余弦定理的证明方法 三角函数三边关系abc
过年真好-福妮儿
2023年3月3日发(作者：利奥塔)余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直
接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者
是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移
于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b
应互换位置
对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
证明：
∵如图，有a→+b→=c→
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三
角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将
CosC移到左边表示一下。
-----------------------------------------------------------------------------
----------------------------------
平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形
两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定
是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝
角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利
用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定
理求三角形边长取值范围。
注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方、b的2次方、c的2
次方；a*b、a*c就是a乘b、a乘c。
特殊角0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°
360°的正切值、正弦值、余弦值各为多少?
0度正弦值0，余弦值1，正切值0。
30度正弦值1/2，余弦值根3/2，正切值根3/3。
45度正弦值根2/2，余弦值根2/2，正切值1。
60度正弦值根3/2，余弦值1/2，正切值根3。
90度正弦值1，余弦值0，正切值不存在。
120度正弦值根3/2，余弦值-1/2，正切值-根3。
135度正弦值根2/2，余弦值-根2/2，正切值-1。
150度正弦值1/2，余弦值-根3/2，正切值-根3/3。
180度正弦值0，余弦值-1，正切值0。
270度正弦值-1，余弦值0，正切值不存在。
360度正弦值余弦值正切值同0度
【本讲教育信息】
一.教学内容：
正余弦定理解三角形
二.重点、难点：
已知三角形三边长及三个角，求其余相关的量。
（1）高线（面积）
（2）中线（余弦定理）
（3）角分线（余弦定理或正弦定理）
（4）面积（公式）
（5）周长
（6）外接圆半径（正弦定理）
（7）内切圆半径（面积）
【典型例题】
[例1]已知△ABC中，7a，5b，3c
求（1）角A；（2）高AH；（3）中线AD；（4）角平分线
AE；（5）外接圆半径；（6）内切圆半径。
解：（1）2
1
2
cos
222
bc
acb
A
（2）4
315
sin
2
1
AbcS
14
315
2
a
S
AH
（3）cos2222CDADCDADAC
)cos(2222BDADBDADAB
222222BDADACAB
2
19
AD
（4）
8
21
8
35
7
BE
CE
BECE
BE
CE
AB
AC
14
13
cosC
2
22
8
225
14
13
8
35
52)
8
35
(25AE
∴8
15
AE
（5）3
37
sin2
A
a
R
（6）
2
3
)(
2
1
cba
S
r
[例2]△ABC中，CAB2，7b，8a，求内切圆半径。
解：
180
2
CBA
CAB
60B
Baccabcos2222
01582cc
3
1
c5
2
c
（1）3c
3
32
9
sin
2
1
)(
2
1
Bac
cba
S
r
（2）5c
3
10
sin
2
1
)(
2
1
Bac
cba
S
r
[例3]△ABC中，4a，5cb，
60tantantan60tantantanBABA，求
S。
解：BA
BA
BA
BA
BA
tantan1
)1tan(tan60tan
tantan1
tantan
)tan(
360tan
∴120BA∴60C
2
3
2
7
416
5
22
b
c
bbc
cb
2
33
sin
2
1
CabS
[例4]△ABC中，cbaa222，322cba，求△ABC的最
大角。
解：0322abc∴bc
cbaa222cac232
∴342ca∴3222babaa
∴baa4322∴0)3)(1(4aab∴3a
0)3)(1(
4
1
)3(
4
1
2aaaaac
∴ac
)3)(1(
4
1
2
))((
2
cos
2222
aaa
cbcba
ab
cba
C
2
1
)3)(1(2
)3)(1(
)3)(1(
2
1
)3(
2
1
)(
2
1
22
aaa
aaa
aaa
aaaa
∴120C
[例5]在△ABC中，求证：2222
112cos2cos
bab
B
a
A
证明：2
2
2
2
22
sin21sin212cos2cos
b
B
a
A
b
B
a
A
)
sinsin
(2
11
2
2
2
2
22b
B
a
A
ba
由正弦定理得2
2
2
2sinsin
b
B
a
A
∴2222
112cos2cos
bab
B
a
A
[例6]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是cba,,，若
5,4ba，35
S，求c的长度。
解：∵
CabSsin
2
1
∴2
3
sinC
于是60C或120C
又∵Cabbaccos2222
当60C时，abbac222，21c；
当120C时，abbac222，61c
∴c的长度为21或61
[例7]（06年辽宁卷）△ABC的三内角A、B、C所对边的
长分别为cba,,，设向量),(bcap
，),(acabq
，若qp
//，则
角C的大小为（）
A.6
B.3
C.2
D.3
2
解：∵qp
//∴0)())((abbacca
即abcba222
根据余弦定理，得2
1
22
cos
222
ab
ab
ab
cba
C
∵C0∴3
C
所以选B
[例8]在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是cba,,
（1）若三角形的面积
)(
4
1
222cbaS
，求∠C的度数；
（2）若acb2，且bcacca22，求∠A的大小及c
Bbsin
的
值。
解：（1）由
)(
4
1
222cbaS
，得
CabCabcos2
4
1
sin
2
1
∴1tanC，得4
C
（2）∵acb2又bcacca22∴bcacb222
在△ABC中，由余弦定理得2
1
22
cos
222
bc
bc
bc
acb
A
∴∠A=60°
在△ABC中，由面积公式得
BacAbcsin
2
1
sin
2
1
∴BbAbcsinsin2，则2
3
sin
sin
A
c
Bb
[例9]△ABC的三边为cba,,，设
)(
2
1
cbap
，求证：
))()((cpbpappS
。
证明：
CabCabS2cos1
2
1
sin
2
1
)cos1)(cos1(
2
1
CCab
)
2
1)(
2
1(
2
1222222
ab
cba
ab
cba
ab
=
)2)(2(
4
1
2
1
222222
22
cbaabcbaab
ba
ab
])(][)[(
4
1
2222baccba
))()()((
4
1
bacbaccbacba
2222
bacbaccbacba
))()((cpbpapp
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
1.在△ABC中，22,32ba，B=45°，则A等于（）
A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或
120°
2.在△ABC中，若BbAacoscos，则△ABC的形状是（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
3.△ABC中，4:2:3sin:sin:sinCBA，那么Ccos（）
A.4
1
B.3
2
C.3
2
D.4
1
4.在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是
（）
A.20b，A=45°，C=80°
B.30a，28c，B=60°
C.14a，16b，A=45°
D.12a，15c，A=120°
5.在△ABC中，已知2a，3b，C=120°，则Asin的值
为（）
A.38
3
B.7
21
C.19
57
D.3
17
6.在△ABC中，B=135°，C=15°，5a，则此三角形的
最大边长为。
7.△ABC中，如果6a，36b，A=30°，边c。
8.在△ABC中，化简BcCbcoscos（）
.2
cb
C.2
ca
D.2
ba
9.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分
别为30°、60°，则塔高为（）
A.
m
3
400
B.
m
3
3400
C.
m
3
200
D.
m
3
3200
10.已知三角形的三边长分别为a、b、22baba，则三
角形的最大内角是（）
A.135°B.120°C.60°D.90°
11.（06年山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分
别为cba,,，3
A
，3a，1b，则c（）
A.1B.2C.13D.3
12.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程
06752xx的根，则另一边长为（）
A.52B.16C.4D.132
13.（06年江苏卷，文11）在△ABC中，已知BC=12，
A=60°，B=45°，则AC=。
14.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若
8:7:5sin:sin:sinCBA，则∠B的大小是。
15.在△ABC中，cba,,分别是角A、B、C的对边，且
c
ca
C
B
2
tan
tan
，abcba2222，（1）求C；（2）求A。
16.在△ABC中，cba,,分别是A、B、C的对边，且
ca
b
C
B
2cos
cos
（1）求角B的大小；（2）若13b，4ca，求a的值；
17.（06年全国卷II，文17）在△ABC中，∠B=45°，
10AC，5
52
cosC
，求：（1）BC=？（2）若点D是AB的
中点，求中线CD的长度。
【试题答案】
1.D2.D3.D4.C5.C6.257.6
或128.A
9.A10.B11.B12.D13.6414.60
15.解：（1）∵abcba2222
∴2
2
2
222
ab
cba
∴2
2
cosC
∴C=45°
（2）由正弦定理可得C
CA
c
ca
C
B
sin
sinsin22
tan
tan
∴C
CA
CB
CB
sin
sinsin2
sincos
cossin
BCBACBcossincossin2cossin
BABCCBcossin2cossincossin
∴BACBcossin2)sin(∴BAAcossin2sin
∵0sinA∴2
1
cosB
∴B=60°756045180A
16.解：（1）由ca
b
C
B
2cos
cos
，得CA
B
C
B
sinsin2
sin
cos
cos
即：0sincoscossincossin2BCBCBA
∴0)sin(cossin2CBBA
而ACBsin)sin(∴0sincossin2ABA
又0sinA∴2
1
cosB
而B0∴3
2
B
（2）利用余弦定理可得3
2
cos21322
acca
则
4
1322
ca
acca
解得1a或3a
17.解：（1）由5
52
cosC
，得5
5
sinC
，
10
103
)sin(cos
2
2
)45180sin(sinCCCA
根据正弦定理，得45sin
10
sin
A
BC
，解得
23
45sin
10
10
103
BC
（2）根据正弦定理，得45sin
10
sin
C
AB
，解得
2
45sin
10
5
5
AB
∴
1
2
1
ABBD
根据余弦定理，得BBCBDBCBDCDcos2222
1345cos2312)23(122
所以13CD