时域采样定理
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2023年3月20日发(作者：文明礼貌用语)关于采样定理的介绍
一、采样定理简介
采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理
学科中的一个重要基本结论.ker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与
HarryNyquist都对它作出了重要贡献。另外，ikov也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的
离散函数）。采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特
性。如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可
以从采样样本中完全重建出来。带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是
说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于
奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问
题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频
谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.
奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫
首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年
信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文
献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理
和频域采样定理。采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采
样控制理论等领域得到广泛的应用。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，
f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来
的信号f(t)。时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM
时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2fM的采样值来确定,即采样点的重复频率
f≥2fM。时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。
频域采样定理对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T时,f(t)=0,这里T=T2-T1
是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只
要这些采样点的频率间隔ω≦π/tm。
二、采样简介
从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续
时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。
连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）
上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。T称为采样间隔。在实际中，如果信号是时间的
函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字，
称为样本。样本代表了原来地信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采
样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹。
信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定
连续信号x(t)。
三、对采样定理的分析
从采样定理中，我们可以得出以下结论：
如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这
一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率，通常表示为fN。相反，如果已知采样频
率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。
以上两种情况都说明，被采样的信号必须是带限的，即信号中高于某一给定值的频率
成分必须是零，或至少非常接近于零，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。
在第一种情况下，被采样信号的频率成分已知，比如声音信号，由人类发出的声音信号中，
频率超过5kHz的成分通常非常小，因此以10kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。
在第二种情况下，我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常
是用一个低通滤波器来实现的。
（一）混叠
如果不能满足上述采样条件，采样后信号的频率就会重叠，即高于采样频率一半的频
率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为混叠，而重建
出来的信号称为原信号的混叠替身，因为这两个信号有同样的样本值。
一个频率正好是采样频率一半的弦波信号，通常会混叠成另一相同频率的波弦信号，
但它的相位和幅度改变了。以下两种措施可避免混叠的发生：
1.提高采样频率，使之达到最高信号频率的两倍以上；
2.引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数；该低通滤波器通常称为抗混叠滤波器
抗混叠滤波器可限制信号的带宽，使之满足采样定理的条件。从理论上来说，这是可
行的，但是在实际情况中是不可能做到的。因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的
信号，所以，采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。不过抗混叠滤波器可使这些能
量足够小，以至可忽略不计。
（二）减采样
当一个信号被减采样时，必须满足采样定理以避免混叠。为了满足采样定理的要求，
信号在进行减采样操作前，必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。这个用于避免混
叠的低通滤波器，称为抗混叠滤波器。为了不失真地恢复模拟信号，采样频率应该不小于模
拟信号频谱中最高频率的2倍，即Fs≥2Fmax。采样率越高，稍后恢复出的波形就越接近原
信号，但是对系统的要求就更高，转换电路必须具有更快的转换速度。
（三）重构原信号
任何信号都可以看做是不同频率的正弦（余弦）信号的叠加，因此如果知道所有组成
这一信号的正（余弦）信号的幅值、频率和相角，就可以重构原信号。由于信号测量、分解
及时频变换的过程中存在误差，因此不能100%地重构原信号，重构的信号只能保证原信号
误差在容许范围内。
四、带通采样定理
抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是fS≥2fh，为了满足抽样定理，
要求模拟信号的频谱限制在0～fh之内（fh为模拟信号的最高频率）。为此，在抽样之前，
先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性
不良或者抽样频率过低都会产生折叠噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应
为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样
就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。应当指出，抽样频率fS不是越高越好，
太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的
带宽变宽，导致信道利用率降低。）所以只要能满足fS≥2fh,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为
f0～fh，带宽B=fh-f0.如果f0 弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型 信号。 对于低通型信号来讲，应满足fS≥2fh的条件，而对于带通型信号，如果仍然按照这个 抽样，虽然能满足样值频谱不产生重叠的要求，但是无疑fS太高了（因为带通信号的fh高）， 将降低信道频宽的利用率，这是不可取的。 设f(t)频带为(f l, f h )，仍按f s =2f h 抽样，频谱图中有很多空隙，那么是否可降低抽样频率 呢？经观察可发现带通信号的最高频率f h 如果是其带宽的整数倍的话，例如f h =2B，当抽样 频率f s =2(f h －f l )=2B时，其频谱并不发生混叠。 如果最高频率f h 不是信号带宽B的整数倍，即：f h =KB 其中K的整数部分为n，小数部分为k，即：K=n+k 我们可以假想一个比B宽的带宽B′，使正好是它的整数倍。 f h =KB’ 只要我们以2B'抽样频率f h 对f(t)进行抽样必然不会出现频谱混叠。因此 f s =2B’= n knB f h )(2 n 2 , )1(2 n k Bf s 从式中可见，随着n的增大，趋向于2B，当n比较大时，式1可简化为： f k =2B