指数函数的定义

指数函数的定义

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2023年3月19日发(作者：聆听心灵的声音)

0

1

x

y

xy2

x

y















2

1xy3

x

y















3

1

x

y















3

1

x

y















2

1

指数函数基础知识

指数函数施我们学习的基本函数之一，对于指数函数的学习，概念非常重要，因此一定要弄懂指数函数

的定义。

一、指数函数的定义：

函数

)10(aaayx且

叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

注意点1：为什么要规定

01aa且

呢？

①若

0a

，则当

0x

时，

0xa

；当

0x

时，xa

无意义.

②若

0a

，则对于

x

的某些数值，可使xa

无意义.如

x)2(

，这时对于

1

4

x

，

1

2

x

，…等等，在

实数范围内函数值不存在.

③若

1a

，则对于任何

xR

，

1xa

，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定

01aa且

。在规定以后，对于任何

xR

，xa

都有意义，且

0xa

.

因此指数函数的定义域是

R

，值域是

(0,)

。

注意点2：

上述指数函数的定义是形式上的定义，它实质上是一种指数的对应关系，以a为底数

作为指数对应过去。从对应的角度看指数函数的话，就能很容易理解为什么函数13xy

不

是指数函数，也能理解指数函数的解析式

xya

中，xa

的系数为什么是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如

xyak

(

01aa且

，

kZ

)；有些函数

看起来不像指数函数，实际上却是，如

xya

(

01aa且

)，因为它可以化为

1x

y

a









，

其中

1

0

a



，且

1

1

a



。

二、函数的图象

（1）①特征点：指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经

过两点(0，1)和(1,a)，我们称这两点为指数函数的两个

特征点.

②指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象中，y

＝1反映了它的分布特征；而直线x＝1与指

数函数图象的交点(1,a)的纵坐标则直观反映了

指数函数的底数特征，我们称直线x＝1和y＝1为指数函数的

两条特征线(如右图所示).

（2）、函数的图象单调性

当a＞1时，函数在定义域范围内呈单调递增；

当0＜a＜1时，函数在定义域范围内呈单调递减；

推论：（1）底互为倒数的两个函数图像关于y轴对称

（2）当a＞1时，底数越大，函数图象

越靠近Y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，函数图

象越靠近Y轴。

（3）、函数的图象奇偶性：

若函数

()fx

是奇函数，则对定义域内的每一个x，都有

()()fxfx

;

特别当

0x

属于定义域时，有

(0)(0)ff

，所以

(0)0f

．

若函数

()fx

是偶函数，则对定义域内的每一个x，都有f(-x)=f(x)。