正交基怎么求
诺和笔-最难忘的一句话
2023年3月19日发(作者：五年级第二单元作文)求解标准正交基的若干方法
吕黎明
（襄樊学院数学与计算机科学学院湖北·襄阳４４１０５３）
中图分类号：Ｏ２４１．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７２—７８９４（２０１ １】３６—００８９—０２
摘 要 本文讨论了内积空间中线性无关组的若干性质，
得到求解标准正交基的若干方法。
关键词正交向量组标准正交基两向量组正交
Ｓｅｖｅｒａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｎ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ＯｒｔｈｏｎｏｒｍＭ Ｂａｓｉｓ
｜｜Ｌｖ Ｌｉｍｉｎｇ
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｏｎ ｓｅｖｅｒａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｌｉ—
ｎｅａｒ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｇｒｏｕｐ ｉｎ ｉｎｎｅｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｓｐａｃｅ，ｔｈｅｎ ａｃｑｕｉｒｅｓ
ｓｅｖｅｒａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｎ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌ ｂａｓｉｓ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｖｅｃｔｏｒｓ；ｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌ ｂａｓｉｓ；ｔｗｏ ｖｅｃｔｏｒ
ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ
Ａｕｔｈｏｒ’Ｓ ａｄｄｒｅｓｓ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ
Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｉａｎｇｆａｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，４４１０５３，Ｘｉａｎｇｙａｎｇ，Ｈｕｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ
１前言
在内积空间中，标准正交基有许多优点，所以常将一组
基化为标准正交基，通常采用的方法是施密特（Ｓｃｈｍｉｄｔ）正
交化方法＿ｌ１，那么是否还有更为简便的方法呢？本文即在讨
论向量组的正交性定理基础上，得到求解标准正交基的若
干方法。
为叙述方便，我们作如下规定：若０／ ，０／：，…，０／ （Ｖ ＣＲ）
中一组非零向量，若两两正交，称０／ 一，０／ｒ为一个正交向量
组，简称正交组；若线性无关组０／ 一，０／ｒ与线性无关组 ．，
，
…
，
满足（啦，／３ｊ）＝０（ １，２…， ｊ＝ｌ，２，…，ｓ）称向量组０／１，
Ｏｒ２，…，０／ 与 ， ，…，卢 正交。
２向量组的正交性定理
定理１：若线性无关组０／ 一，０／ 与线性无关组／３ “，屈
正交，如果线性无关组 …， 。可由０１ ，０／ ，…，０／ 线性表示，
则 …， 与 ，…， 正交。
证明：’．’０／ 一，０／ 与卢 －－，屈正交
．
·
．（ ／３）＝０（ｉ＝１，２，… ＝１ ２。。，ｓ）
又‘．‘Ｖ “， 可由０／ｌ，０／２，…，Ｏｌｒ线性表示
．
·
．可令Ｖｋ＝０／ｈｌ０／１＋０／ ２０ｔ２＋．．·＋０／ｋ，Ｏｔｒ
故（ ）＝（Ｅ０／￣，，／３７＝Ｚ０／，，＇： ，／３）＝ｏ
即 …， 与卢 一， 正交
推论：若线性无关组０／ ，０／：，…，０／ 与线性无关组ＪＢ 一，
正交，如果正交组 １ ，０／２＇，… 与０／ｌ，０／２，…，０／ 等价，正交组
卢 ，／３２＇，…， 与卢ｌ’＿一， ，等价，则 ，０／ ／－－，０／／，卢 ，…， 为正
交组。
证明：因为０／１ ·，０／ 可由Ｏｔｌ¨…，Ｏｌ 线性表示， １ ，卢２ ，
…
， ，
可由卢ＩＩ，…， 线性表示，又０／ 一，０／ 与卢 一， 正
交，由定理１得 。 ， ，…， 与卢 ，…， 正交，所以向量组
１ ， ，…，０／ｒ／
，
ＪＢｌ ，…， 为正交组。
定理２：若线性无关组０／ 一，０／ 与线性无关组 …，
正交，若
，一仅 一 （ ｋ：２ …，ｒ）
脚－ 一 搋和 …＇ｓ）
则Ｏｇｌ／０／２／，…，０／／，／３，＇，／３２＇，…， 为正交组
证明：由题知（０／ｉ，／３ｊ）＝０（ｉ＝１，２，…，ｒ，ｊ＝ｌ ２”，ｓ）
用数学归纳法证明（ ，／３）＝０（ｉ＝ｌ，２，…，ｒ０＝１ ２一，ｓ）
当ｉ＝ｌ时，（ ， ）＝（ ｔ，／３）＝０
假设ｉ－ｒ一１时，（ ，／３）＝ｏ，显然，ｉ＜ｒ一１时亦有（ ，／３ｊ）＝ｏ
即（ ，届）＝０（ｉ＝１，２，…，ｒ，ｊ＝ｌ ２”，ｓ）
则当ｉ＝ｒ时，（ ，厚）＝（ 塞 害 ，厚）
＝（０／．／３）一差 （ ／３）＝０
即０／ ，…， 与卢 一， 正交。
同理可证： ，，…，０【 与 ，…， 正交，故：０／ ，…， ，
ｌＢ。 ，…， 为正交组。
定理３：若线性无关组０／ ．－，Ｏｔｒ（ｒ＜ｎ）∈Ｖｎ（Ｒ），０／，－－（￣１，
，
…，‰）（ｉ＝１，２，…，ｒ），则至少存在一组正交向量组与０／ ，
…
，０／，正交
｜｜ｆ敏ｊ‘．ｃ‘８９
证明：因为 一， 线性无关，且ｒ＜ｎ，作方程组 解得方程组的基础解系ｓ （一２，１，一３，Ｏ）Ｔ ：ｒ＿（一１，０，一２，
（Ｏｔ１ｎ··ａ／）Ｘ＝０ １）ｒ
故方程组有非零解，令它的基础解系为ｓ ，８ｒ２，…，ｓ ，
用施密特正交化方法便得： ＝ 一ｓ
。
（ｋ＝２，３…，ｎ—ｒ）
则ｓ ，８ ，…，ｓ 为正交组且与 －－，ｏ／ 正交。
定理４：设正交组 。， ，…， Ｖｎ（Ｒ），若方程组
（ １ ··ａｋｒ） Ｘ＝Ｏ（１≤ｋ＜ｎ）的基础解系为８１ ，ｓ２ ，…，８ ，
则 －．， ， ，…， 为Ｖｎ（Ｒ）的一组基，且与 －．， 等价。
证明：由假设可知，ｓ 一， 与 “，Ｏｔｒ正交
令ｋｌａｌ＋…＋ ｒ＋２ｌ ｌ＋…＋ｆ Ｍｌ＿０
因为（ ， １Ｏｌｌ＋…＋ ， ｒ＋ｚ１占ｌ＋…＋ ， 五 ， ）＝０
由于（啦， ）≠０故ｋｉ＝Ｏ（ｉ＝１，２，…，ｒ－１）
因而ｚＩ Ｉ＋…＋ ０，故 ＝ｏ ＝１，２，…， —ｒ）
故Ｏｔ 一蚺， …，Ｐ 线性无关，故为Ｖｎ（Ｒ）的一个基，
且与Ｏｔ ”， 等价。
推论１：设 ．－，％，为Ｖｎ（Ｒ）的一个基，ＯＬｉｌ， ·· 为
一
，Ｏｔ 的部分向量组（１≤ｋ＜ｎ），贝４至少存在一个线性无关
组与 ∞ ， ＊正交。
推论２：若线性无关向量组ＯＬ 一 与线性无关向量组
卢 一，反正交，则 一，Ｏｌｒ，卢 一，屈为线性无关组。
３应用举例
例：已知Ｏｔ１：（１，２，０，１） ：（一ｌ，１，１，１），求Ｒ４的一个标
准正交基。
解法１：将 。， 补充两向量 ， ，使之成为Ｒ４的—个基
即 ，＝（０，０，１，０）
∞＝（０，０，０，１）再利用施密特正交化方法，令 ／＝Ｏ／ｌ＝（１，２，
０，１）
盱 ／
＝
（一１，ｌ １）一 ２（１ ０
，
１）＝（一丁４
，丁
１
，１，手）＝｝（一４，
１，３，２）
３
／
－
－Ｏ／３－ ＯＬ１］
－－－ 斋ｃ４，－１，７，－２）
一
０￣１］
－－
＝（音，一手，０， ４５）
则０／１／， ，０／３／， 即为正交基，将其单位化即得标准正交基。
解法２：作方程组ｆ ２ ０ １ ＼
－１ １ １ １ ／
９０｜Ｉｆ缸 ｌ￡
令１２／１／＝Ｏｒ１＝（１，２，０，１）
ＯＬＩ／￣
丁
１（ ｌ’３’２）
再令∞ ·Ｉ＝（一２，１，一３，０）
幽２一 （’ｌ，０， １）一 ８
６＂１ ４
（ １，’３，ｏ）
，占Ｉ， Ｊ
：（ ，一争，丁２，１）：１（１。２Ｉ，￣－，－Ｚ， ／） 一 —＿＿＿’一— 一’一 一’ 一
则Ｏｄｌ／，￣ ， ， 即为正交基，将其单位化即得标准正交基。
解法３：不妨选 作方程组（１，２，０，１） ０，解方程组得基
础解系。
占１ ＿（一２，１，０，０） ２ （０，０，１，Ｏ）Ｔ ８＂３７ｌ＿（一１，０，０，１）ｒ
令∞ ＝ Ｉ＝（１，２，０，１）
ａ２／＝ｅｌ：（一２，１，０，０）
＝ 一‘｝曼 ！ ｝ Ｉ＝（０，０，１，０）一０＝： ２＝（０，ｏ，１，０） 占
１，占ｌ
￣＝８３－｛ 一｛ 拳
＝（～１，０，０，１）一 ２（一２
，ｌ，０，０）～０
＝（一｝，一手＇ｏ，１）＝＿＿１（一１ ０，５）
从而 ．，， ． 为正交基．将其单位化即行标 『Ｆ交墓
解法４：不妨选 。作方程组（１，２，０，１）
解得一非零解 （一２，１，０，Ｏ）ｒ
再作方程组（ ｌＴｓ。 ＝０解得一非零解８ （１，２，０，５）ｒ
再作方程组（ １Ｔ６＂１ ８２ ｘ＝Ｏ解得一非零解８ （０，０，１，０）Ｔ
则 ， ８ 为Ｒ４的正交基，将其单位化即得标准正
交基。
参考文献
［１】同济大学数学教研室．线性代数［Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８２．
［２】北京大学数学力学系高等代数 】．北京：高等教育出版社，１９７８．
［３］甘良仕．向量组的正交性定理及应用［Ｊ］．湖北工学院学报，１９９５（２）：
７２—７５．
【４］张远达．线性代数原理【Ｍ】．上海：上海教育出版社，１９８０．
编辑孙静