性法

、

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例8.求函数

1e

1e

y

x

x







的值域。

解：由原函数式可得：

1y

1y

ex







∵

0ex

∴

0

1y

1y







解得：

1y1

故所求函数的值域为

)1,1(

例9.求函数

3xsin

xcos

y





的值域。

解：由原函数式可得：

y3xcosxsiny

，可化为：

2y1sinx+y（）=3β即

2

y

sinx+

y1

3

（）=β

∵

Rx

∴

]1,1[)x(xsin

即

1

1y

y3

1

2







解得：

4

2

y

4

2



故函数的值域为



















4

2

,

4

2

`

形如02x可解出y的范围,从而求出其值域或最值。

例10．求函数

12

12







x

x

y的值域

[解析]：由

12

12







x

x

y得

1

1

2







y

y

x

四、配方法

配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如])()([2cxbfxfay的函数的值域问题，均可使

用配方法。

例8.求下列函数的最大值、最小值与值域：

①

142xxy

；②]4,3[,142xxxy；③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；

解：∵

3)2(1422xxxy

，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，

∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.

—

②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，

min

y=-2，

max

y=1；值域为[-2，1].

③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,

3

2

1

-1

-2

-3

65

4321

-1

-2xO

y

∴在[0,1]上，

min

y=-2，

max

y=1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，

min

y=-3，

max

y=6；值域为[-3，6].

注：对于二次函数

)0()(2acbxaxxf

,

⑴若定义域为R时，

①当a>0时，则当

a

b

x

2

时，其最小值

a

bac

y

4

)4(2

min





；

②当a<0时，则当

a

b

x

2

时，其最大值

a

bac

y

4

)4(2

max





.

》

⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x

0

是否属于区间[a,b].

①若

0

x[a,b],则)(

0

xf是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较

)(),(bfaf

的大小决定

函数的最大（小）值.

②若

0

x[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内，只需比较

)(),(bfaf

的大小即可决定函数的最大（小）

值.

练习1．求函数562xxy的值域由562xxy44)3(2x

]4,(y

练习2.求函数

]2,1[x,5x2xy2

的值域。解：将函数配方得：

4)1x(y2

∵

]2,1[x

由二次函数的性质可知：当x=1时，

4y

min



，当

1x

时，

8y

max



故函数的值域是：[4，8]

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应

区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

例5：求函数y=

2

-xx2的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由

2

-xx2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时

2

-xx2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤

2

-xx2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数

学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋154x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})

，

110

1

1

,022





yy

y

y

或

五、换元法

利用整体代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如

)0,,,(adcbadcxbaxy均为常数且

。

例3．求函数xxy12的值域

解：设

tx1

，则)0(122ttty4,值域为

例11.求函数

1xxy

的值域。

解：令

t1x

，

)0t(

则

1tx2

∵

4

3

)

2

1

t(1tty22

又

0t

，由二次函数的性质可知当

0t

时，

1y

min



当

0t

时，

y

故函数的值域为

),1[

例2求函数y=x-3+2x1的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设t=2x1（t≥0）,则x=1/2(2t-1)。

于是y=1/2(2t-1)-3+t=1/22t+1（）-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值

域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习：求函数y=x1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

,

例12.求函数

2)1x(12xy

的值域。

解：因

0)1x(12

即

1)1x(2

故可令

],0[,cos1x

∴

1cossincos11cosy2

1)

4

sin(2





∵







4

5

4

0,0

211)

4

sin(20

1)

4

sin(

2

2













故所求函数的值域为

]21,0[

例13.求函数

1x2x

xx

y

24

3







的值域。

解：原函数可变形为：

2

2

2x1

x1

x1

x2

2

1

y











可令

tgx

，则有











2

2

2

2

cos

x1

x1

,2sin

x1

x2

4sin

4

1

2cos2sin

2

1

y

—

当

82

k







时，

4

1

y

max



当

82

k







时，

4

1

y

min



而此时

tan

有意义。故所求函数的值域为















4

1

,

4

1

例14.求函数

)1x)(cos1x(siny

，

















2

,

12

x

的值域。

解：

)1x)(cos1x(siny

1xcosxsinxcosxsin

令

txcosxsin

，则

)1t(

2

1

xcosxsin2

22)1t(

2

1

1t)1t(

2

1

y

由

)4/xsin(2xcosxsint

且

















2

,

12

x

可得：

2t

2

2



∴当

2t

时，

2

2

3

y

max



，当

2

2

t

时，

2

2

4

3

y

{

故所求函数的值域为

















2

2

3

,

2

2

4

3

。

例15.求函数

2x54xy

的值域。

解：由

0x52

，可得

5|x|

故可令

],0[,cos5x

4)

4

sin(10sin54cos5y





∵

0

4

5

44













当

4/

时，

104y

max



时，

54y

min



故所求函数的值域为：

]104,54[

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元

法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

六、判别式法

]

把函数转化成关于x的二次方程0),(yxF，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，

形如

22

2

2

11

2

1

cxbxa

cxbxa

y





判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二

次项系数是否为0的讨论

例4．求函数

1

1

2

2







x

x

y的值域

原函数可化为010)1(2yxxy

1）1y时不成立

2）1y时，110)1)(1(400yyy11y

综合1）、2）值域}11|{yy

例4.求函数2

2

x1

xx1

y







的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

0x)1y(x)1y(2

（1）当y=1时，

0x

，

（2）当

1y

时，

Rx

0)1y)(1y(4)1(2

}

解得：

2

3

y

2

1



当y=1时，

0x

，而















2

3

,

2

1

1

故函数的值域为













2

3

,

2

1

例5.求函数

)x2(xxy

的值域。

解：两边平方整理得：

0yx)1y(2x222

（1）

∵

Rx

∴

0y8)1y(42

解得：

21y21

但此时的函数的定义域由

0)x2(x

，得

2x0

由

0

，仅保证关于x的方程：

0yx)1y(2x222

在实数集R有实根，而不能确保其实根在区

间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由

0

求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函

数的值域为













2

3

,

2

1

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

2x0

0)x2(xxy

^

21y,0y

min



代入方程（1）

解得：

]2,0[

2

2222

x

4

1







即当

2

2222

x

4

1





时，原函数的值域为：

]21,0[

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的

部分剔除。

例3．求函数

6

65

2

2







xx

xx

y的值域

方法一：去分母得(y1)2x+(y+5)x6y6=0①

当y1时∵xR∴△=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0由此得(5y+1)20

检验

5

1

y时

2

)

5

6

(2

5

5

1







x（代入①求根）

∵2定义域{x|x2且x3}∴

5

1

y

再检验y=1代入①求得x=2∴y1

：

综上所述，函数

6

65

2

2







xx

xx

y的值域为{y|y1且y

5

1

}

方法二：把已知函数化为函数

3

6

1

3

3

)3)(2(

)3)(2(

















xx

x

xx

xx

y(x2)

由此可得y1

∵x=2时

5

1

y即

5

1

y

∴函数

6

65

2

2







xx

xx

y的值域为{y|y1且y

5

1

}

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数y=(22x－2x+3)/(2x－x+1)的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

解：将上式化为（y－2）2x－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

当y≠2时,由Δ=2y-2（）－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值

域。常适应于形如y=(a2x+bx+c)/(d2x+ex+f)及y=ax+b±2cxdx+e的函数。

练习：求函数y=1/(22x－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。

七、均值不等式法：

利用基本不等式

abc3cba,ab2ba3

)Rc,b,a(

，求函数的最值，其题型特征解析式是

和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例19.求函数

4)

xcos

1

x(cos)

xsin

1

x(siny22

的值域。

解：原函数变形为：

)

5

2xcotxtan3

xcotxtan3

xsecxces1

xcos

1

xsin

1

)xcosx(siny

223

22

22

22

22











当且仅当

xcotxtan

即当

4

kx





时

)zk(

，等号成立故原函数的值域为：

),5[

例20.求函数

x2sinxsin2y

的值域。

解：

xcosxsinxsin4y

xcosxsin42

例3、求函数y=4sinx·cos2x的最值

分析：利用sin2x+cos2x=1进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求最值

解：∵y2=16sin2x·cos2x·cos2x=8（2sin2x·cos2x·cos2x）

≤8（

3

xcosxcosx2sin222

）3=8*

27

8

=

27

64

~

∴y2≤

27

64

，当且仅当2sin2x=cos2x即tgx=±

2

2

时，取“=”号

∴y大=

3

9

8

y小=-

3

9

8

27

64

]3/)xsin22xsinx[(sin8

)xsin22(xsinxsin8

xcosxsin16y

3222

222

24









当且仅当

xsin22xsin22

，即当

3

2

xsin2

时，等号成立。

由

27

64

y2

可得：

9

38

y

9

38



故原函数的值域为：



















9

38

,

9

38

八、数形结合：

例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1：将函数化为分段函数形式：

21(1)

3(12)

21(2)

xx

yx

xx

















，画出它的图象（下图），由图象可知，函

数的值域是{y|y3}.

解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，

∴函数的值域是[3，+].如图

…

O12-1x

O12-1x

O12-1x

两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数

形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例16.求函数

22)8x()2x(y

的值域。

解：原函数可化简得：

|8x||2x|y

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），

)8(B

间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

10|AB||8x||2x|y

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

10|AB||8x||2x|y

·

故所求函数的值域为：

],10[

例17.求函数

5x4x13x6xy22

的值域。

解：原函数可变形为：

2222)10()2x()20()3x(y

上式可看成x轴上的点

)0,x(P

到两定点

)1,2(B),2,3(A

的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

43)12()23(|AB|y22

min



，

故所求函数的值域为

],43[

例18.求函数

5x4x13x6xy22

的值域。

、

解：将函数变形为：

2222)10()2x()20()3x(y

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点

)1,2(B

到点

)0,x(P

的距离之差。

即：

|BP||AP|y

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点

'P

，则构成

'ABP

，根据三角

形两边之差小于第三边，有

26)12()23(|AB|||'BP||'AP||22

即：

26y26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

26|AB|||BP||AP||

综上所述，可知函数的值域为：

]26,26(

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点

在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），

)1,2(

，在x轴的同侧；例

18的A，B两点坐标分别为（3，2），

)1,2(

，在x轴的同侧。

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例3求函数y=2x4x+5+2x4x+8的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为f(x)=2(x+2)+1+2(x-2)+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则

EK=2-x,KF=2+x,AK=2(x-2)+22,KC=2(x+2)+1。

由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。

点评：对于形如函数y=2x+a±2(c-x)+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性

质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习9：求函数y=2x+9+2(5-x)+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

求函数

3xsin

xcos

y





的值域。

九、多种方法综合运用

例22.求函数

3x

2x

y







的值域。

解：令

)0t(2xt

，则

1t3x2

（1）当

0t

时，

2

1

t

1

t

1

1t

t

y

2











，当且仅当t=1，即

1x

时取等号，所以

2

1

y0

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：













2

1

,0

注：先换元，后用不等式法

例23.求函数42

432

xx21

xxx2x1

y







的值域。

解：

42

3

42

42

xx21

xx

xx21

xx21

y













2

2

2

2

x1

x

x1

x1



























令

2

tanx





，则























2

2

2

2

cos

x1

x1





sin

2

1

x1

x

2

1sin

2

1

sinsin

2

1

cosy22

16

17

4

1

sin

2

















∴当

4

1

sin

时，

16

17

y

max



当

1sin

时，

2y

min



此时

2

tan



都存在，故函数的值域为















16

17

,2

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用

sin

的有界性。