标准正交基
开机没反应-加减混合运算题
2023年3月16日发(作者：gb5044)施密特正交化
在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一
组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能
够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的
标准正交基。
这种正交化方法以J?rgenPedersenGram和ErhardSchmidt命名，然而比他
们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群
分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawadecomposition）。
在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入
误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变
换或Givens旋转进行正交化。
记法
•：维数为n的内积空间
•：中的元素，可以是向量、函数，等等
•：与的内积
•：、……张成的子空间
•：在上的投影
基本思想
图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β
Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造
一个新的正交基。
设。Vk是Vn上的k维子空间，其标准正交基为，且v不
在Vk上。由投影原理知，v与其在Vk上的投影之差
是正交于子空间Vk的，亦即β正交于Vk的正交基η
i
。因此只要将β单位化，
即
那么{η
1
,...,η
k+1
}就是Vk在v上扩展的子空间span{v,η
1
,...,η
k
}的标准正交
基。
根据上述分析，对于向量组{v
1
,...,v
m
}张成的空间Vn，只要从其中一个向量（不
妨设为v
1
）所张成的一维子空间span{v
1
}开始（注意到{v
1
}就是span{v
1
}的正交
基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到Vn的一组正交基。这就是
Gram-Schmidt正交化。
算法
首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交
化的过程如下：
这样就得到上的一组正交基，以及相应的标
准正交基。
例
考察如下欧几里得空间Rn中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为=bTa：
下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：
下面验证向量β
1
与β
2
的正交性：
将这些向量单位化：
于是{η
1
,η
2
}就是span{v
1
,v
2
}的一组标准正交基。
不同的形式
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正
交化也表现出不同的形式。
例如，在实向量空间上，内积定义为：
在复向量空间上，内积定义为：
函数之间的内积则定义为：
与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。